2024秋高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2.2.1椭圆的简单几何性质课时作业含解析新人教A版选修2-1

PAGE7-其次章2.22.2.2第1课时请同学们仔细完成练案[12]A级基础巩固一、选择题1．椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m的值为(C)A．eq\f(1,2) B．2C．eq\f(1,4) D．42．已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于eq\f(1,2)，则椭圆C的方程是(D)A．eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,4)＝1 B．eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,\r(3))＝1C．eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1 D．eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1[解析]由椭圆的右焦点为F(1,0)知，椭圆的焦点在x轴上，且c＝1.又离心率为eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，故a＝2，b2＝a2－c2＝4－1＝3，故椭圆C的方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1，故选D．3．椭圆的一个顶点与两焦点组成等边三角形，则它的离心率e为(A)A．eq\f(1,2) B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,4) D．eq\f(\r(2),2)[解析]由题意，得a＝2c，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,2).4．椭圆C1：eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1和椭圆C2：eq\f(x2,9－k)＋eq\f(y2,25－k)＝1(0<k<9)有(B)A．等长的长轴 B．相等的焦距C．相等的离心率 D．等长的短轴[解析]依题意知椭圆C2的焦点在y轴上，对于椭圆C1：焦距＝2eq\r(25－9)＝8，对于椭圆C2：焦距＝2eq\r(25－k－9－k)＝8，故选B．5．短轴长为eq\r(5)，离心率为eq\f(2,3)的椭圆的两个焦点分别为F1，F2，过F1作直线交椭圆于A，B两点，则△ABF2的周长为(C)A．24 B．12C．6 D．3[解析]由题意b＝eq\f(\r(5),2)，e＝eq\f(c,a)＝eq\f(2,3)，a2＝b2＋c2，从而得a＝eq\f(3,2)，4a＝6，故选C．6．已知椭圆的两个焦点和短轴的两个端点恰好为一个正方形的四个顶点，则该椭圆的离心率为(D)A．eq\f(1,3) B．eq\f(1,2)C．eq\f(\r(3),3) D．eq\f(\r(2),2)[解析]依题意椭圆的焦距和短轴长相等，故b＝c，a2－c2＝c2，∴e＝eq\f(\r(2),2).二、填空题7．已知椭圆的焦点在y轴上，其上随意一点到两焦点的距离和为8，焦距为2eq\r(15)，则此椭圆的标准方程为__eq\f(y2,16)＋x2＝1__.[解析]由已知，2a＝8,2c＝2eq\r(15)，∴a＝4，c＝eq\r(15)，∴b2＝a2－c2＝16－15＝1，∴椭圆的标准方程为eq\f(y2,16)＋x2＝1.8．已知A(2，eq\r(2))是椭圆eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,4)＝1上一点，F是椭圆的右焦点，设点F到直线x＝4的距离为d，则m＝__8__，eq\f(|AF|,d)＝__eq\f(\r(2),2)__.[解析]A(2，eq\r(2))是椭圆eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,4)＝1上一点，代入可得：eq\f(4,m)＋eq\f(2,4)＝1，解得m＝8.∴c＝eq\r(a2－b2)＝2.∴F(2,0)．∴|AF|＝eq\r(2－22＋\r(2)－02)＝eq\r(2).点F到直线x＝4的距离为d＝2，eq\f(|AF|,d)＝eq\f(\r(2),2).故答案为8，eq\f(\r(2),2).三、解答题9．已知椭圆x2＋(m＋3)y2＝m(m>0)的离心率e＝eq\f(\r(3),2)，求m的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标．[解析]椭圆方程可化为eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,\f(m,m＋3))＝1，∵m－eq\f(m,m＋3)＝eq\f(mm＋2,m＋3)>0，∴m>eq\f(m,m＋3).即a2＝m，b2＝eq\f(m,m＋3)，c＝eq\r(a2－b2)＝eq\r(\f(mm＋2,m＋3)).由e＝eq\f(\r(3),2)得，eq\r(\f(m＋2,m＋3))＝eq\f(\r(3),2)，∴m＝1.∴椭圆的标准方程为x2＋eq\f(y2,\f(1,4))＝1，∴a＝1，b＝eq\f(1,2)，c＝eq\f(\r(3),2).∴椭圆的长轴长为2，短轴长为1；两焦点坐标分别为F1(－eq\f(\r(3),2)，0)、F2(eq\f(\r(3),2)，0)；四个顶点分别为A1(－1,0)、A2(1,0)、B1(0，－eq\f(1,2))、B2(0，eq\f(1,2))．10．已知椭圆上横坐标等于焦点横坐标的点，它到x轴的距离等于短半轴长的eq\f(2,3)，求椭圆的离心率．[解析]解法一：设焦点坐标为F1(－c，0)、F2(c,0)，M是椭圆上一点，依题意设M点坐标为(c，eq\f(2,3)b)．在Rt△MF1F2中，|F1F2|2＋|MF2|2＝|MF1|即4c2＋eq\f(4,9)b2＝|MF1|2，而|MF1|＋|MF2|＝eq\r(4c2＋\f(4,9)b2)＋eq\f(2,3)b＝2a，整理，得3c2＝3a2－2又c2＝a2－b2,3b＝2a.∴eq\f(b2,a2)＝eq\f(4,9).∴e2＝eq\f(c2,a2)＝eq\f(a2－b2,a2)＝1－eq\f(b2,a2)＝eq\f(5,9)，∴e＝eq\f(\r(5),3).解法二：设M(c，eq\f(2,3)b)，代入椭圆方程，得eq\f(c2,a2)＋eq\f(4b2,9b2)＝1，∴eq\f(c2,a2)＝eq\f(5,9)，∴eq\f(c,a)＝eq\f(\r(5),3)，即e＝eq\f(\r(5),3).B级素养提升一、选择题1．过椭圆eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1的焦点的最长弦和最短弦的长分别为(B)A．8、6 B．4、3C．2、eq\r(3) D．4、2eq\r(3)[解析]椭圆过焦点的弦中最长的是长轴，最短的为垂直于长轴的弦(通径)是eq\f(2b2,a).∴最长的弦为2a＝4，最短的弦为eq\f(2b2,a)＝eq\f(2×3,2)＝3，故选B．2．设F1、F2是椭圆eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1|：|PF2|＝2：1，则△F1PF2的面积等于(B)A．5 B．4C．3 D．1[解析]由椭圆方程，得a＝3，b＝2，c＝eq\r(5)，∴|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，又|PF1|：|PF2|＝2：1，∴|PF1|＝4，|PF2|＝2，由22＋42＝(2eq\r(5))2可知，△F1PF2是直角三角形，故△F1PF2的面积为eq\f(1,2)|PF1|·|PF2|＝eq\f(1,2)×4×2＝4，故选B．3．焦点在y轴上的椭圆mx2＋y2＝1的离心率为eq\f(\r(3),2)，则m的值为(D)A．1 B．2C．3 D．4[解析]椭圆的方程mx2＋y2＝1化为标准方程为eq\f(x2,\f(1,m))＋y2＝1，由题意得，a2＝1，b2＝eq\f(1,m)，∴c2＝a2－b2＝1－eq\f(1,m)，∴离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1－\f(1,m))＝eq\f(\r(3),2)，∴m＝4.4．(多选题)已知方程eq\f(x2,|m|－1)＋eq\f(y2,2－m)＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围可以是(AD)A．m<－1 B．m<2C．1<m<2 D．1<m<eq\f(3,2)[解析]由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|m|－1>0，,2－m>0，,2－m>|m|－1，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m>1或m<－1，,m<2，,m<\f(3,2).))∴1<m<eq\f(3,2)或m<－1，故选AD．5．(多选题)椭圆eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,25)＝1上的一点P到椭圆焦点的距离的乘积为m，当m取最大值时，点P的坐标不行能为(BD)A．(4,0) B．(0,5)C．(－4,0) D．(0，－5)[解析]记椭圆的两个焦点分别为F1，F2，有|PF1|＋|PF2|＝2a则知m＝|PF1|·|PF2|≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|PF1|＋|PF2|,2)))2＝25，当且仅当|PF1|＝|PF2|＝5，即点P位于椭圆的短轴的顶点处时，m取得最大值25，∴点P的坐标为(－4,0)或(4,0)，故选BD．二、填空题6．(2024·安徽屯溪一中高二期中)如图，点F，B分别为椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,3)＝1(a>eq\r(3))的右焦点和上顶点，O为坐标原点，且△OFB的周长为3＋eq\r(3)，则实数a的值为__2__.[解析]依据题意可知△OFB的周长为a＋b＋c＝3＋eq\r(3)，又b＝eq\r(3)，可知a＋c＝3，结合a2－c2＝b2＝3，可以解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2,c＝1))，故实数a的值为2.7．椭圆eq\f(x2,5a)＋eq\f(y2,4a2＋1)＝1的焦点在x轴上，则它的离心率e的最大值为__eq\f(\r(5),5)__，此时a的值为__eq\f(1,2)__.[解析]由题意知5a>4a2＋1，∴eq\f(1,4)<a<1，∴e＝eq\f(\r(5a－4a2＋1),\r(5a))＝eq\f(1,\r(5))eq\r(5－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4a＋\f(1,a))))≤eq\f(1,\r(5))eq\r(5－4)＝eq\f(\r(5),5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(当且仅当a＝\f(1,2)时，取“＝”)).三、解答题8．已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1和F2，离心率e＝eq\f(\r(2),2)，连接椭圆的四个顶点所得四边形的面积为4eq\r(2).(1)求椭圆C的标准方程；(2)设A、B是直线l：x＝2eq\r(2)上的不同两点，若eq\o(AF1,\s\up6(→))·eq\o(BF2,\s\up6(→))＝0，求|AB|的最小值．[解析](1)由题意得：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(e＝\f(c,a)＝\f(\r(2),2),a2＝b2＋c2,S＝\f(1,2)×2a×2b＝4\r(2)))，解得：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2,b＝\r(2),c＝\r(2))).所以椭圆的标准方程为：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1.(2)由(1)知，F1、F2的坐标分别为F1(－eq\r(2)，0)、F2(eq\r(2)，0)，设直线l：x＝2eq\r(2)上的不同两点A、B的坐标分别为A(2eq\r(2)，y1)、B(2eq\r(2)，y2)，则eq\o(AF1,\s\up6(→))＝(－3eq\r(2)，－y1)、eq\o(BF2,\s\up6(→))＝(－eq\r(2)，－y2)，由eq\o(AF1,\s\up6(→))·eq\o(BF2,\s\up6(→))＝0得y1y2＋6＝0，即y2＝－eq\f(6,y1)，不妨设y1>0，则|AB|＝|y1－y2|＝y1＋eq\f(6,y1)≥2eq\r(6)，当y1＝eq\r(6)、y2＝－eq\r(6)时取等号，所以|AB|的最小值是2eq\r(6).9．设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率e＝eq\f(\r(3),2)，已知点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3,2)))到椭圆的最远距离是eq\r(7)，求椭圆的标准方程．[解析]依题意可设椭圆方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，则e2＝eq\f(c2,a2)＝eq\f(a2－b2,a2)＝1－eq\f(b2,a2)＝eq\f(3,4)，所以eq\f(b2,a2)＝eq\f(1,4)，即a＝2b.设椭圆上的点(x，y)到点P的距离为d，则d2＝x2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(3,2)))2＝a2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(y2,b2)))＋y2－3y＋eq\f(9,4