2024秋高中数学第二章推理与证明章末整合提升学案含解析新人教A版选修2-2

PAGE3-第2章章末整合提升网络构建·理脉络推理与证明专题突破·启智能专题合情推理与演绎推理1．合情推理分为归纳推理和类比推理，是基本的分析和解决问题的方法．合情推理是合乎情理的推理，通过归纳、揣测发觉结论，为解决问题供应了思路和方向．归纳推理和类比推理的特点与区分：类比推理和归纳推理的结论都是有待于证明的．归纳推理是由特别到一般的推理，类比推理是由特别到特别的推理．2．演绎推理演绎推理是数学证明中的基本推理形式，“三段论”是演绎推理的一般模式．3．近几年高考对推理的考查：(1)以选择题、填空题的形式考查合情推理；(2)以选择题或解答题的形式考查演绎推理；(3)题目难度不大，多以中低档题为主．典例1古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形态来探讨数．比如：他们探讨过图1中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图2中的1,4,9,16，…，这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是(C)A．289 B．1024C．1225 D．1378[解析]图1中满意a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝n，以上累加得an－a1＝2＋3＋…＋n，an＝1＋2＋3＋…＋n＝eq\f(nn＋1,2)，图2中满意bn＝n2，一个数若满意三角形数，其必能分解成两个相邻自然数乘积的一半；一个数若满意正方形数，其必为某个自然数的平方．∵1225＝352＝eq\f(49×50,2)，∴选C．『规律方法』解决此类题目时，须要细心视察图形，找寻每一项与序号之间的关系，同时还要联系相关的学问，留意抽象出的是数列的哪类公式．典例2在平面上，我们用始终线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按如图所标边长，由勾股定理有c2＝a2＋b2.设想正方形换成正方体，把截线换成如图截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O－LMN，假如用S1、S2、S3表示三个侧面面积，S表示截面面积，那么类比得到的结论是__S2＝Seq\o\al(2,1)＋Seq\o\al(2,2)＋Seq\o\al(2,3)__.[解析]类比如下：正方形↔正方体；截下直角三角形↔截下三侧面两两垂直的三棱锥；直角三角形斜边平方↔三棱锥底面面积的平方；直角三角形两直角边平方和↔三棱锥三个侧面面积的平方和，结论S2＝Seq\o\al(2,1)＋Seq\o\al(2,2)＋Seq\o\al(2,3).证明如下：如图，作OE⊥平面LMN，垂足为E，连接LE并延长交MN于F，连接OF，∵LO⊥OM，LO⊥ON，OM∩ON＝0，∴LO⊥平面MON，∵MN⊂平面MON，∴LO⊥MN，∵OE⊥MN，OE∩LO＝0，∴MN⊥平面OFL，∴S△OMN＝eq\f(1,2)MN·OF，S△MNE＝eq\f(1,2)MN·FE，S△MNL＝eq\f(1,2)MN·LF，OF2＝FE·FL，∴Seq\o\al(2,△OMN)＝(eq\f(1,2)MN·OF)2＝(eq\f(1,2)MN·FE)·(eq\f(1,2)MN·FL)＝S△MNE·S△MNL，同理Seq\o\al(2,△OML)＝S△MLE·S△MNL，Seq\o\al(2,△ONL)＝S△NLE·S△MNL，∴Seq\o\al(2,△OMN)＋Seq\o\al(2,△OML)＋Seq\o\al(2,△ONL)＝(S△MNE＋S△MLE＋S△NLE)·S△MNL＝Seq\o\al(2,△MNL)，即Seq\o\al(2,1)＋Seq\o\al(2,2)＋Seq\o\al(2,3)＝S2.『规律方法』类比推理应从详细问题动身，通过视察、分析、类比、归纳而得出结论．通常状况下，平面图形的边长、面积往往类比空间几何体的面积、体积．专题干脆证明综合法与分析法是证明命题的两种最基本、最常用的干脆证明方法．综合法常用于由已知推论较易找到思路时；分析法常用于条件困难、思索方向不明确且用综合法较难证明时．单纯应用分析法证明并不多见，常常是用分析法找寻思路，用综合法表述过程．因此在实际应用中，常常要把综合法与分析法结合起来运用．本考点在高考中每年都要涉及，主要以考查干脆证明中的综合法为主．典例3设a，b，c为三角形三边，面积S＝eq\f(1,2)(a＋b＋c)，且S2＝2ab，试证：S<2a.[解析](分析法)要证S<2a，由于S2＝2ab，即2a＝eq\f(S2,b)，所以只需证S<eq\f(S2,b)，即证b<S，因为S＝eq\f(1,2)(a＋b＋c)，所以只需证b<eq\f(1,2)(a＋b＋c)，即证b<a＋c，由于a，b，c为三角形三边，所以上式明显成立，于是原命题成立．(综合法)因为a，b，c为三角形三边，所以a＋c>b，所以a＋b＋c>2b，又因为S＝eq\f(1,2)(a＋b＋c)，即a＋b＋c＝2S，所以2S>2b，所以S·S>b·S，由于S2＝2ab，所以2ab>bS，即2a>S，所以原命题得证．(反证法)假设S<2a不成立，即S≥2a成立，所以S2≥2aS，因为S2＝2ab，所以2ab≥2aS，所以2b≥2S，而S＝eq\f(1,2)(a＋b＋c)，即2S＝a＋b＋c，所以2b≥a＋b＋c，所以b≥a＋c，因为a，b，c为三角形三边，上式与三角形性质定理冲突，所以假设不成立，原命题成立．专题用反证法证题反证法是间接证明的一种基本方法，它不去干脆证明结论，而是先否定结论，在否定结论的基础上，运用正确的推理，导出冲突，从而确定结论的真实性．在证明一些否定性命题、唯一性命题或含有“至多”“至少”等字样的命题时，正面证明往往较难，此时可考虑反证法，即“正难则反”．典例4设{an}是公比为q的等比数列．(1)推导{an}的前n项和公式．(2)设q≠1，证明：数列{an＋1}不是等比数列．[解析](1)分两种状况探讨．①当q＝1时，数列{an}是首项为a1的常数数列，所以Sn＝a1＋a1＋…＋a1＝na1.②当q≠1时，Sn＝a1＋a2＋…＋an－1＋an⇒qSn＝qa1＋qa2＋…＋qan－1＋qan.上面两式错位相减：(1－q)Sn＝a1＋(a2－qa1)＋(a3－qa2)＋…＋(an－qan－1)－qan＝a1－qan⇒Sn＝eq\f(a1－qan,1－q)＝eq\f(a11－qn,1－q).综上，Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(na1，q＝1，,\f(a11－qn,1－q)，q≠1.))(2)运用反证法．设{an}是公比q≠1的等比数列，假设数列{an＋1}是等比数列，则(a2＋1)2＝(a1＋1)(a3＋1)，即(a1q＋1)2＝(a1＋1)(a1q2＋1)，整理得a1(q－1)2＝0得a1＝0或q＝1均与题设冲突，故数列{an＋1}不是等比数列．『规律方法』用反证法证明问题时要留意以下三点(1)必需否定结论，即确定结论的反面，当结论的反面呈现多样性时，必需排列出各种可能结论，缺少任何一种可能，都不是反证法．(2)反证法必需从否定结论进行推证，即应把结论的反面作为条件，且必需依据这一条件进行推证，否则，仅否定结论，不从结论的反面动身进行推理，就不是反证法．(3)推导出的冲突可能多种多样，有的与已知冲突，有的与假设冲突，有的与事实冲突等，但是推导出的冲突必需是明显的．专题用数学归纳法解题数学归纳法是一种证明方法，可以证明与正整数有关的命题，如恒等式、不等式、几何问题以及整除问题等．高考数学归纳法的考查，一般以数列为背景，涉及等式、不等式等问题，归纳—猜想—证明是解决此问题的通法．典例5已知点的序列An(xn,0)，n∈N*，其中x1＝0，x2＝a(a>0)，A3是线段A1A2的中点，A4是线段A2A3的中点，…，An是线段An－2An－1(1)写出xn与xn－1、xn－2之间的关系式(n≥3)；(2)设an＝xn＋1－xn.计算a1，a2，a3，由此推想数列{an}的通项公式，并加以证明．[解析](1)当n≥3时，xn＝eq\f(xn－1＋xn－2,2).(2)a1＝x2－x1＝a，a2＝x3－x2＝eq\f(x2＋x1,2)－x2＝－eq\f(1,2)(x2－x1)＝－eq\f(1,2)a，a3＝x4－x3＝eq\f(x3＋x2,2)－x3＝－eq\f(1,2)(x3－x2)＝eq\f(1,4)a，由此推想an＝(－eq\f(1,2))n－1a(n∈N*)．用数学归纳法证明如下：①当n＝1时，a1＝x2－x1＝a＝(－eq\f(1,2))0a，猜想成立．②假设当n＝k时，猜想成立，即ak＝(－eq\f(1,2))k－1a成立．那么当n＝k＋1时，ak＋1＝xk＋2－xk＋1＝eq\f(xk＋1＋xk,2)－xk＋1＝－eq\f(1,2)(xk＋1－xk)＝－eq\f(1,2)ak＝－eq\f(1,2)(－eq\f(1,2))k－1a＝(－eq\f(1,2))(k＋1)－1a，猜想仍成立，依据①和②可知，对随意n∈N*，通项公式an＝(－eq\f(1,2))n－1a成立．『规律方法』由已知求出数列的前n项，提出猜想，然后再用数学归纳法证明，是不完全归纳法与数学归纳法相结合的一种重要的解决数列通项公式的方法，证明的关键是依据已知条件和假设找寻ak与ak＋1或Sk与Sk＋1之间的关系，从而为数学归纳法的实施做了必要的打算．专题转化与化归思想转化与化归的思想方法是数学最基本的思想方法，数学中一切问题的解决都离不开转化与化归．转化与化归是数学思想方法的灵魂．在本章中，合情推理与演绎推理体现的是一般与特别的转化；数学归纳法体现的是一般与特别、有限与无限的转化；反证法体现的是对立与统一的转化．典例6设f(x)＝eq\f(ax＋a－x,2)，g(x)＝eq\f(ax－a－x,2)，其中a>0且a≠1.(1)请你推想g(5)能否用f(2)，f(3)，g(2)，g(3)来表示；(2)从(1)中的解能获得什么结论？能否将其推广？[思路分析]先将g(5)用f(2)，f(3)，g(2)，g(3)表示出来，再推广到一般状况．[解析](1)因为f(3)g(2)＋g(3)f(2)＝eq\f(a3＋a－3,2)·eq\f(a2－a－2,2)＋eq\f(a3－a－3,2)·eq\f(a2＋a－2,2)＝eq\f(a5－a－5,2)，g(5)＝eq\f(a5－a－5,2)，所以g(5)＝f(3)g(2)＋g(3)f(2)．(2)由g(5)＝f(3)g(2)＋g(3)f(2)，即g(3＋2)＝f(3)g(2)＋g(3)f(2)，推广g(x＋y)＝f(x)g(y)＋g(x)f(y)．证明如下：因为f(x)＝eq\f(ax＋a－x,2)，g(x)＝eq\f(ax－a－x,2)，所以g(y)＝eq\f(ay－a－y,2)，f(y)＝eq\f(ay＋a－y,2)，g(x＋y)＝eq\f(ax＋y－a－x＋y,2)，所以f(x)g(y)＋g(x)f(y)＝eq\f(ax＋a－x,2)·eq\f(ay－a－y,2)＋eq\f(ax－a－x,2)·eq\f(ay＋a－y,2)＝eq\f(ax＋y－a－x＋y,2)＝g(x＋y)．『规律方法』(1)归纳推理是从特别到一般，从部分到整体的推理，在归纳、猜想阶段体现的是一般与特别的相互转化关系．(2)归纳推理得到的结论未必正确，还需检验和证明，有时要用到三段论．专题分类探讨思想分类探讨思想在本章的证明问题中，无论是干脆法还是间接法，都有所体现．如用反证法证明命题时，若结论的反面状况不唯一时，则必需采纳分类探讨的方法对反面状况逐一否定，才能使问题得以证明．典例7已知平面上有四个点A，B，C，D，任何三点都不共线，求证：以每三个点为顶点的三角形不行能都是锐角三角形．[思路分析]分别对第四个顶点在前三个顶点确定的三角形内、外两种情形进行探讨．[解析]假设以每三个点为顶点的三角形都是锐角三角形，考虑点D在△ABC内、外两种情形．①如图(1)所示，点D在△ABC内．依据假设，围绕点D的三个角都是锐角，从而得∠ADC＋∠ADB＋∠BDC<270°.这与一个周角等于360°冲突．②如图(2)所示，点D在△ABC外．依据假设，在△ABD中，∠BAD<90°，在△ABC中，∠ABC<90°，在△BCD中，∠BCD<90°，在△ADC中，∠ADC<90°，从而有∠ABC＋∠BCD＋∠CDA＋∠DAB<360°.这与四边形ABCD的内角和为360°冲突．综合①②可知，假设不成立，故原结论成立．『规律方法』利用反证法证明时，若否定结论后出现多种状况，则须要分类探讨，记得最终下结论时，说明上述状况均冲突，故假设不成立，原结论成立．即时巩固一、选择题1．异面直线在同一平面内的射影不行能是(D)A．两条平行直线 B．两条相交直线C．一点与始终线 D．同一条直线[解析]若两条直线在同一平面的射影是同始终线，则这两条直线的位置关系为平行或相交或重合，这均与异面冲突，故异面直线在同一平面内的射影不行能为同一条直线．故应选D．2．证明命题：“f(x)＝ex＋eq\f(1,ex)在(0，＋∞)上是增函数”．现给出的证明如下：因为f(x)＝ex＋eq\f(1,ex)，所以f′(x)＝ex－eq\f(1,ex).因为x>0，所以ex>1,0<eq\f(1,ex)<1.所以ex－eq\f(1,ex)>0，即f′(x)>0.所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数，运用的证明方法是(A)A．综合法 B．分析法C．反证法 D．以上都不是[解析]由题意知，证明过程是执因索果，是综合法．3．(2024·南昌一模)平面内直角三角形两直角边长分别为a，b，则斜边长为eq\r(a2＋b2)，直角顶点到斜边的距离为eq\f(ab,\r(a2＋b2))，空间中三棱锥的三条侧棱两两垂直，三个侧面的面积分别为S1，S2，S3，类比推理可得底面积为eq\r(S\o\al(2,1)＋S\o\al(2,2)＋S\o\al(2,3))，则三棱锥顶点究竟面的距离为(C)A．eq\r(3,\f(S1S2S3,S\o\al(2,1)＋S\o\al(2,2)＋S\o\al(2,3))) B．eq\r(\f(S1S2S3,S\o\al(2,1)＋S\o\al(2,2)＋S\o\al(2,3)))C．eq\r(\f(2S1S2S3,S\o\al(2,1)＋S\o\al(2,2)＋S\o\al(2,3))) D．eq\r(\f(3S1S2S3,S\o\al(2,1)＋S\o\al(2,2)＋S\o\al(2,3)))[解析]如图三棱锥P－ABC，PA，PB，PC两两垂直，P在底面的射影为H，设PA＝a，PB＝b，PC＝c，可得S1＝eq\f(1,2)ab，S2＝eq\f(1,2)bc，S3＝eq\f(1,2)ca，可得abc＝2eq\r(2S1S2S3)，由题意可得底面积为eq\r(S\o\al(2,1)＋S\o\al(2,2)＋S\o\al(2,3))，由等积法可得eq\f(1,3)×eq\f(1,2)abc＝eq\f(1,3)PH·eq\r(S\o\al(2,1)＋S\o\al(2,2)＋S\o\al(2,3))，可得PH＝eq\f(abc,2\r(S\o\al(2,1)＋S\o\al(2,2)＋S\o\al(2,3)))＝eq\r(\f(2S1S2S3,S\o\al(2,1)＋S\o\al(2,2)＋S\o\al(2,3)))，故选C．二、填空题4．依据下面一组等式S1＝1，S2＝2＋3＝5，S3＝4＋5＋6＝15，S4＝7＋8＋9＋10＝34，S5＝11＋12＋13＋14＋15＝65，S6＝16＋17＋18＋19＋20＋21＝111，S7＝22＋23＋24＋25＋26＋27＋28＝175，…可得S1＋S3＋S5＋…＋S2n－1＝__n4__.[解析]依据所给等式组，不难看出：S1＝1＝14；S1＋S3＝1＋15＝16＝24；S1＋S3＋S5＝1＋15＋65＝81＝34，S1＋S3＋S5＋S7＝1＋15＋65＋175＝256＝44，由此可得S1＋S3＋S5＋…＋S2n－1＝n4.5．(2024·红旗区校级月考)比较大小：eq\r(3)＋eq\r(5)__＞__eq\r(2)＋eq\r(6).(用“＞”或“＜”填空)[解析]∵(eq\r(3)＋eq\r(5))2＝3＋5＋2eq\r(15)＝8＋2eq\r(15)，(eq\r(2)＋eq\r(