湖北省部分学校2025届九年级上学期第一次月考数学试卷(含解析)

2024-2025学年湖北省部分学校九年级（上）第一次月考数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.一元二次方程4x2+x-3=0中一次项系数、常数项分别是A.2，-3 B.0，-3 C.1，-3 D.1，02.解方程(x+1)2=3(1+x)的最佳方法是A.直接开平方法 B.配方法 C.公式法 D.因式分解法3.抛物线y=-3x2+2x-1与y轴的交点为A.(0,1) B.(0,-1) C.(-1,0) D.(1,0)4.若关于x的一元二次方程(k-1)x2+x+1=0有实数根，则k的取值范围是A.k≥54 B.k>54 C.k>54且5.若关于x的方程x2-kx-3=0的一个根是x=3，则k的值是(

)A.-2 B.2 C.-12 6.关于x的方程|x2-2x-3|=a有且仅有两个实数根，则实数a的取值范围是A.a=0 B.a=0或a=4 C.a>4 D.a=0或a>47.在手拉手学校联谊活动中，参加活动的每个同学都要给其他同学发一条励志短信，总共发了110条，设参加活动的同学有x个，根据题意，下面列出的方程正确的是(

)A.12x(x+1)=110 B.12x(x-1)=110 C.8.已知函数y=ax2+bx+c的图象如图，那么关于x的方程ax2+bx+c+2=0A.无实数根 B.有两个相等实数根

C.有两个同号不等实数根 D.有两个异号实数根9.二次函数y=ax2+bx+c，若ab<0，a-b2>0，点A(x1,yA.y1=-y2 B.y1>y2

10.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，有下列4个结论：

①abc<0；②b>a+c；③2a-b=0；④b2-4ac<0A.1个

B.2个

C.3个

D.4个二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。11.方程(x+4)(x-5)=0的根为______．12.若二次函数y=x2-2x+k的图象经过点(-1,y1)，(3,y2)，则y1______13.二次函数y1=ax2+bx+c的图象与一次函数y2=kx+b的图象如图所示，当y2>y

14.如图，抛物线y=x2在第一象限内经过的整数点(横坐标、纵坐标都为整数的点)依次为A1，A2，A3，…An，将抛物线y=x2沿直线l；y=x向上平移，得到一系列抛物线，且满足条件：①抛物线的顶点M1，M2，M3，…，Mn都在直线y=x上；②抛物线依次经过点A1

15.若关于x的方程|x2-2x-8|=m有三个解，则实数m三、解答题：本题共9小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.(本小题6分)

已知二次函数图象的顶点坐标为(1,2)，且经过原点(0,0)，求该函数的解析式．17.(本小题6分)

已知关于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m2-4=0

(1)当m为何值时，方程有两个不相等的实数根？

(2)若方程有一根为318.(本小题7分)

已知关于x的一元二次方程x2-(2k+1)x+k2+2k=0有两个实数根x1，x2．

(1)求实数k的取值范围．

(2)是否存在实数k19.(本小题7分)

在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=-x2+mx+n与x轴交于点A，B(A在B

的左侧)．

(1)若抛物线的对称轴为直线x=-3，AB=4.求抛物线的表达式；

(2)平移(1)中的抛物线，使平移后的抛物线经过点O，且与x轴正半轴交于点C，记平移后的抛物线顶点为P，若△OCP是等腰直角三角形，求点P20.(本小题8分)

世界杯是世界上级别最高的足球赛事，2022年世界杯在卡塔尔隆重举行，今年世界杯的吉祥物是“拉伊卜”，它的设计灵感来于阿拉伯标志型的白头巾，某网店现售有一大一小两种型号的“拉伊卜”摆件，已知每个大摆件的售价是每个小摆件售价的2倍还多60元，420元可购买一个大摆件和一个小摆件．

(1)每个“拉伊卜”大摆件和小摆件的售价分别是多少？

(2)第一天该网店按照原售价卖出大摆件30个，小摆件100个，因为小摆件库存量大，第二天商家调整了销售方案，大摆件的价格不变，小摆件的价格下调2m元，调整后，当天大摆件的销量下降了12m个，小摆件的销量增加了52m个，当天的销售额达到了21.(本小题8分)

某蔬菜经销商去蔬菜生产基地批发某种蔬菜，已知这种蔬菜的批发量在20千克～60千克之间(含20千克和60千克)时，每千克批发价是5元；若超过60千克时，批发的这种蔬菜全部打八折，但批发总金额不得少于300元．

(1)经调查，该蔬菜经销商销售该种蔬菜的日销售量y(千克)与零售价x(元/千克)是一次函数关系，其图象如图，求出y与x之间的函数关系式；

(2)若该蔬菜经销商每日销售此种蔬菜不低于75千克，且当日零售价不变，那么零售价定为多少时，该经销商销售此种蔬菜的当日利润最大？最大利润为多少元？22.(本小题10分)

如图，四边形ABCD是一块边长为6米的正方形花圃，现将它改造为矩形AEFG的形状，其中点E在AB边上(不与点B重合)，点G在AD的延长线上，DG=3BE，设BE的长为x米，改造后花圃AEFG的面积为y平方米．

(1)当改造后花圃AEFG的面积与原正方形ABCD花圃的面积相等时，求BE的长；

(2)当x为何值时，改造后的花圃AEFG的面积最大？并求出最大面积．23.(本小题11分)

在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx-4与x轴交于A(-1,0)，B(4,0)两点，与y轴交于点C，点P是直线BC下方抛物线上一动点．

(1)求这条抛物线的解析式；

(2)如图(甲)，在x轴上是否存在点E，使得以E，B，C为顶点的三角形为直角三角形？若存在，请直接写出点E坐标；若不存在，请说明理由；

(3)如图(乙)，动点P运动到什么位置时，△PBC面积最大，求出此时P点的坐标和△PBC24.(本小题12分)

如图1，已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C(0,-1)，且tan∠OAC=12．

(1)求抛物线的解析式；

(2)点P是直线AC下方对称轴左侧抛物线上一点，过点P作PQ/​/x轴交抛物线于点Q，过点P作PR⊥x轴交AC于点R，若PQ+PR=32，求点P的坐标；

(3)将抛物线y=x2+bx+c向右平移一个单位，向下平移一个单位得到新抛物线，在新抛物线上有点M，在原抛物线对称轴上有点N，直接写出所有使得以点A，C，M，N答案和解析1.C

解：一元二次方程4x2+x-3=0的一次项系数，常数项分别是1、-3．

故选：C．

解：(x+1)2=3(1+x)，

(x+1)2-3(1+x)=0，

3.B

解：x=0时，y=-1，

所以，抛物线与y轴的交点坐标为(0,-1)．

故选：B．4.D

解：由题意得：Δ=b2-4ac=1-4(k-1)≥0，且k-1≠0，

解得：k≤54且k≠1；

故选：D解：当x=3时，9-3k-3=0，

解得k=2，

故选：B．

6.D

解：由原方程，得|(x-1)2-4|=a，

∴该函数图象为：

根据图示知，实数a的取值范围是a=0或a>4．

故选：D．

7.解：由题意可得，

x(x-1)=110，

故选：D．

8.C

解：∵y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点，顶点坐标的纵坐标是-3，

∵方程ax2+bx+c+2=0，

∴ax2+bx+c=-2时，即是y=-2求x解：∵a-b2>0，b2≥0，

∴a>0．

又∵ab<0，

∴b<0，

∵x1<x2，x1+x2=0，

∴x2=-x1，x1<0．

∵点A(x解：∵抛物线开口向下，

∴a<0，

∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，

∴c>0，

由于抛物线的对称轴为直线x=-b2a=1，则b=-2a>0；则2a+b>0，abc<0；

∴①正确，

∴③错误；

∵抛物线与x轴有2个交点，

∴△=b2-4ac>0，所以④错误；

∵x=-1时，y<0，

∴a-b+c<0，所以②正确．

故选：B．解：∵(x+4)(x-5)=0，

∴x+4=0或x-5=0，

∴x1=-4，x2=5，

故答案为：x1=-4解：∵二次函数y=x2-2x+k，

∴开口向上，对称轴为直线x=--22×1=1，

∴点(-1,y1)，(3,y2解：当y2>y1时，即一次函数y2=kx+b的图象在二次函数y1=ax2+bx+c的图象的上面，

可得解：∵抛物线y=x2在第一象限内经过的整数点(横坐标、纵坐标都为整数的点)依次为A1，A2，A3，…，An，…，

∴点An的坐标为(n,n2).

设点Mn的坐标为(a,a)，则以点Mn为顶点的抛物线解析式为y=(x-a)2+a，

∵点An(n,n2)在抛物线y=(x-a)2+a上，

∴n2解法一：当m<0时，|x2-2x-8|=m没有实数根；

当m≥0时，|x2-2x-8|=m，即x2-2x-8=m或x2-2x-8=-m，

∵关于x的方程|x2-2x-8|=m有三个解，

∴方程x2-2x-8=m和x2-2x-8=-m之中必有一个方程有两个相等的实数根，

①当方程x2-2x-8=m有两个相等的实数根时，

∴方程x2-2x-8-m=0有两个相等的实数根，

判别式Δ=(-2)2-4×1×(-8-m)=0，

解得：m=-9，不合题意，舍去；

②当方程x2-2x-8=-m有两个相等的实数根时，

∴方程x2-2x-8+m=0有两个相等的实数根，

判别式Δ=(-2)2-4××(-8+m)=0，

解得：m=9，

当m=9时，x2-2x-8=9或x2-2x-8=-9，

由x2-2x-8=9解得：x1=1+3√2，x2=1-3√2，

由x2-2x-8=-9解得x1=x2=1．

综上所述：若关于x的方程|x2-2x-8|=m有三个解，则实数m的值是9．

故答案为：9．

解法二：设y1=|x2-2x-8|，y2=m，

画出函数y1=|x2-2x-8|的图象，点M的坐标为(1,9)，如图，

∵关于x的方程|x217.解：(1)依题意得：△=(2m+1)2-4(m2-4)=0，

解得：m=-174，

即当m=-174时，方程有两个不相等的实数根．

18.解：(1)根据题意得△=(2k+1)2-4(k2+2k)≥0，

解得k≤14；

(2)根据题意得x1+x2=2k+1，x1x2=k2+2k，

∵x1x219.解：(1)∵抛物线y=-x2+mx+n与x轴交于A、B两点，且抛物线的对称轴为直线x=-3，

∴点A与点B关于直线x=-3对称，

∵点A在点B的左侧，且AB=4，

∴A(-5,0)，B(-1,0)，

把A(-5,0)、B(-1,0)代入y=-x2+mx+n，

得-25-5m+n=0-1-m+n=0，

解得m=-6n=-5，

∴抛物线的表达式为y=-x2-6x-5．

(2)根据题意，平移后的抛物线经过原点，

设平移后的抛物线的表达式为y=-x2+bx，

当y=0时，由-x2+bx=0得x1=0，x2=b，

∴C(b,0)，

∴该抛物线的对称轴为直线x=12b，

当x=12b时，y=-(12b)2+1220.解：(1)设每个“拉伊卜”大摆件的售价是x元，小摆件的售价是y元，

根据题意得：x-2y=60x+y=420，

解得：x=300y=120．

答：每个“拉伊卜”大摆件的售价是300元，小摆件的售价是120元；

(2)根据题意得：300×(30-12m)+(120-2m)×(100+52m)=20520，

整理得：m2+10m-96=0，

解得：m1=621.解：(1)设该一次函数解析式为y=kx+b(k≠0)，把点(5,90)，(6,60)代入，得

5k+b=906k+b=60，

解得k=-30b=240．

故该一次函数解析式为：y=-30x+240；

(2)设当日可获利润w(元)，日零售价为x元，由(1)知，

w=(-30x+240)(x-5×0.8)=-30(x-6)2+120，-30x+240≥75，即x≤5.5，

当22.(1)解：根据题意得：

(6-x)(6+3x)=62，

整理得：x(x-4)=0，

解得x1=0(不合题意，舍去)，x2=4．

则BE=4(米)．

(2)根据题意得：

y=(6-x)(6+3x)，

=-3(x-2)2+48．

∵0<x≤6，-3<0，

23.解：(1)设抛物线的表达式为：y=a(x+1)(x-4)=a(x2-3x-4)，

则-4a=-4，

解得：a=1，

则抛物线的表达式为：y=x2-3x-4；

(2)存在，理由：

由抛物线的表达式知，点C(0,-4)，

设点E(x,0)，

则BC2=32，BE2=(x-4)2，CE2=x2+16，

当BC是斜边时，

则32=(x-4)2+x2+16，

解得：x=0或4，

即点E(0,0)或(4,0)；

当BE或CE为斜边时，

同理可得：(x-4)2=x2+16+32或32+(x-4)2=x2+16，

解得：x=4或-4，

即点E(4,0)(舍去)或(-4,0)；

综上，点E(0,0)或(-4,0)；

(3)过点24.解：(1)∵C(0,-1)，

∴OC=1，

在Rt△AOC中，tan∠OAC=OCOA=12，

∴OA=2，即A(-2,0)，

把A(-2,0)，C(0,-1)代入y=x2+bx+c得：

4-2b+c=0c=-1，

解得b=32c=-1，

∴抛物线的解析式为y=x2