2024秋高中数学第二章推理与证明课时作业6反证法含解析新人教A版选修1-2

PAGEPAGE1课时作业6反证法时间：45分钟分值：100分一、选择题(每小题6分，共计36分)1．用反证法证明命题“三角形的三个内角中至少有一个大于等于60°”时，反设正确的是()A．三个内角都小于60°B．三个内角都大于60°C．三个内角中至多有一个大于60°D．三个内角中至多有两个大于60°解析：“至少有一个”的否定是“一个都没有”，则反设为“三个内角都小于60°”．答案：A2．已知a＋b＋c>0，ab＋bc＋ac>0，abc>0，用反证法求证a>0，b>0，c>0时的反设为()A．a<0，b<0，c<0 B．a≤0，b>0，c>0C．a、b、c不全是正数 D．abc<0答案：C3．否定“自然数a、b、c中恰有一个偶数”时正确的反设为()A．a、b、c都是奇数B．a、b、c都是偶数C．a、b、c中至少有两个偶数D．a、b、c中都是奇数或至少有两个偶数解析：恰有一个偶数的否定有两种状况，其一是无偶数(全为奇数)，其二是至少有两个偶数，故选D.答案：D4．设a、b、c都是正数，则三个数a＋eq\f(1,b)，b＋eq\f(1,c)，c＋eq\f(1,a)()A．都大于2 B．至少有一个大于2C．至少有一个不大于2 D．至少有一个不小于2解析：(a＋eq\f(1,b))＋(b＋eq\f(1,c))＋(c＋eq\f(1,a))＝(a＋eq\f(1,a))＋(b＋eq\f(1,b))＋(c＋eq\f(1,c))≥6.故三个数中至少有一个不小于2.答案：D5．0<a≤eq\f(1,5)是函数f(x)＝ax2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上为减函数的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析：若f(x)为(－∞，4]上的减函数，则a>0且－eq\f(a－1,a)≥4⇔0<a≤eq\f(1,5)或a＝0，即a∈[0，eq\f(1,5)]，故当a∈(0，eq\f(1,5)]时，f(x)在(－∞，4]上为减函数，而当a＝0时，由f(x)为(－∞，4]上的减函数，不能导出a∈(0，eq\f(1,5)]，∴选A.答案：A6．设a、b均为正整数，且a＋b≤4，则下列各式中正确的是()A.eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)<1 B.eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)≤1C.eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)≤2 D.eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)≥2解析：假设A正确．依题意可取a＝1，b＝2，则eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝1＋eq\f(1,2)＝eq\f(3,2)>1，与eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)<1冲突，故A不正确．同理可推出B、D不正确，故选C.答案：C二、填空题(每小题8分，共计24分)7．设实数a、b、c满意a＋b＋c＝1，则a、b、c中至少有一个数不小于________．解析：假设a、b、c都小于eq\f(1,3)，则a＋b＋c<1，故a、b、c中至少有一个不小于eq\f(1,3).答案：eq\f(1,3)8．用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤：①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，这与三角形内角和为180°冲突，故假设错误；②所以一个三角形不能有两个直角；③假设△ABC中有两个直角，不妨设∠A＝90°，∠B＝90°.上述步骤的正确依次为________．解析：考查反证法的一般步骤．答案：③①②9．完成反证法证题的全过程．设a1，a2，…，a7是1,2，…，7的一个排列，求证：乘积p＝(a1－1)(a2－2)…(a7－7)为偶数．证明：假设p为奇数，则a1－1，a2－2，…，a7－7均为奇数．因奇数个奇数之和为奇数，故有奇数＝________＝________＝0.但0≠奇数，这一冲突说明p为偶数．解析：据题目要求及解题步骤，因为a1－1，a2－2，…，a7－7均为奇数，所以(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7)也为奇数．即(a1＋a2＋…＋a7)－(1＋2＋…＋7)为奇数．又因为a1，a2，…，a7是1,2，…，7的一个排列，所以a1＋a2＋…＋a7＝1＋2＋…＋7，故上式为0.所以奇数＝(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7)＝(a1＋a2＋…＋a7)－(1＋2＋…＋7)＝0.答案：(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7)(a1＋a2＋…＋a7)－(1＋2＋…＋7)三、解答题(共计40分)10．(10分)已知x，y∈R，且x＋y>2，证明：x，y中至少有一个大于1.解：假设x，y都不大于1，即x≤1，y≤1，则x＋y≤2，这与已知条件x＋y>2冲突，所以假设不成立，故x，y中至少有一个大于1.11．(15分)设a、b、c均为奇数，求证：方程ax2＋bx＋c＝0无整数根．证明：假设方程有整数根x＝x0，x0∈Z，则axeq\o\al(2,0)＋bx0＋c＝0，c＝－(axeq\o\al(2,0)＋bx0)．①若x0为偶数，则axeq\o\al(2,0)与bx0均为偶数，所以axeq\o\al(2,0)＋bx0为偶数，从而c为偶数，与题设冲突．②若x0为奇数，则axeq\o\al(2,0)、bx0均为奇数，所以axeq\o\al(2,0)＋bx0为偶数，从而c为偶数，与题设冲突．综上所述，方程ax2＋bx＋c＝0没有整数根．12．(15分)已知数列{an}满意a1＝λ，an＋1＝eq\f(2,3)an＋n－4，其中λ为实数，n为正整数，对随意实数λ，证明数列{an}不是等比数列．解：假设存在一个实数