第10章《分式》（解析）

2022-2023学年苏科版数学八年级下册易错题真题汇编（提高版）第10章《分式》考试时间：120分钟试卷满分：100分一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2023春•沙坪坝区校级月考）若关于x的不等式的解集为x＞4，且关于x的分式方程有正整数解，则满足条件的所有整数m的和为（）A．5 B．6 C．7 D．9解：不等式组整理得：，∵不等式组的解集为x＞4，∴m≤4，分式方程去分母得：6+x﹣3＝mx﹣3，解得：x＝，∵分式方程有正整数解，且x≠3，∴m﹣1＝1或3或6，解得：m＝2，4（m＞4的值舍去），则所有满足题意整数m之和为2+4＝6．故选：B．2．（2分）（2023•江油市模拟）已知方程，且关于x的不等式a＜x≤b只有2个整数解，那么b的取值范围是（）A．1＜b≤2 B．2＜b≤3 C．1≤b＜2 D．2≤b＜3解：分式方程去分母得：3﹣a﹣a2+4a＝﹣1，即a2﹣3a﹣4＝0，分解因式得：（a﹣4）（a+1）＝0，解得：a＝﹣1或a＝4，经检验a＝4是增根，分式方程的解为a＝﹣1，当a＝﹣1时，由a＜x≤b只有2个整数解，得到1≤b＜2．故选：C．3．（2分）（2023春•九龙坡区校级月考）若整数a使关于x的分式方程有整数解，使关于y的不等式组有且仅有2个奇数解，则符合条件的所有整数a之积为（）A．﹣12 B．0 C．72 D．144解：分式方程去分母得：1﹣ax﹣1＝2x﹣4，解得：x＝，由分式方程解为整数，得到a+2＝±1，±2，±4，解得：a＝﹣1，﹣3，0，﹣4，2，﹣6，∵x≠2，且a+2≠0，∴a≠0，∴a＝﹣1，﹣3，﹣4，2，﹣6，不等式组整理得：，解得：＜y≤2，由不等式组有且仅有两个奇数解，得到奇数解为﹣1，1，∴﹣3≤＜﹣1，∴﹣6≤a＜2，则满足题意a的值有﹣6，﹣4，﹣3，﹣1，则符合条件的所有整数a的积是72．故选：C．4．（2分）（2022秋•德州期末）如果关于x的不等式组的解集为x＜1，且关于x的分式方程有非负数解，则所有符合条件的整数m的值之和是（）A．﹣2 B．0 C．3 D．5解：解不等式＜1，得：x＜m+3，解不等式x﹣4＞3（x﹣2），得：x＜1，∵不等式组的解集为x＜1，∴m+3≥1，解得：m≥﹣2，解分式方程，得x＝，∵分式方程有非负数解，∴≥0且≠1，解得m＜3且m≠2，则﹣2≤m＜3且m≠2，则所有符合条件的整数m的值之和是﹣2﹣1+0+1＝﹣2．故选：A．5．（2分）（2022秋•沙坪坝区校级期末）已知关于x的分式方程﹣＝2的解为整数，且关于y的不等式组有且只有四个整数解，则符合条件的整数m的和为（）A．﹣15 B．﹣12 C．﹣10 D．﹣7解：﹣＝2，5+m＝2（x﹣3），解得：x＝，∵分式方程的解为整数，∴为整数且≠3，∴为整数且m≠﹣5，，解不等式①得：y＜，解不等式②得：y≥﹣5，∵不等式组有且只有四个整数解，∴﹣2＜≤﹣1，解得：﹣8＜m≤﹣3，综上所述：符合条件的整数m的值为：﹣7，﹣3，符合条件的整数m的和为：﹣10，故选：C．6．（2分）（2023春•兴化市月考）解分式方程，去分母后得到（）A．x＝2+3 B．x＝2（x﹣1）+3 C．x（x﹣1）＝2+3（x﹣1） D．x＝3（x﹣1）+2解：去分母得：x＝2（x﹣1）+3，故选：B．7．（2分）（2023•雨城区校级模拟）若关于x的方程+1＝的解为负数，且关于x的不等式组无解．则所有满足条件的整数a的值之积是（）A．0 B．1 C．2 D．3解：将分式方程去分母得：a（x﹣1）+（x+1）（x﹣1）＝（x+a）（x+1）解得：x＝﹣2a﹣1∵解为负数∴﹣2a﹣1＜0∴a＞﹣∵当x＝1时，a＝﹣1；x＝﹣1时，a＝0，此时分式的分母为0，∴a＞﹣，且a≠0；将不等式组整理得：∵不等式组无解∴a≤2∴a的取值范围为：﹣＜a≤2，且a≠0∴满足条件的整数a的值为：1，2∴所有满足条件的整数a的值之积是2．故选：C．8．（2分）（2022春•开江县期末）若关于x的一元一次不等式组的解集为x＞7，且关于y的分式方程的解是非负整数．则所有满足条件的整数之和是（）A．10 B．19 C．16 D．8解：关于x的一元一次不等式组的解集为，∵关于x的一元一次不等式组的解集为x＞7，∴≤7，∴a≤9．关于y的分式方程的解为y＝，∵关于y的分式方程的解是非负整数，∴≥0，≠1，且a为奇数，∴a≥﹣5且a≠﹣3，a为奇数，∴﹣5≤a≤9且a为奇数，∴a＝﹣5，﹣1，1，3，5，7，9，∴所有满足条件的a的整数之和为：﹣5﹣1+1+3+5+7+9＝19，故选：B．9．（2分）（2022春•九龙坡区校级期末）已知关于x的分式方程的解为正数，关于y的不等式组，恰好有三个整数解，则所有满足条件的整数a的和是（）A．1 B．3 C．4 D．6解：关于x的分式方程解为x＝2a﹣1，∵x解为正数，∴2a﹣1＞0，∴a＞，关于y的不等式组解为，∵y恰有三个整数解，∴0＜≤1，∴﹣1＜a≤3，分式方程中，x≠3，∴2a﹣1≠3，∴a≠2，综上所述：＜a≤3，∴满足条件的整数a为：1、3，则所有满足条件的整数a的和是4．故选：C．10．（2分）（2021春•开州区期末）若数a使关于x的不等式组恰有3个整数解，且使关于y的分式方程+＝3的解为整数，则符合条件的所有整数a的和为（）A．2 B．5 C．7 D．10解：解3﹣2x≥a﹣2（3x﹣1）得3﹣2x≥a﹣6x+2．∴x≥．解2﹣x≥得4﹣2x≥1﹣x．∴x≤3．∵数a使关于x的不等式组恰有3个整数解，∴0＜≤1．∴1＜a≤5．∵+＝3，∴2﹣a＝3（y﹣1）．∴y＝．∵关于y的分式方程+＝3的解为整数，∴是整数且．若a为整数，则a可能取值为5．故选：B．二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11．（2分）（2022春•昆都仑区校级期中）若关于x的分式方程的解是正数，则m的取值范围为m＞﹣1且m≠3．解：分式方程，方程两边同时乘以x﹣1得，x﹣4＝﹣mx，解得：x＝，∵x为正数，且x﹣1≠0，∴m+1＞0，且≠1，解得：m＞﹣1且m≠3，∴m的取值范围是m＞﹣1且m≠3．故答案为：m＞﹣1且m≠3．12．（2分）（2022春•青羊区校级期中）关于x的分式方程无解，则a＝6．解：，去分母得：2x＝x﹣3+a，解得：x＝a﹣3．∵关于x的分式方程无解，∴a﹣3为原方程的增根，∴a﹣3＝3，∴a＝6．故答案为：6．13．（2分）（2022•任城区一模）关于x的分式方程的解是正数，则a的取值范围是a＞﹣5且a≠3．解：原分式方程可化为：+1＝，x﹣3+x﹣2＝﹣2x+a，解得x＝，∵关于x的分式方程的解是正数，∴，解得：a＞﹣5且a≠3．故答案为：a＞﹣5且a≠3．14．（2分）（2021秋•禹城市期末）关于x的分式方程会产生增根，则k＝﹣4或6．解：方程两边都乘（x+1）（x﹣1），得2（x+1）+kx＝3（x﹣1），即（k﹣1）x＝﹣5，∵最简公分母为（x+1）（x﹣1），∴原方程增根为x＝±1，∴把x＝1代入整式方程，得k＝﹣4．把x＝﹣1代入整式方程，得k＝6．综上可知k＝﹣4或6．故答案为：﹣4或615．（2分）（2022•十堰一模）定义运算“※”：a※b＝，若5※x＝2，则x的值为或10．解：当x＜5时，＝2，x＝，经检验，x＝是原分式方程的解；当x＞5时，＝2，x＝10，经检验，x＝10是原分式方程的解；综上所述，x＝或10；故答案为：或10．16．（2分）（2019•雨城区校级模拟）若数a使关于x的不等式组有且只有四个整数解，且使关于y的方程＝2的解为非负数，则符合条件的所有整数a的和为1．解：，解①得，x＜5；解②得，∴不等式组的解集为；∵不等式有且只有四个整数解，∴，解得，﹣2＜a≤2；解分式方程得，y＝2﹣a（a≠1）；∵方程的解为非负数，∴2﹣a≥0即a≤2且a≠1综上可知，﹣2＜a≤2且a≠1，∵a是整数，∴a＝﹣1，0，2；∴﹣1+0+2＝1，故答案为：1．17．（2分）（2022春•成都期末）关于y的方程的解为非负数，则a的取值范围是a≤2且a≠1．解：解分式方程得，y＝2﹣a，∵a使关于y的方程的解为非负数，∴2﹣a≥0，且2﹣a≠1∴a≤2且a≠1．故答案为：a≤2且a≠1．18．（2分）（2022春•衡阳县期末）若关于x的一元一次不等式组的解集为x≥5，且关于y的分式方程+＝﹣1有非负整数解，则符合条件的所有整数a的和为﹣2．解：，解不等式①得：x≥5，解不等式②得：x＞a+2，∵解集为x≥5，∴a+2＜5，∴a＜3；分式方程两边都乘以（y﹣2）得：y﹣a＝﹣（y﹣2），解得：y＝，∵分式方程有非负整数解，∴≥0，为整数，∴a≥﹣2，a为偶数，∵≠2，∴a≠2，综上所述，﹣2≤a＜3且a≠2且a为偶数，∴符合条件的所有整数a的数有：﹣2，0，和为﹣2+0＝﹣2．故答案为：﹣2．19．（2分）（2021秋•宁远县期末）若关于x的方程＝+1无解，则a的值是3或1．解：去分母，得：ax＝3+x﹣1，整理，得：（a﹣1）x＝2，当x＝1时，分式方程无解，则a﹣1＝2，解得：a＝3；当整式方程无解时，a＝1，故答案为：3或1．20．（2分）（2022春•射洪市校级月考）若分式不论x取何实数总有意义，则m的取值范围为m＞4．解：方法一、∵当Δ＝b2﹣4ac＜0时，x2+4x+m＝0无解，即42﹣4m＜0，解得m＞4，∴当m＞4时，不论x取何实数，分式总有意义．方法二、∵x2+4x+m＝x2+4x+4﹣4+m＝（x+2）2﹣4+m，∴当﹣4+m＞0时，分式不论x取何实数总有意义，∴m＞4，故答案为m＞4．三．解答题（共7小题，满分60分）21．（8分）（2022春•清苑区期末）（1）因式分解：（2x+y）2﹣（x+2y）2；（2）计算：（）•；（3）解不等式组：；（4）解方程：．解：（1）（2x+y）2﹣（x+2y）2＝（2x+y+x+2y）（2x+y﹣x﹣2y）＝（3x+3y）（x﹣y）＝3（x+y）（x﹣y）；（2）（）•＝•＝＝＝2x+8；（3），由①得：x＞﹣4，由②得：x＞1，∴不等式组的解集是：x＞1；（4）解方程：，去分母，方程两边同时乘以x﹣4，得：3﹣x﹣1＝x﹣4，∴x＝3，经检验：x＝3是原分式方程的解．22．（8分）（2023春•沙坪坝区校级期中）春节吃汤圆和水饺是中华民族的传统习俗．某超市为了促进实体经济发展在春节前搞促销活动，在首次促销中水饺的销售额是10000元，汤圆的销售额是4000元，售出的水饺的数量比汤圆的数量多500袋，售出的水饺的单价是汤圆单价的1.25倍．（1）求水饺、汤圆的单价分别是多少元？（2）由于临近年关，超市再次加大让利幅度，相比第一次促销，该超市将水饺单价降低了，汤圆的单价减少了2元，两款产品销售火爆，第二次水铰的销量比第一次多了a%，汤圆的销量在第一次的基础上增加了20a袋，若第二次销售总金额不低于第一次销售总金额，求a的最小值．解：（1）设汤圆的单价为x元，则水饺的单价为1.25x元，由题意得：﹣＝500，解得：x＝8，经检验，x＝8是原方程的解，且符合题意，则1.25x＝1.25×8＝10，答：水饺的单价为10元，汤圆的单价为8元；（2）第一次水饺数量为10000÷10＝1000（袋），第一次汤圆数量为1000﹣500＝500（袋），第二次销售水饺单价为：10×（1﹣）＝8（元），汤圆的单价为：8﹣2＝6（元），由题意得：8×1000×（1+a%）+6×（500+20a）≥10000+4000，解得：a≥15，答：a的最小值为15．23．（8分）（2023春•长宁区校级月考）某厂家接到定制5400套防护服任务，可以选择甲、乙两条流水线中的一条承担此任务，已知乙流水线每天比甲流水线多加工90套防护服，甲流水线加工这批防护服所花的时间比乙流水线多10天，且甲、乙两条流水线每天的生产成本分别为0.6万元与0.8万元，问厂家选择哪条流水线可使生产成本较小？为什么？解：设甲流水线每天加工x套防护服，则乙流水线每天加工x+90套防护服，则，解得：x＝180或x＝﹣270，经检验：x＝180是分式方程的根，且符合题意；x＝﹣270不符合题意舍去，则乙流水线每天加工270套防护服，所以甲需要5400÷180＝30天，乙需要5400÷270＝20天，所以甲、乙两条流水线每天的生产成本分别为18万元和16万元．所以乙流水线成本较小．24．（8分）（2023春•沙坪坝区校级月考）随着我国疫情管控的全面放开，近期旅游业逐渐回暖．今年元旦期间，重庆A级景区接待游客47万余人次．今年一月小明购买麻花和桃片这两种特产若干袋作为年货．已知每袋麻花的售价比每袋桃片的售价少4元，且购买麻花的数量是桃片数量的2倍，购买麻花用了280元，购买桃片用了160元．（1）求每袋麻花和每袋桃片的售价；（2）今年三月，小明再次购买一些和上次品质相同的麻花和桃片，恰逢特产店对两种产品的价格进行了调整，三月每袋麻花的售价比一月每袋麻花的售价高元，每袋桃片的售价比一月每袋桃片的售价低a元．三月购买麻花的数量比一月购买麻花的数量多50%，且购买桃片的数量是一月购买桃片数量的4倍．最终这次购买两种特产的总费用比一月购买的总费用多了575元，求a的值．解：（1）设每袋桃片的售价为x元，则每袋麻花的售价为（x﹣4）元，依题意，得．解得x＝32．经检验，x＝32是原方程的解．则x﹣4＝28．答：每袋桃片的售价为32元，则每袋麻花的售价为28元；（2）∵每袋麻花的售价为28元，每袋桃片的售价为32元，∴280÷28＝10，160÷32＝5，即今年一月小明购买麻花10袋，桃片5袋．∵三月每袋麻花的售价比一月每袋麻花的售价高元，每袋桃片的售价比一月每袋桃片的售价低a元，三月购买麻花的数量比一月购买麻花的数量多50%，且购买桃片的数量是一月购买桃片数量的4倍，∴10×（1+50%）＝15，5×4＝20．∴三月每袋麻花的售价为（28+）元，每袋桃片的售价为（32﹣a）元，三月购买麻花15袋，购买桃片20袋．∵这次购买两种特产的总费用比一月购买的总费用多了575元，由题得，解得a＝3．答：a的值为3．25．（8分）（2021秋•海门市期末）定义：若两个分式的差的绝对值为2，则称这两个分式属于“友好分式组”．（1）下列3组分式：①与；②与；③与．其中属于“友好分式组”的有②③（只填序号）；（2）若正实数a，b互为倒数，求证，分式与属于“友好分式组”；（3）若a，b均为非零实数，且分式与属于“友好分式组”，求分式的值．解：（1）①﹣＝≠2，②﹣＝＝2，③|﹣|＝||＝2，∴属于“友好分式组”的有②③，故答案为：②③．（2）∵a，b互为倒数，∴ab＝1，b＝，∴|﹣|＝|﹣|＝|﹣|＝||＝2，∴分式与属于“友好分式组”；（3）∵|﹣|＝|﹣|＝||＝||，∵与属于“友好分式组”，∴||＝2，∴2a2+2ab＝2（a2﹣4b2）或2a2+2ab＝﹣2（a2﹣4b2），①a＝﹣4b，②ab＝4b2﹣2a2，把①代入＝＝﹣，把②代入＝＝﹣，综上所述：的值为﹣或﹣．26．（10分）（2021春•犍为县期中）我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式，例如：．在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，如：，，这样的分式就是真分式；当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，如：，，这样的分式就是假分式．类似地，假分式也可以化为整式与真分式的和的形式，如：；．（1）分式是假分式（填“真”或“假”）；（2）将假分式、分别化为整式与真分式的和的形式；（3）如果分式的值为整数，求出所有符合条件的整数x的值．解：（1）∵分子的次数大于分母的次数，∴分式是假分式，故答案为：假；（2）＝＝3+，＝＝＝x﹣2+；（3）＝＝＝2（x+1）+，∵分式的值为整数，x为整数，∴x﹣1＝