第1章《整式的乘除》（解析）

2022-2023学年北师大版数学七年级下册易错题真题汇编（提高版）第1章《整式的乘除》考试时间：120分钟试卷满分：100分一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2022秋•晋江市校级期中）计算0.752022×（）2023的结果是（）A． B． C．0.75 D．﹣0.75解：0.752022×（）2023＝﹣（）2022×（）2022×＝﹣（×）2022×＝﹣．故选：B．2．（2分）（2022春•榕城区期末）如图，点C是线段BG上的一点，以BC，CG为边向两边作正方形，面积分别是S1和S2，两正方形的面积和S1+S2＝40，已知BG＝8，则图中阴影部分面积为（）A．6 B．8 C．10 D．12解：设BC＝a，CG＝b，则S1＝a2，S2＝b2，a+b＝BG＝8．∴a2+b2＝40．∵（a+b）2＝a2+b2+2ab＝64，∴2ab＝64﹣40＝24，∴ab＝12，∴阴影部分的面积等于ab＝×12＝6．故选：A．3．（2分）（2021秋•中山区期末）从前，一位农场主把一块边长为a米（a＞4）的正方形土地租给租户张老汉，第二年，他对张老汉说：“我把这块地的一边增加4米，相邻的另一边减少4米，变成长方形土地继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”如果这样，你觉得张老汉的租地面积会（）A．没有变化 B．变大了 C．变小了 D．无法确定解：原来租的土地面积：a2（平方米）．现在租的土地面积：（a+4）（a﹣4）＝a2﹣16（平方米）．∵a2＞a2﹣16．∴张老汉的租地面积会减少．故选：C．4．（2分）（2022春•高新区校级期末）观察：（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1，（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1，（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1，据此规律，当（x﹣1）（x5+x4+x3+x2+x+1）＝0时，代数式x2021﹣1的值为（）A．1 B．0 C．1或﹣1 D．0或﹣2解：∵（x﹣1）（x5+x4+x3+x2+x+1）＝0．∴x6﹣1＝0．∴x6＝1．∴（x3）2＝1．∴x3＝±1．∴x＝±1．当x＝1时，原式＝12021﹣1＝0．当x＝﹣1时，原式＝12021﹣1＝﹣2．故选：D．5．（2分）（2022秋•湟中区校级期末）如图，边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形后，将剩余部分通过割补拼成新的图形．根据图形能验证的等式为（）A．a2﹣b2＝（a﹣b）2 B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．（a+b）2＝a2+2ab+b2解：图中阴影部分的面积等于两个正方形的面积之差，即为a2﹣b2；剩余部分通过割补拼成的平行四边形的面积为（a+b）（a﹣b），∵前后两个图形中阴影部分的面积相等，∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．故选：B．6．（2分）（2021•龙岗区模拟）如图，矩形ABCD的周长是10cm，以AB，AD为边向外作正方形ABEF和正方形ADGH，若正方形ABEF和ADGH的面积之和为17cm2，那么矩形ABCD的面积是（）A．3cm2 B．4cm2 C．5cm2 D．6cm2解：设AB＝x，AD＝y，∵正方形ABEF和ADGH的面积之和为17cm2∴x2+y2＝17，∵矩形ABCD的周长是10cm∴2（x+y）＝10，∵（x+y）2＝x2+2xy+y2，∴25＝17+2xy，∴xy＝4，∴矩形ABCD的面积为：xy＝4cm2，故选：B．7．（2分）（2021春•张店区校级期中）若A＝﹣（1+）（1+）（1+）（1+）（1+）（1+）（1+）…（1+）+1，则A的值是（）A．0 B．1 C． D．解：A＝﹣（1+）（1+）（1+）（1+）（1+）（1+）（1+）……（1+）+1＝﹣（1﹣）（1+）（1+）（1+）（1+）（1+）（1+）（1+）……（1+）+1＝﹣（1﹣）（1+）（1+）（1+）（1+）（1+）（1+）……（1+）+1＝﹣（1﹣）（1+）+1＝﹣（1﹣）+1＝故选：D．8．（2分）（2022春•沂源县期末）下列有四个结论，其中正确的是（）①若（x﹣1）x+1＝1，则x只能是2；②若（x﹣1）（x2+ax+1）的运算结果中不含x2项，则a＝1③若a+b＝10，ab＝2，则a﹣b＝2④若4x＝a，8y＝b，则22x﹣3y可表示为A．①②③④ B．②③④ C．①③④ D．②④解：①若（x﹣1）x+1＝1，则x可以为﹣1，此时（﹣2）0＝1，故①错误，从而排除选项A和C；由于选项B和D均含有②④，故只需考查③∵（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝102﹣4×2＝92∴a﹣b＝±，故③错误．故选：D．9．（2分）（2022春•拱墅区期末）如图，用1块边长为a的大正方形，4块边长为b的小正方形和4块长为a，宽为b的长方形（a＞b），密铺成正方形ABCD，已知ab＝2，正方形ABCD的面积为S，（）A．若a＝2b+1，则S＝16 B．若a＝2b+2，则S＝25 C．若S＝25，则a＝2b+3 D．若S＝16，则a＝2b+4解：由题意，正方形ABCD的边长为a+2b，ab＝2，a＞b＞0，若a＝2b+1，则正方形ABCD的边长为a+2b＝4b+1，b（2b+1）＝2，即2b2+b﹣2＝0，解得：b＝（负值不合题意，舍去），∴b＝，∴S＝（4b+1）2＝（4×+1）2＝17，∴选项A不正确；若a＝2b+2，则正方形ABCD的边长为a+2b＝4b+2，b（2b+2）＝2，即b2+b﹣1＝0，解得：（负值不合题意，舍去），∴b＝，∴S＝（4b+2）2＝（4×+2）2＝20，∴选项B不正确；若S＝25，则（a+2b）2＝25，∵a+2b＞0，∴a+2b＝5，∴a＝5﹣2b，∴b（5﹣2b）＝2，即2b2﹣5b+2＝0，解得：b1＝，b2＝2，当b＝时，a＝5﹣2b＝4，2b+3＝4，此时，a＝2b+3；当b＝2时，a﹣5﹣2b＝1，a＜b，不合题意，∴选项C正确；若S＝16，则（a+2b）2＝16，∵a+2b＞0，∴a+2b＝4，∴a＝4﹣2b，∴b（4﹣2b）＝2，即b2﹣2b+1＝0，解得：b1＝b2＝1，当b＝1时，a＝4﹣2b＝2，2b+4＝6，∴a≠2b+4，∴选项D不正确；故选：C．10．（2分）（2022春•姜堰区校级月考）如图所示，两个正方形的边长分别为a和b，如果a+b＝10，ab＝20，那么阴影部分的面积是（）A．10 B．20 C．30 D．40解：首先令直线BF与直线CD的交点为O；则S△BDO+S△EFO＝S△BDC+S▱ECGF﹣S△BGF＝a•a÷2+b•b﹣（a+b）•b÷2；①S△DEF＝底EF•高DE÷2＝b•（a﹣b）÷2；②S△CGF＝底CG•高GF÷2＝b•b÷2；③∴阴影部分面积＝①+②+③＝a2÷2+b2﹣（ab+b2）÷2+（ab﹣b2）÷2+b2÷2＝{a2+2b2﹣（ab+b2）+（ab﹣b2）+b2}÷2＝（a2+b2）÷2，④由已知a+b＝10，ab＝20，构造完全平方公式：（a+b）2＝102，解得a2+b2+2ab＝100，a2+b2＝100﹣2•20，化简＝60代入④式，得60÷2＝30，∴S阴影部分＝30．故选：C．二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11．（2分）（2023•大庆一模）若关于x的多项式x2﹣ax+36＝（x+b）2，则a+b的值是6或﹣6．解：由题意得：x2﹣ax+36＝x2+2bx+b2，∴，∴a＝12，b＝﹣6或a＝﹣12，b＝6．∴a+b＝6或﹣6．故答案为：6或﹣612．（2分）（2022春•榆次区期中）如图，两个正方形的边长分别为a，b（a＞b），若a+b＝10，ab＝6，则阴影部分的面积为41．解：S阴影＝S大正方形+S小正方形﹣S△ABD﹣S△BEF＝a2+b2﹣a2﹣b（a+b）＝a2+b2﹣ab＝（a2+b2+2ab）﹣ab＝（a+b）2﹣ab∵a+b＝10，ab＝6；∴原式＝×102﹣×6＝×100﹣9＝41故答案为：41．13．（2分）（2021春•东台市期中）如图，一块直径为2a+2b的圆形钢板，从中挖去直径分别为2a与2b的两个圆，已知剩下钢板的面积与一个长为a的长方形面积相等，则这个长方形的宽为2πb．解：设长方形的宽为x，S阴影＝π×（a+b）2﹣π×a2﹣πb2＝ax．∴2πab＝ax．∴x＝2πb．故答案为：2πb．14．（2分）（2017秋•兴义市期末）如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成右边的长方形，分别计算这两个图形的阴影部分的面积，验证了公式a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．解：第一个图形阴影部分的面积是a2﹣b2，第二个图形的面积是（a+b）（a﹣b）．则a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．故答案为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．15．（2分）（2018春•嘉兴期末）如图，点M是AB的中点，点P在MB上．分别以AP，PB为边，作正方形APCD和正方形PBEF，连接MD和ME．设AP＝a，BP＝b，且a+b＝10，ab＝20．则图中阴影部分的面积为35．解：∵AP＝a，BP＝b，点M是AB的中点，∴AM＝BM＝，∴S阴影＝S正方形APCD+S正方形BEFP﹣S△ADM﹣S△BEM＝a2+b2﹣a×﹣b×＝a2+b2﹣（a+b）2＝（a+b）2﹣2ab﹣（a+b）2＝100﹣40﹣25＝35，故答案为：35．16．（2分）（2021春•天桥区期末）已知在（x+a）（x+b）＝x2+mx﹣16中，a、b为整数，则m的值一共有5种可能．解：∵（x+a）（x+b）＝x2+mx﹣16，∴x2+bx+ax+ab＝x2+mx﹣16．∴x2+（a+b）x+ab＝x2+mx﹣16．∴a+b＝m，ab＝﹣16．又∵a、b为整数，∴a＝±1或a＝±2或a＝±4或a＝±8或a＝±16．当a＝1时，b＝﹣16，则a+b＝﹣15．当a＝﹣1时，b＝16，则a+b＝15．当a＝2时，b＝﹣8，则a+b＝﹣6．当a＝﹣2时，b＝8，则a+b＝6．当a＝4时，b＝﹣4，则a+b＝0．当a＝﹣4时，b＝4，则a+b＝0．当a＝8时，b＝﹣2，则a+b＝6．当a＝﹣8时，b＝2，则a+b＝﹣6．当a＝16时，b＝﹣1，则a+b＝15．当a＝﹣16时，b＝1，则a+b＝﹣15．综上：a+b＝﹣15或15或﹣6或6或0．故答案为：5．17．（2分）（2021春•宝安区校级月考）观察下列各式及其展开式（a+b）2＝a2+2ab+b2（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4（a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5……请你猜想（2x﹣1）8的展开式中含x2项的系数是112．解：由所给四组式子的系数规律可得左边式子的指数分别为6，7，8的等式，右边各项的系数分别为：1，6，15，20，15，6，1；1，7，21，35，35，21，7，1；1，8，28，56，70，56，28，8，1；故含x2项的系数为：22×（﹣1）6×28＝112．18．（2分）（2021春•龙岗区期中）计算：（5+1）（52+1）（54+1）（58+1）（516+1）+＝．解：（5+1）（52+1）（54+1）（58+1）（516+1）+，＝（5﹣1）（5+1）（52+1）（54+1）（58+1）（516+1）+，＝（532﹣1）+，＝．19．（2分）（2022春•高新区期中）计算：22018•（﹣）2019＝﹣．解：原式＝22018•（﹣）2018•（﹣）＝[2×]2018＝（﹣1）2018＝﹣．故答案为﹣．20．（2分）（2020春•义乌市期末）如图，长方形ABCD的边BC＝13，E是边BC上的一点，且BE＝BA＝10．F，G分别是线段AB，CD上的动点，且BF＝DG，现以BE，BF为边作长方形BEHF，以DG为边作正方形DGIJ，点H，I均在长方形ABCD内部．记图中的阴影部分面积分别为S1，S2，长方形BEHF和正方形DGIJ的重叠部分是四边形KILH，当四边形KILH的邻边比为3：4时，S1+S2的值为7或．解：在矩形ABCD中，AB＝CD＝10，AD＝BC＝13．∵四边形DGIJ为正方形，四边形BFHE为矩形，BF＝DG，∴四边形KILH为矩形，KI＝HL＝2DG﹣AB＝2DG﹣10．∵BE＝BA＝10，∴LG＝EC＝3，∴KH＝IL＝DG﹣LG＝DG﹣3．当矩形KILH的邻边的比为3：4时，（DG﹣3）：（2DG﹣10）＝3：4，或（2DG﹣10）：（DG﹣3）＝3：4，解得DG＝9或．当DG＝9时，AF＝CG＝1，AJ＝4，∴S1+S2＝AF•AJ+CE•CG＝1×4+1×3＝7；当DG＝时，AF＝CG＝，AJ＝，∴S1+S2＝AF•AJ+CE•CG＝＝．故答案为7或．三．解答题（共8小题，满分60分）21．（8分）（2023春•盐城月考）计算：（1）a2•（﹣a）3•（﹣a4）；（2）﹣2a6﹣（﹣3a2）3；（3）；（4）（p﹣q）4÷（q﹣p）3•（p﹣q）2．解：（1）a2•（﹣a）3•（﹣a4）＝a2•（﹣a3）•（﹣a4）＝a9；（2）﹣2a6﹣（﹣3a2）3＝﹣2a6﹣（﹣27a6）＝﹣2a6+27a6＝25a6；（3）＝1﹣+9﹣4＝5；（4）（p﹣q）4÷（q﹣p）3•（p﹣q）2＝（p﹣q）4÷[﹣（p﹣q）3]•（p﹣q）2＝﹣（p﹣q）•（p﹣q）2＝﹣（p﹣q）3．22．（6分）（2022秋•二道区校级期末）对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，就可以得到一个数学等式．（1）模拟练习：如图，写出一个我们熟悉的数学公式：（a+b）2＝a2+b2+2ab．；（2）解决问题：如果，求a2+b2的值；（3）类比探究：如果一个长方形的长和宽分别为（8﹣x）和（x﹣2），且（8﹣x）2+（x﹣2）2＝20，求这个长方形的面积．解：（1）图中大正方形的面积可以表示为：（a+b）2，还可以表示为：a2+b2+2ab．∴（a+b）2＝a2+b2+2ab．故答案为：（a+b）2＝a2+b2+2ab．（2）∵（a+b）2＝a2+b2+2ab，∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝﹣24＝63﹣24＝39．（3）设a＝8﹣x，b＝x﹣2，则a+b＝6，a2+b2＝20．∵（a+b）2＝a2+b2+2ab．∴36＝20+2ab．∴ab＝8．∴这个长方形的面积为：（8﹣x）（x﹣2）＝ab＝8．23．（6分）（2022春•顺德区校级月考）定义＝ad﹣bc，如＝1×4﹣2×3＝﹣2．已知A＝，已知B＝（n为常数）．（1）若B＝4，求x的值；（2）若A的代数式中不含x的一次项时，当x＝1，求A+B的值．（3）若A中的n满足2×2n+1＝22时，且A＝B+2，求8x2−4x+3的值．解：（1）∵B＝，∴B＝（x+1）2﹣（x﹣1）2＝x2+2x+1﹣x2+2x﹣1＝4x，∵B＝4，∴4x＝4，∴x＝1；（2）∵A＝，∴A＝2x（2x+1）﹣（nx﹣1）＝4x2+2x﹣nx+1＝4x2+（2﹣n）x+1，∵A的代数式中不含x的一次项，∴2﹣n＝0，∴n＝2，∴A＝4x2+1，当x＝1时，A+B＝4×12+1+4×1＝4×1+1+4＝4+1+4＝9，∴A+B的值为9；（3）∵2×2n+1＝22，∴2n+2＝22，∴n+2＝2，∴n＝0，∴A＝4x2+2x+1，∵A＝B+2，∴4x2+2x+1＝4x+2，∴4x2﹣2x﹣1＝0，∴4x2﹣2x＝1，∴8x2﹣4x＝2，∴8x2−4x+3＝2+3＝5，∴8x2−4x+3的值为5．24．（8分）（2022春•工业园区校级期中）如图①是一个长为4a、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图②）．（1）根据上述过程，写出（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系：（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab；（2）利用（1）中的结论，若x+y＝4，，则（x﹣y）2的值是7；（3）实际上通过计算图形的面积可以探求相应的等式，如图③，请你写出这个等式：（3a+b）（a+b）＝3a2+4ab+b2；（4）两个正方形ABCD，AEFG如图④摆放，边长分别为x，y．若x2+y2＝34，BE＝2，求图中阴影部分面积和．解：（1）方法一：中间部分是边长为a﹣b的正方形，因此面积为（a﹣b）2，方法二：中间部分的面积可以看作从边长为a+b的正方形面积减去4个长为a，宽为b的长方形面积，即（a+b）2﹣4ab；∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab，故答案为：（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab；（2）∵x+y＝4，xy＝，（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy，∴（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy＝16﹣4×＝7，故答案为：7；（3）分别以大矩形的面积和几个小矩形的面积为等量可得：（3a+b）（a+b）＝3a2+4ab+b2，故答案为：（3a+b）（a+b）＝3a2+4ab+b2；（4）∵x2+y2＝34，BE＝2，∴x﹣y＝2①，∴x2﹣2xy+y2＝4，∴34﹣2xy＝4，∴xy＝15，∵（x+y）2＝x2+2xy+y2＝34+30＝64，且x+y＞0，∴x+y＝8②，①+②得：x＝5，∴y＝3，图中阴影部分面积和＝S△DFC+S△BEF＝•x（x﹣y）+•y（x﹣y）＝x2﹣xy+xy﹣y2＝（x2﹣y2）＝×（25﹣9）＝8．25．（8分）（2022春•莲湖区期中）如图所示，甲是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线剪开分成四个完全一样的小长方形，然后拼成如图乙的一个正方形．（1）用含有a和b的代数式表示出图甲的面积为4ab．（2）用含有a和b的代数式表示出图乙中阴影部分的面积为（a﹣b）2．（3）观察图乙，写出（a+b）2、（a﹣b）2、ab三个代数式之间的等量关系为（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab．．（4）根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：若a+b＝10，ab＝15，求（a﹣b）2的值．解：（1）图甲中大长方形的长为2a，宽为2b，面积为：2a×2b＝4ab．故答案为：4ab．（2）图乙中阴影部分是边长为（a﹣b）的正方形，其面积为：（a﹣b）2．故答案为：（a﹣b）2．（3）图乙中阴影正方形的面积还可以表示为：（a+b）2﹣4ab．∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab．故答案为：（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab．（4）∵（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝102﹣4×15＝40．26．（8分）（2022春•锦江区校级期中）如图①，是一个长为2m、宽为2n的长方形，用剪刀沿图中的虚线（对称轴）剪开，把它分成四个形状和大小都相同的小长方形，然后按图②那样拼成一个正方形（中间是空的）．（1）图②中画有阴影的小正方形的边长为m﹣n（用含m，n的式子表示）；（2）观察图②，写出代数式（m+n）2，（m﹣n）2与mn之间的等量关系；（3）根据（2）中的等量关系解决下面的问题：（i）若m+n＝7，mn＝5，求（m﹣n）2的值；（ii）若a+＝3，求a2+的值．解：（1）图②中画有阴影的小正方形的边长（m﹣n）；故答案为：m﹣n．（2）图②中画有阴影的小正方形的边长（m﹣n），面积为：（m﹣n）2，（图②中画有阴影的小正方形的面积还可以表示为：（m+n）2﹣4mn．∴（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn．（3）（i）（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn＝49﹣20＝29．（ii）a2+＝﹣2＝9