第23讲 约数的个数

第23讲约数的个数一、第23讲约数的个数（练习题部分）1.写出1～59这59个数的约数个数，并将n的约数个数d(n)填在右表内与左表相对应的地方．

2.105的约数共有几个?3.4500共有多少个约数?4.恰有12个不同约数的自然数最小是多少?5.自然数n的约数个数用d(n)表示．（1）求d(42)；（2）求满足d(n)=8的最小自然数n；（3）如果d(n)=2，那么n是怎样的数?如果d(n)=3呢?6.证明：不是平方数的自然数n，d(n)一定是偶数.7.n≤60，并且对每个比n小的正整数m，d(m)<d(n)．求n．8.一个自然数，有10个不同的约数，它的质因数是3或5．这个自然数最大是多少?

9.在1～100中，恰有3个约数的自然数相加，和是多少?

10.写出从300到600的自然数中，有奇数个约数的数.

11.求240的所有约数的和．12.筐里共有96个苹果．如果不一次全拿出，也不一个个地拿，要求每次拿出的个数一样多，又正好拿完．有几种不同的拿法?

答案解析部分一、第23讲约数的个数（练习题部分）1.【答案】

【解析】【分析】对于一个大于1的正整数分解质因数：n=p1a1·p2a2·……·pkak，可知n的正约数有（a1+1）（a2+1）……（ak+1）个；先将各数分解质因数，再依此计算即可.2.【答案】解：∵105=3×5×7，

∴105的约数个数是：（1+1）×（1+1）×（1+1）=8（个），【解析】【分析】对于一个大于1的正整数分解质因数：n=p1a1·p2a2·……·pkak，可知n的正约数有（a1+1）（a2+1）……（ak+1）个；所以先将105分解质因数，再依此计算即可.3.【答案】解：∵4500=22×32×53，

∴4500的约数个数是：（2+1）×（2+1）×（3+1）=36（个）.【解析】【分析】对于一个大于1的正整数分解质因数：n=p1a1·p2a2·……·pkak，可知n的正约数有（a1+1）（a2+1）……（ak+1）个；所以先将4500分解质因数，再依此计算即可.4.【答案】解：∵12=1×12=2×6=3×4，

∴12=1×（11+1）=（1+1）×（5+1）=（2+1）×（3+1）=（2+1）（1+1）（1+1），

又∵(a1+1)(a2+1)…(ak+1)=12，

①当k=1时，

∴a1+1=1×（11+1）=12，

∴a1=11，

∴n=p1a1，

要使n最小，p1应取2，

∴n=211=2048；

②当k=2时，

∴（a1+1）（a2+1）=（1+1）×（5+1），

∴a1+1=2，a2+1=6，

∴a1=1，a2=5，

∴n=p1a1·p2a2，

要使n最小，p1应取3，p2应取2，

∴n=3×25=96；

③当k=2时，

∴（a1+1）（a2+1）=（2+1）×（3+1），

∴a1+1=3，a2+1=4，

∴a1=2，a2=3，

∴n=p1a1·p2a2，

要使n最小，p1应取3，p2应取2，

∴n=32×23=72；

④当k=4时，

∴（a1+1）（a2+1）（a3+1）=（2+1）（1+1）（1+1），

∴a1+1=3，a2+1=2，a3+1=2，

∴a1=2，a2=1，a3=1，

∴n=p1a1·p2a2·p3a3，

要使n最小，p1应取2，p2应取3，p2应取5，

n=22×3×5=60；

∵2048>96>72>60，

∴符合题意的数是12×5=60．

【解析】【分析】对于一个大于1的正整数分解质因数：n=p1a1·p2a2·……·pkak，可知n的正约数有（a1+1）（a2+1）……（ak+1）个；由此计算即可.5.【答案】（1）解：∵42=2×3×7，

∴42的约数个数是：（1+1）×（1+1）×（1+1）=8（个）.

（2）解：∵8=1×8=2×4，

∴8=1×（7+1）=（1+1）×（3+1）=（1+1）×（1+1）×（1+1），

又∵(a1+1)(a2+1)…(ak+1)=8，

①当k=1时，

∴a1+1=1×（7+1）=8，

∴a1=7，

∴n=p1a1，

要使n最小，p1应取2，

∴n=27=128；

②当k=2时，

∴（a1+1）（a2+1）=（1+1）×（3+1），

∴a1+1=2，a2+1=4，

∴a1=1，a2=3，

∴n=p1a1·p2a2，

要使n最小，p1应取3，p2应取2，

∴n=3×23=24；

∵128>24，

∴符合题意的最小自然数n=24．

（3）解：∵2=1×2，

∴2=1×（1+1），

又∵(a1+1)(a2+1)…(ak+1)=2，

①当k=1时，

∴a1+1=1×（1+1）=2，

∴a1=1，

∴n=p；

∵3=1×3，

∴3=1×（2+1），

又∵(a1+1)(a2+1)…(ak+1)=3①，

①当k=1时，

∴a1+1=1×（2+1）=3，

∴a1=2，

∴n=p2.

【解析】【分析】对于一个大于1的正整数分解质因数：n=p1a1·p2a2·……·pkak，可知n的正约数有（a1+1）（a2+1）……（ak+1）个；由此计算即可.6.【答案】证明：将n分解为质因数的积n=p1a1·p2a2·……·pkak，

∵n不是平方数，

对n的每一个约数d都有n=d×，

∴也是n的约数，

这样n的约数d与就可以两两配对，

∴n的约数个数是偶数．

【解析】【分析】对于一个大于1的正整数分解质因数：n=p1a1·p2a2·……·pkak，可知n的正约数有（a1+1）（a2+1）……（ak+1）个；依此计算即可.7.【答案】解：方法一：1~60的约数个数如下表。（括号内的数为约数的个数）1(1)2(2)3(2)4(3)5(2)6(4)7(2)8(4)9(3)10(4)11(2)12(6)13(2)14(4)15(4)16(5)17(2)18(6)19(2)20(6)21(4)22(4)23(2)24(8)25(3)26(4)27(4)28(6)29(2)30(8)31(2)32(6)33(4)34(4)35(4)36(9)37(2)38(4)39(4)40(8)41(2)42(8)43(2)44(6)45(6)46(4)47(2)48(10)49(3)50(6)51(4)52(6)53(2)54(8)55(4)56(8)57(4)58(4)59(2)60(12)要使对每个比n小的正整数m，d(m)<d(n)，

∴n的值为2,4,6,12,24,36,48,60；

方法二：要使对每个比n小的正整数m，d(m)<d(n)，

即求当d(n)=a时，d(m)<a。

（1）当d(n)=1时，不符合；

（2）当d(n)=2时，要使m,n时，d(m)<d(n)，n应为约数个数为2的最小值，

则n=2；

（3）当d(n)=3时，同理求n的最小值：n=22=4；

（4）当d(n)=4时，同理求n的最小值：n=23=8或2×3=6，则最小的n=6；

（5）当d(n)=5时，同理求n的最小值：n=24=16，由（6）可得当m=12时，d(m)>d(n)，故不符合；

（6）当d(n)=6时，同理求n的最小值：n=25=32或n=22×3=12，则最小的n=12；

（7）当d(n)=7时，同时求n的最小值：n=26=64>60，不符合；

（8）当d(n)=8时，同理求n的最小值：n=27=128或n=23×3=24或n=2×3×5=30，则最小的n=24；

（9）当d(n)=9时，同理求n的最小值：n=28或n=22×32=36，则最小的n=36；

（10）当d(n)=10时，同理求n的最小值：n=29或n=24×3=48，则最小的n=48；

（11）当d(n)=11时，同理求n的最小值：n=210，不符合；

（12）当d(n)=12时，同理求n的最小值：n=211或n=25×32=288或n=22×3×5=60，则最小的n=60；

（13）当d(n)>13时，有n>60，故不符合题意；

综上所述，n的值为2,4,6,12,24,36,48,60。

方法三：∵n≤60＜64=26，

∴n的质因数个数最多为5，

①当n的质因数个数为5时，

∴n=32或48，

当n=32=25时，d（n）=5+1=6，

当n=48=24×3时，d（n）=（4+1）×（1+1）=10，

∴d（48）＞d（32），

∴n=48；

②当n的质因数个数为4时，

∴n=60，56，54，40，36，24，16，

当n=60=22×3×5时，d（n）=（2+1）×（1+1）×（1+1）=12，

当n=56=23×7时，d（n）=（3+1）×（1+1）=8，

当n=54=2×33时，d（n）=（1+1）×（3+1）=8，

当n=40=23×5时，d（n）=（3+1）×（1+1）=8，

当n=36=22×32时，d（n）=（2+1）×（2+1）=9，

当n=24=23×3时，d（n）=（3+1）×（1+1）=8，

当n=16=24时，d（n）=4+1=5，

∴d（60）＞d（36）＞d（56）=d（54）=d（40）=d（24）＞d（16），

∴n=60或36或24；

③当n的质因数个数为3时，

∴n=52，50，45，44，42，30，28，27，20，18，16，12，8，

当n=52=22×13时，d（n）=（2+1）×（1+1）=6，

当n=50=2×52时，d（n）=（1+1）×（2+1）=6，

当n=45=5×32时，d（n）=（2+1）×（1+1）=6，

当n=44=22×11时，d（n）=（1+1）×（2+1）=6，

当n=42=2×3×7时，d（n）=（1+1）×（1+1）×（1+1）=8，

当n=28=22×7时，d（n）=（2+1）×（1+1）=6，

当n=27=23时，d（n）=3+1=4，

当n=20=5×22时，d（n）=（2+1）×（1+1）=6，

当n=18=32×2时，d（n）=（1+1）×（2+1）=6，

当n=12=22×3时，d（n）=（2+1）×（1+1）=6，

当n=8=23时，d（n）=3+1=4，

∴d（36）＞d（42），d（12）＞d（8），

∴n=12；

④当n的质因数个数为2时，

∴n=58，57，55，51，49，46，39，38，35，34，33，26，25，22，21，15，14，10，9，6，4，

当n=58=2×29时，d（n）=（1+1）×（1+1）=4，

当n=57=3×19时，d（n）=（1+1）×（1+1）=4，

当n=55=5×11时，d（n）=（1+1）×（1+1）=4，

当n=51=3×17时，d（n）=（1+1）×（1+1）=4，

当n=49=73时，d（n）=3+1=4，

当n=46=2×23时，d（n）=（1+1）×（1+1）=4，

当n=39=2×23时，d（n）=（1+1）×（1+1）=4，

当n=38=2×19时，d（n）=（1+1）×（1+1）=4，，

当n=35=5×7时，d（n）=（1+1）×（1+1）=4，

当n=34=2×17时，d（n）=（1+1）×（1+1）=4，

当n=33=3×11时，d（n）=（1+1）×（1+1）=4，

当n=26=2×13时，d（n）=（1+1）×（1+1）=4，

当n=25=52时，d（n）=2+1=3，

当n=22=2×11时，d（n）=（1+1）×（1+1）=4，

当n=51=3×17时，d（n）=（1+1）×（1+1）=4，

当n=21=3×7时，d（n）=（1+1）×（1+1）=4，

当n=15=3×5时，d（n）=（1+1）×（1+1）=4，

当n=14=2×7时，d（n）=（1+1）×（1+1）=4，

当n=10=2×5时，d（n）=（1+1）×（1+1）=4，，

当n=9=32时，d（n）=2+1=3，

当n=6=2×3时，d（n）=（1+1）×（1+1）=4，

当n=4=22时，d（n）=2+1=3，

当n=2=21时，d（n）=1+1=2，

∴d（6）＞d（4）＞d（2），

∴n=6；4；2

综上所述，符合条件的n值为2，4，6，12，24，36，48，60.【解析】【分析】方法一：运用列举法，将1~60的约数个数求出来，取的n值的约数个数要比前面的都多；

方法二：求出d(n)=a时的n的最小值，当m<n时，就有d(m)<d(n)，并注意是否符合题意。

方法三：根据已知条件n≤60＜64=26得出n的质因数个数最多为5，再分情况讨论：①当n的质因数个数为5时，②当n的质因数个数为4时，③当n的质因数个数为3时，④当n的质因数个数为2时，

根据约数个数公式，逐一分析，求解即可得出答案.8.【答案】解：∵10=1×10=2×5，

∴10=1×（9+1）=（1+1）×（4+1），

又∵(a1+1)(a2+1)…(ak+1)=10，

①当k=1时，

∴a1+1=1×（9+1）=10，

∴a1=9，

∴n=p1a1，

要使n最大，p1应取5，

∴n=59；

②当k=2时，

∴（a1+1）（a2+1）=（1+1）×（4+1），

∴a1+1=2，a2+1=5，

∴a1=1，a2=4，

∴n=p1a1·p2a2，

要使n最大，p1应取3，p2应取5，

∴n=3×54；

∵59>3×54；

∴这个自然数最大是59.

【解析】【分析】对于一个大于1的正整数分解质因数：n=p1a1·p2a2·……·pkak，可知n的正约数有（a1+1）（a2+1）……（ak+1）个；由此计算即可.9.【答案】解：∵在1～100中，最小的平方数是12=1，最大的平方数是102=10，

∴满足条件的数为：10-1+1=10，

又∵恰有3个约数，

∴一定是质数的平方数，

∴22=4，32=9，52=25，72=49，

∴恰有3个约数的自然数为：4，9，25，49，

∴恰有3个约数的自然数的和是：4+9+25+49=87.

【解析】【分析】先找出1～100中奇数个约数