第27讲 抽屉原理 （教师版）

第27讲抽屉原理（教师版）一、第27讲抽屉原理1.全班共50名学生．将书分给大家，至少要多少本，才能保证至少有一个学生得到两本或两本以上的书?【答案】解：书的数目应多于学生数，即书至少需要50+1=51本，才能满足要求．【解析】【分析】根据抽屉原理一：n+1个苹果放入n个抽屉，一定有一个抽屉里有两个或两个以上的苹果.由此即可得出答案.2.11名学生到老师家借书；老师有A、B、C、D四类书，每名学生最多可借两本不同类的书，最少借一本．试证明：必有两个学生所借的书，类型与本数相同.

【答案】证明：依题可得：

借一本书，有A、B、C、D四种情况；

借两本书，有AB、AC、AD、BC、BD、CD六种情况；

∴共有十种情况．

把这十种情况看作十个“抽屉”，11名学生看作“苹果”．

由抽屉原理，至少有两个学生，他们所借的书的类型与本数都相同．

【解析】【分析】能否合理、正确地制造出“抽屉”，是解决这一类问题的关键，也是掌握和运用抽屉原理的关键。应该根据题目的条件和结论，结合有关的数学知识，抓住最基本的数量关系，设计出解决问题所需的抽屉．3.能否在5×5的正方形(如图)的每个小方格中填上4、5、6这三个数之一，使得每行、每列及两条对角线上的五个数的和各不相同?为什么?【答案】解：不能．在方格中填入4、5、6这三个数后，每行、每列或两条对角线上的五个数的和最小为4×5=20(五个数都是4)，最大为6×5=30(五个数都是6)．

因为五个数的和为整数，所以共有11个不同的值(即20～30间的所有整数值)．

把这11个不同的值当做11个”抽屉，5行、5列及2条对角线上的和共有12个，作为“苹果”，

根据抽屉原理，其中必有两个或两个以上的和是相同的．【解析】【分析】根据题意把这11个不同的值当做11个”抽屉，5行、5列及2条对角线上的和共有12个，作为“苹果”，根据抽屉原理一：n+1个苹果放入n个抽屉，一定有一个抽屉里有两个或两个以上的苹果.由此即可得出答案.4.9个点任意放在一个边长为2的正方形中．如果任意三点不在同一直线上，那么一定存在一个以这些点为顶点的三角形面积面积不超过。【答案】证明：将边长为2的正方形划分为4个相同的小正方形，如图．把四个小正方形作为“抽屉”，将9个点作为“苹果”．由抽屉原理二，有一个小正方形，其中至少包含了9个点中的+1=3(个)点(如图中的A、B、C三点).由于A、B、C三点在边长为1的正方形中，三角形ABC的面积不超过.命题得证．【解析】【分析】根据抽屉原理一：m个苹果放入n（n＜m）个抽屉，一定有一个抽屉里至少有k个苹果，（表示不大于的最大整数，即的整数部分）；由此分析得证.5.平面上有A、B、C、D、E、F六个点，其中没有三点共线．每两点之间都用红线或蓝线连结；求证：不管怎样连结，至少存在一个三边同色的三角形．

【答案】证明：从六个点中任取一点，不妨设为A．在连接A与其余五点的五条线段中，至少+1=3条同色(这是把红、蓝两色作为抽屉，把五条线段作为“苹果”，由抽屉原理二得到)．不妨设AB、AC、AD为红色线段．这时，在三条线段BC、BD、CD中，若有一条为红色(如BC为红色)，则得到一个三边为红色的三角形(△ABC)．否则，BC、BD、CD都是蓝色，△BCD是三边同为蓝色的三角形．【解析】【分析】本题是著名的同色三角形问题．本题也可以换一个说法：在任意6个人之间，必有3个人互相认识或有3个人互相都不认识．根据抽屉原理二分析即可得证.6.从1，2，…，2006中，最多可以选取多少个数，使得选出的数中任意两个数的差都不等于6？【答案】解：依从小到大次序把这2006个数，每12个作为一组，最后2个数也作为一组．共分成168组，即在每一组中取前6个数，最后一组取2个数，共取6×167+2=1004个数；这些数中，同一组的两个数，差小于6．不同组的两个数，差大于6．因此任意两个的差都不等于6．另一方面，若取1004+1=1005个数，则由于，上述167组中必有一组，在这一组中取出的数多于6个．而这组中12个数可以分成6小组，每小组两个数，形如a和a+6．所以取出的数多于6时，必有一小组中两个数均被取出，它们的差等于6．因此，最多可取出1004个数．又解将1～2002分成6条“链”

每条链都是一个公差为6的等差数列，即相邻两项的差为6．在每条链中选第1，3，…项，共选出个数(每条链上选出一半的项，只有第一、第二两条链上选出的比未选出的多一个数)．这些数中任两个的差都不为6.另一方面，如果选出的数多于1004，那么必有～条链上有两个相邻的项被选出，它们的差为6．【解析】【分析】先将这些数按照一定的规律分组，再按照题目要求分析即可.7.从1到100这100个自然数中任取51个．求证：其中必有两个数，它们的差是50．【答案】证明：将1到100这100个自然数分成50组：{100，50}，{99，4}，{98，48}，…,{51，1}．每一组2个数，它们的差恰好是50．将这50个组作为50个抽屉，任取的51个数中至少有2个数来自同一抽屉，这两个数的差就是50．

【解析】【分析】用数组作抽屉．符合条件的数放在一起，组成一个数组，将这些数组作为抽屉．这种构造抽屉的方法是很常用的．8.从1，2，…，10这10个自然数中，任取6个．求证：其中有两个数，一个是另一个数的倍数．【答案】证明：将1，2，…，10这10个自然数按以下方法分成五组：

A={1，2，4，8}，B={3，6}，

C={5，10}，D={7}，E={9}．将这五个数组作为五个“抽屉”．任取的6个数取自这五个“抽屉”．根据抽屉原理，至少有两个数在同一个抽屉中，即在同一数组．由于D和E两组中只含有一个数，所以这两个数不可能出现在D、E组中．因此，这两个数必同在A，B，C三个数组的某一个中．这三个数组的任一个中，所取的大数必是小数的倍数．【解析】【分析】先将这10个数分好组，再由题意结合抽屉原理，分析即可得证.

9.任取n个自然数(n≥1)，证明：在这n个自然数中，或者有一个数是n的倍数，或者有两个数的差是n的倍数．【答案】证明：若n个自然数中有一个是n的倍数，则结论成立．

设n个自然数中没有一个数是他的倍数，则这些自然数除以n，所得的余数必为1，2，…，n-1中的一个．

将所得余数相同的数归为一类，共有(n-1)类．将这(n-1)类作为(n-1)个“抽屉”，n个自然数作为“苹果”．

根据抽屉原理，其中必有两个数在同一类中，即这两个数除以n所得的余数相同．

因此，这两个数的差是n的倍数．

【解析】【分析】以正整数n为模(即为除数)，可把全体整数按余数分成n类：凡余数相同的归为一类．由于余数可以是0，1，…,n-1．所以可把全体整数分成n类，这n类称为关于模n的剩余类．用模n的剩余类制造抽屉也是解题的基本方法之一.10.求证：1999个数1，11，111，…中必有一个是1999的倍数．

【答案】证明：有两种情况：

(1)有一个数是