第2章 一元一次不等式与一元一次不等式组章末重难点题型总结（学生版）

第2章一元一次不等式与一元一次不等式组章末重难点题型总结【北师大版】【考点1不等式的定义】【方法点拨】不等式的概念：用“＞”或“＜”号表示大小关系的式子，叫做不等式，用“≠”号表示不等关系的式子也是不等式．

凡是用不等号连接的式子都叫做不等式．常用的不等号有“＜”、“＞”、“≤”、“≥”、“≠”．另外，不等式中可含未知数，也可不含未知数．【例1】（2020春•丛台区校级期中）式子①x﹣y＝2②x≤y③x+y④x2﹣3y⑤x≥0⑥12xA．2个 B．3个 C．4个 D．5个【变式1-1】（2020春•巴州区校级期中）在下列数学表达式：①﹣2＜0，②2x﹣5≥0，③x＝1，④x2﹣x，⑤x≠﹣2，⑥x+2＜x﹣1中，是不等式的有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【变式1-2】（2020春•叶集区期末）式子：①2＞0；②4x+y≤1；③x+3≠0；④y﹣7；⑤m﹣2.5＞3．其中不等式有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式1-3】（2020春•毕节市期中）老师在黑板上写了下列式子：①x﹣1≥1；②﹣2＜0；③x≠3；④x+2；⑤x−12y＝0；⑥x+2A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【考点2不等式的基本性质】【方法点拨】不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；（3）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变．【例2】（2020春•开封期末）下列不等式的变形正确的是（）A．若a＜b，且c≠0，则ac＜bc B．若a＞b，则1+a＜1+b C．若ac2＜bc2，则a＜b D．若a＞b，则ac2＞bc2【变式2-1】（2020春•江阴市期末）若a＜b，则下列不等式一定成立的是（）A．a+2c＜b+2c B．2c﹣a＜2c﹣b C．a+2c＞b+2c D．2ac＜2bc【变式2-2】（2020春•福田区期中）下列不等式变形错误的是（）A．若a＞b，则1﹣a＜1﹣b B．若a＜b，则ax2≤bx2 C．若ac＞bc，则a＞b D．若m＞n，则m【变式2-3】（2020春•泰山区期末）如果a＜b，c＜0，那么下列不等式成立的是（）A．a+c＜b B．a﹣c＞b﹣c C．ac+1＜bc+1 D．a（c﹣2）＜b（c﹣2）【考点3不等式性质的运用】【方法点拨】含字母系数的不等式的解法，有一定难度，注意不等式两边同乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．【例3】（2020春•南岗区校级月考）如果一元一次不等式（m+2）x＞m+2的解集为x＜1，则m必须满足的条件是（）A．m＜﹣2 B．m≤﹣2 C．m＞﹣2 D．m≥﹣2【变式3-1】（2020春•郯城县校级期末）如果关于x的不等式（a+2020）x﹣a＞2020的解集为x＜1，那么a的取值范围是（）A．a＞﹣2020 B．a＜﹣2020 C．a＞2020 D．a＜2020【变式3-2】（2020春•仁寿县期中）若不等式ax−52−2−ax4＞A．3 B．4 C．﹣4 D．以上答案都不对【变式3-3】（2020•回民区二模）如果不等式（a﹣2）x＞2a﹣5的解集是x＜4，则不等式2a﹣5y＞1的解集是（）A．y＜52 B．y＜25 C．y＞【考点4解一元一次不等式及不等式组】【方法点拨】根据不等式的性质解一元一次不等式

基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向．

不等式组的解的求解过程：分别求出每个不等式的解、把两个不等式的解表示在同一数轴上、取公共部分作为不等式组的解（若没有公共部分则无解）.口诀：大大取大，小小取小，大小小大两头夹，大大小小是无解.【例4】（2020春•福山区期末）解下列不等式（组），并把解集表示在数轴上．2x+135x−4≤2+7x【变式4-1】（2020春•河南期末）解不等式：2x−1.50.5【变式4-2】（2020春•思明区校级月考）x取何正整数时，代数式x+13−2x−1【变式4-3】（2020春•东阿县期末）根据要求解不等式组．（1）2x−6＜3xx+2（2）2x−13【考点5一次函数与一元一次不等式】【方法点拨】一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．【例5】（2020春•寿光市期末）如图，一次函数y＝kx+b的图象经过点A（0，3），B（4，﹣3），则关于x的不等式kx+b+3＜0的解集为（）A．x＞4 B．x＜4 C．x＞3 D．x＜3【变式5-1】（2020•徐州一模）如图是一次函数y1＝kx+b与y2＝x+a的图象，则不等式kx﹣x＜a﹣b的解集是（）A．x＜3 B．x＞3 C．x＜a+b D．x＞a﹣b【变式5-2】（2019秋•南浔区期末）如图，直线y＝ax+b与x轴交于点A（4，0），与直线y＝mx交于点B（2，n），则关于x的不等式组0＜ax﹣b＜mx的解集为（）A．﹣4＜x＜﹣2 B．x＜﹣2 C．x＞4 D．2＜x＜4【变式5-3】（2020春•东昌府区期末）如图所示，直线y＝﹣x+m与y＝nx+4n（n≠0）的交点的横坐标为﹣2，则关于x的不等式﹣x+m＞nx+4n＞0的整数解有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个【考点6方程（组）的解构造不等式（组）求字母范围】【方法点拨】不等式组的解的求解过程：分别求出每个不等式的解、把两个不等式的解表示在同一数轴上、取公共部分作为不等式组的解（若没有公共部分则无解）.口诀：大大取大，小小取小，大小小大两头夹，大大小小是无解.【例6】（2020春•龙华区校级期末）已知关于x的方程5x+m3−x−12=m【变式6-1】（2020春•高州市期末）已知关于x，y的二元一次方程组2x+y=1+2mx+2y=2−m的解满足不等式x+y为非负数，求实数m【变式6-2】（2020秋•大渡口区月考）已知方程组3x+y=−13+mx−y=1+3m的解满足x为非正数，y（1）求m的取值范围；（2）在（1）的条件下，若不等式（2m+1）x﹣2m＜1的解为x＞1，请写出整数m的值．【变式6-3】（2020春•洪山区期末）已知关于x、y的方程组3x−y=2a−5x+2y=3a+3的解都为正数，且满足a+b＝4，b＞0，z＝a﹣3b，则zA．﹣8＜z＜4 B．﹣7＜z＜8 C．﹣7＜z＜4 D．﹣8＜z＜8【考点7根据不等式（组）的解集求字母范围】【例7】（2020春•章丘区期末）若不等式2x+53−1≤2﹣x的解集中x的每一个值，都能使关于x的不等式2x+m＜1成立，则A．m＜−35 B．m≤−35 C．m＞−【变式7-1】（2020春•邗江区期末）已知x＝4是不等式mx﹣3m+2≤0的解，且x＝2不是这个不等式的解，则实数m的取值范围为（）A．m≤﹣2 B．m＜2 C．﹣2＜m≤2 D．﹣2≤m＜2【变式7-2】（2020春•渝中区校级期末）关于x的方程3﹣2x＝3（k﹣2）的解为非负整数，且关于x的不等式组x−2(x−1)≥32k+x3≤xA．5 B．2 C．4 D．6【变式7-3】已知不等式组2x−3a＜7b+26b−3x−3＜5b①若它的解集是4＜x＜23，求a，b的取值．②若a＝b，且上述不等式无解，求a的取值范围．【考点8利用整数解求字母取值范围】【例8】（2020春•惠安县期末）已知关于x的不等式3x﹣2a＜4﹣5x有且仅有三个正整数解，则满足条件的整数a的个数是（）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个【变式8-1】（2020春•长沙期末）关于x的不等式组52x+1＞3A．1＜a≤3 B．1≤a＜3 C．3＜a≤5 D．3≤a＜5【变式8-2】（2020春•津南区校级期末）已知关于x的不等式组x−m＞02x−n≤0的整数解是﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，若m，n为整数，则m+nA．3 B．4 C．5或6 D．6或7【变式8-3】（2020春•万州区期末）已知关于x、y的方程组ax+3y=12x−3y=0的解为整数，且关于x的不等式组2(x+1)＜x+53x＞a−4有且仅有5个整数解，则所有满足条件的整数A．﹣1 B．﹣2 C．﹣8 D．﹣6【考点9不等式（组）中的新定义问题】【例9】（2020春•高邮市期末）我们定义：如果两个一元一次不等式有公共整数解，那么称这两个不等式互为“云不等式”，其中一个不等式是另一个不等式的“云不等式”．（1）不等式x≥2x≤2的“云不等式”：（填“是”或“不是”）．（2）若关于x的不等式x+2m≥0不是2x﹣3＜x+1的“云不等式”，求m的取值范围；（3）若a≠﹣1，关于x的不等式x+3＞a与不等式ax﹣1≤a﹣x互为“云不等式”，求a的取值范围．【变式9-1】（2020春•椒江区期末）规定min（m，n）表示m，n中较小的数（m，n均为实数，且mn），例如：min{3，﹣1}＝﹣1，、min{2（1）min{−12，−1（2）若min{2x−13，2}=（3）若min{2x﹣5，x+3}＝﹣2，求x的值．【变式9-2】（2020春•丹阳市校级期末）定义一种新运算“a※b”：当a≥b时，a※b＝2a+b；当a＜b时，a※b＝2a﹣b．例如：3※（﹣4）＝2×3+（﹣4）＝2，（﹣6）※12＝2×（﹣6）﹣12＝﹣24．（1）填空：（﹣2）※3＝；（2）若（3x﹣4）※（2x+3）＝2（3x﹣4）+（2x+3），则x的取值范围为；（3）已知（2x﹣6）※（9﹣3x）＜7，求x的取值范围；（4）小明在计算（2x2﹣2x+4）※（x2+4x﹣6）时随意取了一个x的值进行计算，得出结果是0，小丽判断小明计算错了，小丽是如何判断的？请说明理由．【变式9-3】（2019秋•九龙坡区校级月考）定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的“相伴方程”．例如：方程2x﹣6＝0的解为x＝3，不等式组x−2＞0x＜5的解集为2＜x＜5．因为2＜3＜5．所以称方程2x﹣6＝0为不等式组x−2＞0（1）若关于x的方程2x﹣k＝2是不等式组3x−6＞4−xx−1≥4x−10的相伴方程，求k（2）若方程2x+4＝0，2x−13=−1都是关于x的不等式组(m−2)x＜m−2x+5≥m（3）若关于x的不等式组−x＞−2x+12x≤n+2的所有相伴方程的解中，有且只有2个整数解，求n【考点10不等式（组）的应用（程序框图）】【例10】（2020春•渝中区校级期末）如图，按下面的程序进行运算．规定：程序运行到“判断结果是否大于28”为一次运算．若运算进行了3次才停止，则x的取值范围是（）A．2＜x≤4 B．2≤x＜4 C．2＜x＜4 D．2≤x≤4【变式10-1】（2020春•南岸区期末）如图，规定程序运行到“判断结果是否大于100”为第一次运算，若运算进行了三次才停止，则满足条件的整数x的个数为．【变式10-2】（2020•浙江自主招生）按下列程序进行运算（如图）规定：程序运行到“判断结果是否大于244”为一次运算．若x＝5，则运算进行次才停止；若运算进行了5次才停止，则x的取值范围是．【变式10-3】（2020春•朝阳区期末）在近几年的两会中，有多位委员不断提出应在中小学开展编程教育，2019年3月教育部公布的《2019年教育信息化和网络安全工作要点》中也提出将推广编程教育．某学校的编程课上，一位同学设计了一个运算程序，如图所示．按上述程序进行运算，程序运行到“判断结果是否大于23”为一次运行．（1）若x＝5，直接写出该程序需要运行多少次才停止；（2）若该程序只运行了2次就停止了，求x的取值范围．【考点11不等式（组）的应用（得分问题）】【例11】（2020春•金水区校级月考）某次知识竞赛共有20道题，规定每答对一题得10分，答错或不答都扣5分，小明得分要超过120分，他至少要答对多少道题？如果设小明答对x道题，根据题意得（）A．10x﹣5（20﹣x）≥120 B．10x﹣5（20﹣x）≤120 C．10x﹣5（20﹣x）＜120 D．10x﹣5（20﹣x）＞120【变式11-1】（2020秋•解放区校级月考）在某校班级篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得3分，负一场得1分，如果某班要在第一轮的28场比赛中至少得43分，那么这个班至少要胜场．【变式11-2】（2019春•南京期末）某次知识竞赛共有20道题，答对一题得5分，不答得0分、答错扣3分小明有3题没答，若竞赛成绩要超过60分，则小明至少答对几道题？【变式11-3】（2019春•德惠市期末）一次智力测验，共设20道选择题，评分标准为：对1题得a分，答错或不答1题扣b分．下表记录了2名参赛学生的得分情况．参赛学生答对题数答错或不答题数得分甲18288乙101040（1）若参赛学生小亮只答对了16道选择题，则小亮的得分是多少？（2）参赛学生至少要答道题，总分才不会低于60分．【考点12不等式（组）的应用（销售问题）】【例12】（2020•朝阳）某品牌衬衫进价为120元，标价为240元，商家规定可以打折销售，但其利润率不能低于20%，则这种品牌衬衫最多可以打几折？（）A．8 B．6 C．7 D．9【变式12-1】（2020春•太平区期末）一工厂以90元/每箱的价格购进100箱原材料，准备由甲、乙两个车间全部用于生产某种产品，甲车间用每箱原材料可生产出该产品12千克，乙车间用每箱原材料可生产出的该产品比甲车间少2千克，已知该产品的售价为40元/千克，生产的产品全部售出，那么原材料最少分配给甲车间多少箱，才能使去除成本后所获得的总利润不少于35000元？【变式12-2】（2020春•孝义市期末）为进一步提升摩托车、电动自行车骑乘人员和汽车驾乘人员安全防护水平，公安部交通管理局部署在全国开展“一盔一带”安全守护行动．某商店销值A，B两种头盔，批发价和零售价格如下表所示：名称A种头盔B种头盔批发价（元/kg）6040零售价（元/kg）8050请解答下列问题．（1）第一次，该商店批发A，B两种头盔共100个，用去4600元钱，求A，B两种头盔各批发了多少个？（2）第二次，该商店用6900元钱仍然批发这两种头盔（批发价和零售价不变），要想将第二次批发的两种头盔全部售完后，所获利润率不低于30%，则该超市第二次至少批发A种头盔多少个？【变式12-3】（2020春•衡阳期末）超市购进一批A、B两种品牌的饮料共320箱，其中A品牌比B品牌多80箱．此两种饮料每箱的进价和售价如下表所示：品牌AB进价（元/箱）5535售价（元/箱）6340（1）问销售一箱B品牌的饮料获得的利润是多少元？（注：利润＝售价﹣进价）（2）问该商场购进A、B两种品牌的饮料各多少箱？（3）受市场经济影响，该商场调整销售策略，A品牌的饮料每箱打折销售，B品牌的饮料每箱售价改为38元．为使新购进的A、B两种品牌的饮料全部售出且利润不少于700元，问A种品牌的饮料每箱最低打几折出售？【考点13不等式（组）的应用（方案问题）】【例13】（2020春•防城港期末）自治区发展和改革委员会在2019年11月印发《广西壮族自治区新能源汽车推广应用攻坚行动方案》，力争到2020年底，全区新能源汽车保有量比攻坚行动前增长100%，达到14.6万辆以上，某汽车专卖店销售A，B两种型号的新能源汽车．上周售出2辆A型车和1辆B型车，销售额为62万元；本周已售出3辆A型车和2辆B型车，销售额为106万元．（1）求每辆A型车和B型车的售价各为多少万元．（2）甲公司拟向该店购买A，B两种型号的新能源汽车共6辆，且A型号车至少购买1辆，购车费不少于130万元，则有哪几种购车方案？【变式13-1】（2020秋•三水区校级月考）现计划把甲种货物306吨和乙种货物230吨运往某地．已知有A、B两种不同规格的货车共50辆，如果每辆A型货车最多可装甲种货物7吨和乙种货物3吨，每辆B型货车最多可装甲种货物5吨和乙种货物7吨．（1）装贷时按此要求安排A、B两种货车的辆数，共有几种方案？（2）使用A型车每辆费用为600元，使用B型车每辆费用800元．在上述方案中，哪个方案运费最省？最省的运费是多少元？（3）在（2）的方案下，现决定对货车司机发共2100元的安全奖，已知每辆A型车奖金为m元．每辆B型车奖金为n元，38＜m＜n．且m、n均为整数，求此次奖金发放的具体方案．【变式13-2】（2020春•庐阳区校级月考）某体育用品店准备购进甲，乙品牌乒乓球两种，若购进甲种乒乓球10个，乙种乒乓球5个，需要100元，若购进甲种乒乓球5个，乙种乒乓球3个，需要55元．（1）求购进甲，乙两种乒乓球每个各需多少元？（2）若该体育用品店刚好用了1000元购进这两种乒乓球，考虑顾客需求，要求购进甲种乒乓球的数量不少于乙种乒乓球数量的6倍，且乙种乒乓球数量不少于23个，那么该文具店共有哪几种进货方案？（3）若该体育用品店销售每只甲种乒乓球可获利润3元，销售每只乙种乒乓球可获利润4元，在第（2）问的各种进货方案中，哪一种方案获利最大？最大利润是多少元？【变式13-3】（2020春•日照期末）2020年春，我国遭受了罕见的新冠病毒疫情，“病毒无情人有情”．某单位给武汉捐献一批口罩和药物共1000件，其中口罩比药物多120件．（1）求口罩和药物各有多少件？（2）现计划租用甲乙两种货车共10辆，一次性将这批口罩和药物全部运往该乡中小学．已知每辆甲种货车最多可装口罩80件和药物40件，每辆乙种货车最多可装口罩和药物各50件，那么运输部门安排甲、乙两种货车时有哪几种方案？（3）在（2）的条件下，如果甲种货车每辆需付运费400元，乙种货车每辆需付运费360元，运输部门应选择哪种方案可使运费最少？最少运费是多少元？【考点14不等式（组）的应用（分段计费问题）】【例14】（2020春•思明区校级期末）为鼓励市民节约用电，某市对居民用电实行“阶梯收费”（总电费＝第一阶梯电费+第二阶梯电费）．规定：用电量不超过200度按第一阶梯电价收费，超过200度的部分按第二阶梯电价收费，如图是刘鹭家2019年2月和3月所交电费的收据（度数均取整数）．（1）该市规定的第一阶梯电费和第二阶梯电费单价分别为多少？（2）刘鹭家4月份家庭支出计划中电费不超过120元，她家最大用电量为多少度？【变式14-1】（2020春•江岸区期末）为了促进消费，端午节期间，甲乙两家商场以同样的价格出售同样的商品，并且又各自推出不同促销方案：甲商场的优惠方案：购物价格累计超过200元后，超出200元部分按70%付费；乙商场的优惠方案：购物价格累计超过100元后，超出100元部分按75%付费；若某顾客准备购买标价为x（x＞200）元的商品，（1）在甲商场购买的优惠价为元，在乙商场购买的优惠价为元；（均用含x的式子表示）（2）顾客到哪家商场购物花费少？写出解答过程；（3）乙商场为了吸引顾客，采取了进一步的优惠：购物价格累计超过100元后，但不超过1000元，超出100元部分按75%付费；超过1000元后，超出100