第5章《相交线与平行线》（解析）

七年级下册数学易错题真题汇编（提高版）第5章《相交线与平行线》考试时间：120分钟试卷满分：100分一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2023•长安区模拟）如图2，烧杯内液体表面AB与烧杯下底部CD平行，光线EF从液体中射向空气时发生折射，光线变成FH，点G在射线EF上．已知∠HFB＝20°，∠FED＝56°，则∠GFH＝（）A．34° B．36° C．38° D．56°解：∵AB∥CD，∠FED＝56°，∴∠FED＝∠GFB＝56°，∵∠HFB＝20°，∴∠GFH＝∠GFB﹣∠HFB＝36°，故选：B．2．（2分）（2023•凤庆县一模）图1是男子竞技体操项目双杠的静止动作，图2是其俯视示意图，已知a∥b，若AB与BC的夹角为105°，∠1＝55°，则∠2的度数为（）A．105° B．125° C．130° D．150°解：如图：设BC与直线b相交于点E，延长AB交直线b于点D，∵∠ABC＝105°，∴∠EBD＝180°﹣∠ABC＝75°，∵a∥b，∴∠1＝∠BDE＝55°，∵∠2是△BED的一个外角，∴∠2＝∠BDE+∠EBD＝130°，故选：C．3．（2分）（2023•襄垣县一模）将一副三角板按照如图所示的方式平放在桌面上，斜边互相平行，且每个三角板的直角顶点都在另一个三角板的斜边上．在图中所标记的角中，与∠3相等的角是（）A．∠1 B．∠2 C．∠4 D．∠5解：如图：由题意得：AB∥CD，∴∠3＝∠4，故选：C．4．（2分）（2023•临渭区一模）如图，∠BAE＝46°，CD∥AB，连接CE，若∠C＝∠E，则∠E的度数为（）A．36° B．30° C．23° D．20°解：设CD与AE相交于点F，∵∠BAE＝46°，CD∥AB，∴∠BAE＝∠DFE＝46°，∵∠DFE是△CEF的一个外角，∴∠DFE＝∠C+∠E＝46°，∵∠C＝∠E，∴∠C＝∠E＝23°，故选：C．5．（2分）（2023•遵义模拟）将一把直尺和一块含30°角的直角三角板按如图所示方式摆放，其中∠CBD＝90°，∠BDC＝30°，若∠1＝78°，则∠2的度数为（）A．12° B．18° C．42° D．48°解：∵∠CBD＝90°，∠1＝78°，∴∠DBE＝180°﹣∠CBD﹣∠1＝12°，由题意得：AE∥HG，∴∠DBE＝∠BDH＝12°，∵∠BDC＝30°，∴∠2＝∠BDC﹣∠BDH＝18°，故选：B．6．（2分）如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，点C落在点E处，BE交AD于点F，已知∠BDC＝62°，则∠EDF的度数为（）A．34° B．56° C．62° D．28°解：∵四边形ABCD为矩形，∴AD∥BC，∠ADC＝∠C＝90°，∵∠FDB＝90°﹣∠BDC＝90°﹣62°＝28°，∵AD∥BC，∴∠CBD＝∠FDB＝28°，∵矩形ABCD沿对角线BD折叠，∴∠FBD＝∠CBD＝28°，∠E＝∠C＝90°，∴∠DFE＝∠FBD+∠FDB＝28°+28°＝56°．∴∠EDF＝90°﹣∠EFD＝90°﹣56°＝34°，故选：A．7．（2分）（2022春•宾阳县期末）如图，已知GH∥BC，∠1＝∠2，GF⊥AB，给出下列结论：①∠B＝∠AGH；②HE⊥AB；③∠D＝∠F；④HE平分∠AHG．其中正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个解：∵GH∥BC，∴∠1＝∠HGF，∠B＝∠AGH，故①正确；∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠HGF，∴DE∥GF，∴∠D＝∠DMF，根据已知条件不能推出∠F也等于∠DMF，故③错误；∵DE∥GF，∴∠F＝∠AHE，∵∠D＝∠1＝∠2，∴∠2不一定等于∠AHE，故④错误；∵GF⊥AB，GF∥HE，∴HE⊥AB，故②正确；即正确的个数是2，故选：B．8．（2分）（2022•黔东南州一模）如图，AB∥CD，若∠E＝55°，则∠B+∠D等于（）A．125° B．180° C．250° D．305°解：过点E作EF∥AB，如图：∵EF∥AB，AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，∴∠B+∠BEF＝180°，∠D+∠FED＝180°，∴∠B+∠BEF+∠D+∠FED＝360°，即∠B+∠BED+∠D＝360°．而∠BED＝55°，∴∠B+∠D＝360°﹣55°＝305°．故选：D．9．（2分）（2022春•绍兴期末）如图，已知直线AB∥CD，直线EF分别交直线AB、CD于E、F，EM平分∠AEF交CD于M，G是射线MD上一动点（不与M、F重合）．EH平分∠FEG交CD于点H，设∠MEH＝α，∠EGF＝β，现有下列四个式子：①2α＝β；②2α﹣β＝180°；③α﹣β＝30°；④2α+β＝180°．其中正确的是（）A．①② B．①④ C．①③④ D．②③④解：当点G在点F右侧时，如图示：∵EH平分∠FEG，EM平分∠AEF，∴∠MEF＝∠AEF，∠FEH＝∠FEG，∵AB∥CD，∴∠BEG＝∠EGF＝β．∴∠MEH＝α＝∠MEF+∠FEH＝（∠AEF+∠FEG）＝（180°﹣∠BEG）＝（180°﹣β），∴2α+β＝180°，故④是正确的；当点G在M和F之间时，如图：∵EH平分∠FEG，EM平分∠AEF，∴∠MEF＝∠AEF，∠FEH＝∠FEG，∵AB∥CD，∴∠BEG＝∠EGF＝β．∴∠MEH＝α＝∠MEF﹣∠FEH＝∠AEF﹣∠FEG＝（180°﹣∠BEF）﹣（180°﹣β﹣∠BEF）＝β，∴2α＝β，故①是正确的．故选：B．10．（2分）（2022春•越秀区校级期末）如图，E在线段BA的延长线上，∠EAD＝∠D，∠B＝∠D，EF∥HC，连FH交AD于G，∠FGA的余角比∠DGH大16°，K为线段BC上一点，连CG，使∠CKG＝∠CGK，在∠AGK内部有射线GM，GM平分∠FGC，则下列结论：①AD∥BC；②GK平分∠AGC；③∠DGH＝37°；④∠MGK的角度为定值且定值为16°，其中正确结论的个数有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个解：∵∠EAD＝∠D，∠B＝∠D，∴∠EAD＝∠B，∴AD∥BC，故①正确；∴∠AGK＝∠CKG，∵∠CKG＝∠CGK，∴∠AGK＝∠CGK，∴GK平分∠AGC；故②正确；∵∠FGA的余角比∠DGH大16°，∴90°﹣∠FGA﹣∠DGH＝16°，∵∠FGA＝∠DGH，∴90°﹣2∠FGA＝16°，∴∠FGA＝∠DGH＝37°，故③正确；设∠AGM＝∠1，∠MGK＝∠2，∴∠AGK＝∠1+∠2，∵GK平分∠AGC，∴∠CGK＝∠AGK＝∠1+∠2，∵GM平分∠FGC，∴∠FGM＝∠CGM，∴∠FGA+∠AGM＝∠MGK+∠CGK，∴37°+∠1＝∠2+∠1+∠2，∴∠2＝18.5°，∴∠MGK＝18.5°，故④错误，故选：B．二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11．（2分）（2023春•高陵区月考）如图，点O在直线BD上，已知∠COD＝105°，OC⊥OA，则∠1的度数为15°．解：∵∠COD＝105°，∴∠COB＝180°﹣∠COD＝75°，∵OC⊥OA，∴∠COA＝90°，∴∠1＝∠COA﹣∠COB＝15°，故答案为：15°．12．（2分）（2023春•崇川区校级月考）如图，∠1的同旁内角有3个．解：∠1的同旁内角有∠EFD、∠ECD和∠ECB，共有3个．故答案为：3．13．（2分）（2023•滦州市模拟）如图，已知海岛B在海岛A的正东方向，从海岛A观测货船C在其北偏东66°方向上，从海岛B观察货船C在其北偏东30°方向上，则∠C的度数是36°．解：如图：过点C作CF∥EB，由题意得：∠DAC＝66°，∠EBC＝30°，DA∥EB，∴EB∥CF，∵DA∥CF，∴∠DAC＝∠ACF＝66°，∵EB∥CF，∴∠EBC＝∠BCF＝30°，∴∠ACB＝∠ACF﹣∠BCF＝36°，故答案为：36°．14．（2分）（2022秋•武侯区期末）将一副三角板和直尺按如图所示方式摆放在课桌面上，其中一块三角板的30°角的顶点与另一块三角板的直角顶点重合，且都在直尺AB边上的点O处，若OD平分∠BOF，且∠COE＝20°，则∠AOC＝50°．解：∵∠COE＝20°，∠EOF＝30°，∠COD＝90°，∴∠DOF＝∠COD﹣∠COE﹣∠EOF＝40°，∵OD平分∠BOF，∴∠DOF＝∠DOB＝40°，∴∠AOC＝180°﹣∠COD﹣∠DOB＝50°，故答案为：50°．15．（2分）（2023•游仙区模拟）如图，直线a∥b，直线m⊥n，垂足O在直线b上．若∠1＝112°，则∠2的度数为22°．解：如图：∵a∥b，∴∠1＝∠3＝112°，∴∠4＝180°﹣∠3＝68°，∵m⊥n，∴∠5＝90°，∴∠2＝180°﹣∠4﹣∠5＝22°，故答案为：22°．16．（2分）（2022秋•衡山县期末）如图，学生使用的小刀，刀身是长方形，刀片的上下边沿是平行的，刀片转动时会形成∠1和∠2，则∠1+∠2＝90°．解：如图，过点O作OP∥AB，则∠1＝∠AOP．∵AB∥CD，OP∥AB，∴OP∥CD，∴∠2＝∠POC，∵∠AOP+∠POC＝90°，∴∠1+∠2＝90°，故答案为：90°．17．（2分）（2023•惠城区模拟）如图，将三角板的直角顶点放在直尺的一边上．若∠2＝30°，则∠1的度数为60°．解：如图：∵∠ACB＝90°，∠2＝30°，∴∠3＝60°，∵AB∥CD，∴∠1＝∠3＝60°．故答案为：60°．18．（2分）（2022秋•礼泉县期末）如图，AB∥CD，BF、DF分别平分∠ABE和∠CDE，BF∥DE，∠F与∠ABE互补，则∠F的度数为36°．解：延长FB交CD于点G，如图：∵BF，DF分别平分∠ABE和∠CDE，∴∠1＝∠2，∠FBA＝∠FBE，∵AB∥CD，∴∠FBA＝∠3，∵BF∥DE，∠F与∠ABE互补，∴∠3＝∠EDC＝2∠2，∠F＝∠1，∠F+∠ABE＝180°，设∠F＝x°，则∠1＝∠2＝x°，∠3＝2x°，∠ABE＝4x°，∴x+4x＝180，解得，x＝36，即∠F的度数为36°．故答案为：36．19．（2分）（2022秋•安岳县期末）已知∠1的两边分别平行于∠2的两边，若∠1＝40°，则∠2的度数为40°或140°．解：①若∠1与∠2位置如图1所示：∵AB∥DE，∴∠1＝∠3，又∵DC∥EF，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠2，又∵∠1＝40°，∴∠2＝40°；②若∠1与∠2位置如图2所示：∵AB∥DE，∴∠1＝∠3，又∵DC∥EF，∴∠2+∠3＝180°，∴∠2+∠1＝180°，又∵∠1＝40°∴∠2＝180°﹣∠1＝180°﹣40°＝140°，综合所述：∠2的度数为40°或140°，故答案为：40°或140°．20．（2分）（2021春•涡阳县期末）如图，AB∥CD，P2E平分∠P1EB，P2F平分∠P1FD，若设∠P1EB＝x°，∠P1FD＝y°则∠P1＝（x+y）度（用x，y的代数式表示），若P3E平分∠P2EB，P3F平分∠P2FD，可得∠P3，P4E平分∠P3EB，P4F平分∠P3FD，可得∠P4…，依次平分下去，则∠Pn＝（）n﹣1（x+y）度．解：（1）如图，分别过点P1、P2作直线MN∥AB，GH∥AB，∴∠P1EB＝∠MP1E＝x°．又∵AB∥CD，∴MN∥CD．∴∠P1FD＝∠FP1M＝y°．∴∠EP1F＝∠EP1M+∠FP1M＝x°+y°．（2）∵P2E平分∠BEP1，P2F平分∠DFP1，∴＝．．以此类推：，，...，．故答案为：（x+y），（）n﹣1（x+y）．三．解答题（共8小题，满分60分）21．（6分）（2023春•高港区月考）如图，一条直线分别与直线BE，直线CE，直线BF，直线CF相交于A，G，H，D，∠1＝∠2，从①∠A＝∠D，②∠B＝∠C中选择一个作为条件，剩余的一个作为结论，并判断其是否正确，如果正确，请写出证明过程．解：你选择的条件是①（答案不唯一），选择的结论是②（答案不唯一）．（只填序号）解：若选择的条件是①，选择的结论是②，理由：∵∠1＝∠2，∠1＝∠3，∴∠2＝∠3，∴EC∥BF，∴∠C＝∠4，∵∠A＝∠D，∴AB∥CD，∴∠4＝∠B，∴∠B＝∠C；若选择的条件是②，选择的结论是①，理由：∵∠1＝∠2，∠1＝∠3，∴∠2＝∠3，∴EC∥BF，∴∠C＝∠4，∵∠B＝∠C，∴∠4＝∠B，∴AB∥CD，∴∠A＝∠D；故答案为：①（答案不唯一）；②（答案不唯一）．22．（6分）（2022秋•达川区期末）如图，在△ABC中，∠ABC的平分线BE交AC于点E，过点E作DE∥BC交AB于点D，过点D作DF∥BE交AC于点F．（1）求证：DF是∠ADE的平分线；（2）若∠BED＝28°，若∠ACB＝81°，求∠AFD的度数．（1）证明：∵BE是∠ABC的平分线，∴∠ABE＝∠CBE，∵DE∥BC，∴∠DEB＝∠CBE，∴∠DEB＝∠ABE，∵DF∥BE，∴∠ADF＝∠ABE，∠EDF＝∠DEB，∴∠ADF＝∠EDF，∴DF是∠ADE的平分线；（2）解：∵DE∥BC，∴∠AED＝∠ACB＝81°，∵DF∥BE，∴∠EDF＝∠BED＝28°，∵∠AFD是△DFE的一个外角，∴∠AFD＝∠FDE+∠DEF＝28°+81°＝109°，∴∠AFD的度数为109°．23．（6分）（2022秋•阳谷县期末）如图，在△ABC中，DE∥AB，交AC，BC分别于点D、E，已知∠1＝∠2．（1）求证：AE平分∠BAC；（2）当AC＝BC时，请判断DE与BE的大小关系，并说明理由．（1）证明：∵DE∥AB，∴∠2＝∠BAE，∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠BAE，∴AE平分∠BAC；（2）解：DE＝BE，理由如下：∵AC＝BC，∴∠B＝∠BAC，∵DE∥BC，∴∠B＝∠DEC，∠BAC＝∠EDC，∴∠DEC＝∠EDC，∴CD＝CE，∴AD＝BE，∵∠1＝∠2，∴AD＝DE，∴DE＝BE．24．（8分）（2022秋•榆次区校级期末）如图，若MN⊥AB，∠ABC＝130°，∠FCB＝40°，试判断直线MN与EF的位置关系，并说明理由．解：直线MN与EF互相平行．如图，延长AB交EF于D，∵∠ABC＝130°，∠FCB＝40°，∴∠ADC＝∠ABC﹣∠BCD＝130°﹣40°＝90°，又∵MN⊥AB，∴∠MGD＝∠GDC，∴MN∥EF．25．（8分）（2023春•雨花区校级月考）如图1，点A是直线HD上一点，C是直线GE上一点，B是直线HD、GE之间的一点．∠HAB+∠BCG＝∠ABC．（1）求证：AD∥CE；（2）如图2，作∠BCF＝∠BCG，CF与∠BAH的角平分线交于点F，若α+β＝50°，求∠B+∠F的度数；（3）如图3，CR平分∠BCG，BN平分∠ABC，BM∥CR，已知∠BAH＝40°，试探究∠NBM的值，若不变求其值，若变化说明理由．（1）证明：过点B作BP∥AD，∴∠ABP＝∠HAB，∵∠ABC＝∠ABP+∠CBP，∠ABC＝∠HAB+∠BCG，∴∠CBP＝∠BCG，∴BP∥CE，∴AD∥CE；（2）解：∵AF平分∠HAB，∴∠HAF＝∠FAB＝β，∴∠HAB＝2∠FAB＝2β，∵∠BCF＝∠BCG＝α，∴∠FCG＝2∠FCB＝2α，∵∠B＝∠HAB+∠BCG，∴∠F＝∠HAF+∠FCG，∵α+β＝50°，∴∠B+∠F＝∠HAB+∠BCG+∠HAF+∠FCG＝2β+α+β+2α＝3α+3β＝3（α+β）＝150°，∴∠B+∠F的度数为150°；（3）解：∠NBM的值不变，理由：∵CR平分∠BCG，BN平分∠ABC，∴∠BCG＝2∠BCR，∠ABC＝2∠NBC，∵BM∥CR，∴∠BCR＝∠MBC，∴∠BCG＝2∠MBC，∵∠HAB+∠BCG＝∠ABC，∠BAH＝40°，∴∠HAB＝∠ABC﹣∠BCG＝2∠NBC﹣2∠MBC＝2（∠NBC﹣∠MBC）＝2∠NBM，∴∠NBM＝∠HAB＝20°，∴∠NBM的值为20°26．（8分）（2022秋•二道区校级期末）【提出问题】若两个角的两边分别平行，则这两个角有怎样的数量关系？【解决问题】分两种情况进行探究，请结合如图探究这两个角的数量关系．（1）如图1，AB∥EF，BC∥DE，试证：∠1＝∠2；（2）如图2，AB∥EF，BC∥DE，试证：∠1+∠2＝180°；【得出结论】由（1）（2）我们可以得到结论：若两个角的两边分别平行，则这两个角的数量关系为相等或互补；【拓展应用】（3）若两个角的两边分别平行，其中一个角比另一个角的2倍少60°，求这两个角的度数．（4）同一平面内，若两个角的两边分别垂直，则这两个角的数量关系为相等或互补．【提出问题】（1）证明：如图1，∵AB∥EF，∴∠1＝∠3，又∵BC∥DE，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠2；（2）证明：如图2，∵AB∥EF，∴∠1＝∠4，又∵BC∥DE，∴∠2+∠4＝180°，∴∠1+∠2＝180°；【得出结论】解：由（1）（2）我们可以得到的结论是：若两个角的两边分别平行，则这两个角的数量关系是相等或互补，故答案为：相等或互补；【拓展应用】（3）解：设其中一个角为x，则另一角为2x﹣60°，当x＝2x﹣60°时，解得x＝60°，此时两个角为60°，60°；当x+2x﹣60°＝180°，解得x＝80°，则2x﹣60＝100°，此时两个角为80°，100°；∴这两个角分别是60°，60°或80°，100°．（4）解：如图，这两个角之间的数量关系是：相等或互补．故答案为：相等或互补．27．（8分）（2022秋•内乡县期末）请阅读小明同学在学习平行线这章知识点时的一段笔记，然后解决问题．小明：老师说在解决有关平行线的问题时，如果无法直接得到角的关系，就需要借助辅助线来帮助解答，今天老师介绍了一个“美味”的模型﹣﹣﹣“猪蹄模型”．即已知：如图1，AB∥CD，E为AB、CD之间一点，连接AE，CE得到∠AEC．求证：∠AEC＝∠A+∠C．小明笔记上写出的证明过程如下：证明：过点E作EF∥AB，∴∠1＝∠A．∵AB∥CD，EF∥AB，∴EF∥CD．∴∠2＝∠C．∵∠AEC＝∠1+∠2，∴∠AEC＝∠A+∠C．请你利用“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的两个问题．（1）如图2，若AB∥CD，∠E＝60°，则∠B+∠C+∠F＝240°．（2）如图3，AB∥CD，BE平分∠ABG，CF平分∠DCG，∠G＝∠H+27°，E、B、H共线，F、C、H共线，则∠H＝51°．解：（1）过点E、F分别作EM∥AB，FN∥AB，如图2所示：∵EM∥AB，∴∠1＝∠B，又∵FN∥AB，∴FN∥EM，∴∠2＝∠3，又∵AB∥CD，∴FN∥CD，∴∠4+∠C＝180°，又∵∠BEF＝∠1+∠2，∠EFC＝∠3+∠4，∠BEF＝60°∴∠B+∠EFC+∠C＝∠1+∠3+∠4+∠C＝（∠1+∠2）+（∠4+∠C）＝60°+180°＝240°；（2）过点G、H作EF∥AB，MN∥AB，如图3所示：∵BE平分∠ABG，CF平分∠DCG，∴∠ABG＝2∠1，∠DCG＝2∠4，又∵EF∥AB，∴2∠1+∠7＝180°，又∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴2∠4+∠8＝180°，∴∠7+∠8＝360°﹣2（∠1+∠4），又∵∠7+∠8+∠BGC＝180°，∴2（∠1+∠4）＝∠BGC+180°，又∵MN∥AB，∴