第二十五章　图形的相似单元测试题

第二十五章图形的相似一、选择题(本大题有16个小题,1~10小题各3分,11~16小题,各2分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.若3x=5y(y≠0),则下列各式成立的是()A.x3=5y B.y3=5x2.以下四组线段,成比例的是()A.4,3,2,6 B.2,4,6,8 C.3,4,5,6 D.4,6,6,83.已知线段a=3cm,b=12cm,若线段c是线段a,b的比例中项,则线段c的长为()A.2cm B.4cm C.6cm D.±6cm4.如图1,已知一组平行线a,b,c被直线m,n所截,交点分别为A,B,C和D,E,F,且AB=2,BC=3,DE=1.6,则EF等于()A.2.4 B.1.8 C.2.6 D.2.8图1图25.如图2,在△ABC中,P为AB上一点,连接CP.若再添加一个条件,使△APC与△ACB相似,则下列选项中不能作为添加条件的是()A.∠ACP=∠B B.∠APC=∠ACB C.AP∶AC=AC∶ABD.AP∶AB=PC∶BC6.如图3,在下列四个三角形中,与△ABC是位似图形且以点O为位似中心的是()图3A.① B.② C.③ D.④7.下列图案中花边的内外边缘(每个图形边缘等宽)所围成的图形不相似的是()图48.如图5,在△ABC中,点D在边AB上,过点D作DE∥BC交AC于点E,DF∥AC交BC于点F.若AE∶DF=2∶3,则BF∶BC的值是()A.23 B.35 C.12 图5图69.如图6,在△ABC中,DE∥BC,∠B=∠ACD,则图中相似三角形有()A.2对 B.3对 C.4对 D.5对10.如图7,四边形ABCD为平行四边形,E,F为CD边的两个三等分点,连接AF,BE交于点G,则S△EFG∶S△ABG的值为()A.1∶3 B.3∶1 C.1∶9 D.9∶1图7图811.图8是一种雨伞的轴截面图,伞骨AB=AC,支撑杆OE=OF=40cm,当点O沿AD滑动时,雨伞开闭.若AB=3AE,AD=3AO,此时B,D两点间的距离为 ()A.60cm B.80cm C.100cm D.120cm12.如图9,在△ABC中,∠A=75°,AB=6,AC=8,将△ABC沿图中的虚线剪开,剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是()图9图1013.如图11,在△ABC中,D,E分别是AB,AC的中点,下列说法中不正确的是()A.S△ADE∶S△ABC=1∶2 B.ADC.△ADE∽△ABC D.DE=12图11图1214.古希腊时期,人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是5-12≈0.618,称为黄金比例,如图12,著名的“断臂维纳斯”便是如此,此外,最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是5-12.若某人的身材满足上述两个黄金比例,且头顶至咽喉的长度为26A.165cm B.178cm C.185cm D.190cm15.学校门口的栏杆如图13所示,栏杆从水平位置AB绕固定点O旋转到DC的位置,已知栏杆AB的长为3.5m,OA的长为3m,点C到AB的距离为0.3m,支柱OE的高为0.6m,则栏杆D端离地面的距离为()图13A.1.2m B.1.8m C.2.4m D.3m16.在平面直角坐标系中,已知点A(-4,2),B(-6,-4),以原点O为位似中心,位似比为12,△ABO缩小,则点A的对应点A'的坐标是()A.(-2,1) B.(-8,4)C.(-8,4)或(8,-4) D.(-2,1)或(2,-1)二、填空题(本大题有3个小题,共11分.17小题3分,18~19小题各有2个空,每空2分,把答案写在题中横线上)17.已知ab=57,则18.已知:如图14,A'B'∥AB,B'C'∥BC,且OA'∶A'A=4∶3,则△ABC与是位似图形,位似比为.

图14图1519.如图15,在△ABC中,点D在AB边上,点E在线段CD上,且BD=CD,AD=AE,∠ACB=2∠B.(1)若∠B=36°,则DECD=;

(2)若AC=2,BC=3,则CD=三、解答题(本大题有7个小题,共67分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)20.(本小题满分8分)已知:x2=y(1)求x+z(2)若x-y+z=6,求代数式3x-2y+z的值.21.(本小题满分9分)如图16,已知点O是坐标原点,B,C两点的坐标分别为(3,-1),(2,1).(1)以点O为位似中心在y轴的左侧将△OBC放大到原图的2倍(即新图与原图的相似比为2),画出对应的△OB'C';(2)若△OBC内部一点M的坐标为(a,b),则点M的对应点M'的坐标是;

(3)求△OB'C'的面积.图1622.(本小题满分9分)如图17,直线l1∥l2∥l3,AC分别交l1,l2,l3于点A,B,C;DF分别交l1,l2,l3于点D,E,F;AC与DF交于点O.已知DE=3,EF=6,AB=4.(1)求AC的长;(2)若BE∶CF=1∶3,求OB∶AB的值.图1723.(本小题满分9分)如图18,小超想要测量窗外的路灯PH的高度.星期天晚上,他发现灯光透过窗户照射在房间的地板上,经过窗户的最高点C的灯光落在地板B处,经过窗户的最低点D的灯光落在地板A处,小超测得窗户距地面的高度QD=1m,窗高CD=1.5m,并测得AQ=1m,AB=2m.请根据以上测量数据,求窗外的路灯PH的高度.图1824.(本小题满分10分)如图19,在正方形ABCD中,在BC边上取中点E,连接DE,过点E作EF⊥ED交AB于点G,交DA的延长线于点F.(1)求证:△ECD∽△DEF;(2)若CD=4,求AF的长.图1925.(本小题满分10分)如图20,在△ABC中,AC=8cm,BC=16cm,点P从点A出发,沿着AC边向点C以1cm/s的速度运动,点Q从点C出发,沿着CB边向点B以2cm/s的速度运动,如果点P与点Q同时出发,经过几秒,△PQC和△ABC相似?图2026.(本小题满分12分)猜想归纳:为了建设经济型节约型社会,“先锋”材料厂把一批三角形废料重新利用,因此工人师傅需要把它们截成大小不同的正方形.已知在△ABC中,AC=40,BC=30,∠C=90°.(1)如图21①,若截取△ABC的内接正方形DEFG,请你求出此正方形的边长;(2)如图②,若在△ABC内并排截取两个相同的小正方形(它们组成的矩形内接于△ABC),请你求出每个小正方形的边长;(3)如图③,若在△ABC内并排截取三个相同的小正方形(它们组成的矩形内接于△ABC),请你求出每个小正方形的边长;(4)猜想:如图④,假设在△ABC内并排截取n个相同的小正方形(它们组成的矩形内接于△ABC),则每个小正方形的边长是多少?图21答案1.D2.A[解析]A.23=46,是成比例线段,选项正确;B.24≠68,不是成比例线段,选项错误;C.34D.46≠68,不是成比例线段,3.C4.A[解析]∵a∥b∥c,∴ABBC=DEEF,即23=5.D[解析]A.当∠ACP=∠B时,又∠A=∠A,可得△APC∽△ACB;B.当∠APC=∠ACB时,又∠A=∠A,可得△APC∽△ACB;C.当AP∶AC=AC∶AB时,又∠A=∠A,可得△APC∽△ACB;D.若AP∶AB=PC∶BC,∠A=∠A,无法证明△APC∽△ACB.6.B[解析]∵②与△ABC相似,对应点的连线相交于点O,对应边互相平行,∴②与△ABC是位似图形且以点O为位似中心.故选B.7.D[解析]A.两个等边三角形形状相同,符合相似形的定义;B.两个不等边三角形形状相同,符合相似形的定义;C.两个正方形形状相同,符合相似形的定义;D.两个矩形,虽然四个角对应相等,但对应边不成比例,故不是相似形.故选D.8.B[解析]∵DE∥BC,DF∥AC,∴四边形EDFC是平行四边形,∴DF=EC.设AE=2x,DF=3x,∴CE=DF=3x,∴AC=5x.∵DF∥AC,∴△BDF∽△BAC,∴DFAC=BFBC,∴BF9.C[解析]∵∠B=∠ACD,∠A=∠A,∴△ACD∽△ABC.∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,∴△ACD∽△ADE.∵DE∥BC,∴∠EDC=∠DCB.又∵∠B=∠DCE,∴△CDE∽△BCD.故共4对.10.C[解析]∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD,AB∥CD.∵E,F为CD边的两个三等分点,∴EF=13CD=13AB.由AB∥CD可知△EFG∽△BAG,∴S△EFG∶S△ABG=(EFAB)2=(13)2=1∶911.D[解析]∵AB=3AE,AD=3AO,∴ABAE=ADAO=3.又∵∠EAO=∠BAD,∴△AOE∽△ADB,∴BDOE=ABAE=3.∵OE12.D[解析]A,B选项中,阴影部分的三角形与原三角形都分别有两个角相等,故两三角形相似;C.8-3.56=68,故两三角形对应边成比例且夹角相等,故两三角形相似.D.∠B=∠B,但夹∠13.A14.B[解析]设某人的咽喉至肚脐的长度为xcm,则26x≈0.618,解得x≈42.071.设某人的肚脐至足底的长度为ycm,则26+42.071y≈0.618,解得y∴其身高是26+42.071+110.147≈178(cm).15.C[解析]如图,过点D作DG⊥AB于点G,过点C作CH⊥AB于点H,则DG∥CH,∴△ODG∽△OCH,∴DGCH=ODOC.∵栏杆从水平位置AB绕固定点O旋转到DC的位置,点C到AB的距离为0.3m,∴CD=AB=3.5m,OD=OA=3m,CH=0.3m,∴DG0.3=30.5,∴DG=1.8(m).∵OE=0.6m,∴栏杆D端离地面的距离为16.D17.51218.△A'B'C'7∶4[解析]∵A'B'∥AB,B'C'∥BC,∴A'B'AB=B∠ABO,∠C'B'O=∠CBO,∴A'B'AB=B'∴△ABC∽△A'B'C',位似比=AB∶A'B'=OA∶OA'=(4+3)∶4=7∶4.19.(1)3-52(2)3105[解析](1)∵BD=CD,∴∠B=∠BCD=36°,∵AD=AE,∴∠ADE=∠AED=72°,∴∠DAE=180°-∠ADE-∠AED=36°.∵∠ACB=2∠B,∴∠ACB=72°,∴∠ACD=36°.∵∠AED=∠EAC+∠ACD=72°,∴∠EAC=∠ACD=36°,∴AE=EC=AD.∵∠ACD=∠DAE=36°,∠ADE=∠CDA,∴△AED∽△CAD,∴ADDE∴AD2=CD·DE=DE·(AD+DE),∴DE=-1+52AD∴CD=DE+AD=1+52AD,∴(2)∵BD=CD,∴∠B=∠BCD,∴∠ADC=∠B+∠BCD=2∠B.∵∠ACB=2∠B,∴∠ACB=∠ADC,∠ACD=∠B,∴△ACD∽△ABC,∴ACAB=ADAC设AD=2a,CD=3a=BD.∵ACAB=ADAC,∴22a+3∴CD=31020.解:(1)∵x2=z4∴x+(2)设x2=y3=z4=k,则x=2k,把x=2k,y=3k,z=4k代入x-y+z=6,得2k-3k+4k=6,解得k=2,∴x=4,y=6,z=8,∴3x-2y+z=12-12+8=8.21.解:(1)如图,△OB'C'即为所求.(2)(-2a,-2b)(3)S△OB'C'=4S△OBC=4×(2×3-12×2×1-12×2×1-12×3×122.解:(1)∵l1∥l2∥l3,∴DEDF即33+6=4AC,(2)∵l1∥l2∥l3,∴BECF∵AB=4,AC=12,∴BC=AC-AB=8.∵OB+OC=BC,∴OB=2,∴OBAB23.解:∵DQ⊥BP,∴∠CQB=90°.∵QD=1m,QA=1m,∴∠QAD=45°.∵PH⊥PB,∠HAP=45°,∴PH=PA.设PH=PA=xm.∵PH⊥PB,CQ⊥PB,∴PH∥CQ,∴△QBC∽△PBH,∴CQPH∴1.5+1x=1+2经检验,x=10是原方程的解且符合题意.答:窗外的路灯PH的高度是10m.24.解:(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,EF⊥ED,∴∠FED=∠C=90°,BC∥AD,∴