第二十四章　一元二次方程 单元测试题

第二十四章一元二次方程一、选择题(本大题有16个小题,1~10小题,各3分,11~16小题,各2分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.下列方程是一元二次方程的是()A.x+2y=1 B.x+y2 C.3x+1x=4 D.x2-2.若一元二次方程x2-(b-4)x+9=0的一次项系数为2,则b的值为()A.2B.4C.-2D.63.用配方法解方程x2-4x-7=0,可变形为()A.(x+2)2=3 B.(x+2)2=11C.(x-2)2=11 D.(x-2)2=34.一元二次方程x2+2x-3=0的根是()A.x1=1,x2=-3 B.x1=-1,x2=-3C.x1=-1,x2=3 D.x1=1,x2=35.若x=2是关于x的一元二次方程ax2-bx+4=0的解,则2021+2a-b的值是()A.2016 B.2018 C.2019 D.20226.下列用配方法解方程12x2-x-2=0的四个步骤中,出现错误的是(图1A.① B.② C.③ D.④7.关于x的一元二次方程(2-a)x2+x+a2-4=0的一个根为0,则a的值为 ()A.2 B.0 C.2或-2 D.-28.生物兴趣小组的学生将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件,全组共互赠了182件,如果全组有x名同学,则根据题意列出的方程是()A.x(x+1)=182 B.x(x-1)=182C.x(x+1)=182×2 D.x(x-1)=182×29.已知关于x的一元二次方程(a+1)x2+2bx+(a+1)=0有两个相等的实数根,则下列说法正确的是()A.1一定不是方程x2+bx+a=0的根B.0一定不是方程x2+bx+a=0的根C.1和-1不都是方程x2+bx+a=0的根D.1和-1都是方程x2+bx+a=0的根10.已知关于x的一元二次方程x2+(a2-2a)x+a-1=0的两个实数根互为相反数,则a的值为()A.2B.0C.1D.2或011.已知关于x的方程(k-3)x2-4x+2=0有实数根,则k的取值范围是()A.k≤5B.k<5且k≠3C.k≤5且k≠3D.k≥512.已知方程x2+3x-4=0的解是x1=1,x2=-4,则方程(2x+3)2+3(2x+3)-4=0的解是 ()A.x1=-1,x2=-3.5 B.x1=1,x2=-3.5 C.x1=1,x2=3.5 D.x1=-1,x2=3.513.已知1是关于x的一元二次方程x2-kx+4=0的一个实数根,并且这个方程的两个实数根恰好是等腰三角形ABC的两条边的长,则△ABC的周长是()A.6或9 B.6 C.9 D.5或914.若关于x的一元二次方程x2-3x+p=0(p≠0)的两个不相等的实数根分别为a和b,且a2-ab+b2=18,则ab+baA.3 B.-3 C.5 D.-515.某市发出生活垃圾分类的号召后,实现生活垃圾分类的社区由今年第一季度的1250个迅速增加到第三季度的1800个,照此速度增加,今年第四季度实现生活垃圾分类的社区可以达到()A.2140个 B.2160个 C.2180个 D.2200个16.已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),有下列说法:①若a+b+c=0,则b2-4ac>0;②若方程的两根为-1和2,则2a+c=0;③若方程ax2+c=0有两个不相等的实数根,则方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实数根;④若b=2a+c,则方程有两个不相等的实数根.其中正确的有()A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①②③④二、填空题(本大题有3个小题,共11分.17小题3分,18~19小题各有2个空,每空2分,把答案写在题中横线上)17.一元二次方程2x(x+3)=x的解是.

18.若关于x的方程x2-mx+2m=0有两个相等的实数根,则(1)m的值为;

(2)代数式2m2-16m+5的值为.

19.一款衬衫每件进价为80元,销售价为120元时,每天可售出20件,为了扩大销售量,增加利润,商店决定降价销售,经市场调查发现,如果每件衬衫每降价1元,那么平均每天可多售出2件.(1)设每件衬衫降价x元,则每天可售出件;(用含x的代数式表示)

(2)每件衬衫降价元时,平均每天盈利1200元.

三、解答题(本大题有7个小题,共67分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)20.(本小题满分8分)用适当的方法解下列方程.(1)x2-6x+2=0;(2)3x(x-1)=2-2x.21.(本小题满分8分)已知关于x的方程x2+2(2-k)x+3-6k=0.(1)若x=1是此方程的一根,求k的值及方程的另一根;(2)试说明无论k取何值,此方程总有实数根.22.(本小题满分9分)已知关于x的一元二次方程(c+a)x2+2bx+(c-a)=0,其中a,b,c分别是△ABC三边的长.(1)如果x=-1是此方程的根,试判断△ABC的形状,并说明理由;(2)如果方程有两个相等的实数根,试判断△ABC的形状,并说明理由;(3)已知a∶b∶c=3∶4∶5,求该一元二次方程的根.23.(本小题满分10分)阅读下列内容,并回答问题:我们知道,计算n边形的对角线条数公式为12n(n-3).如果一个n边形共有20条对角线,那么可以得到方程12n(n-3)=20.整理得n2-3n-40=0,解得n=8或n=-5.∵n为大于等于3的整数,∴n=-5不合题意,舍去,∴n=8,根据以上内容,回答问题:(1)若一个多边形共有14条对角线,求这个多边形的边数;(2)A同学说:“我求得一个多边形共有10条对角线.”你认为A同学的说法正确吗?为什么?24.(本小题满分10分)如图2,在直角墙角AOB(OA⊥OB,且OA,OB长度不限)中,要砌20m长的墙(即AC+BC=20m),与直角墙角AOB围成地面为矩形的储仓,且地面矩形AOBC的面积为96m2.(1)求该地面矩形的长;(2)有规格为0.80×0.80和1.00×1.00(单位:m)的地板砖,单价分别为50元/块和80元/块,若只选其中一种地板砖都恰好能铺满储仓的矩形地面(不计缝隙),则用哪一种规格的地板砖费用较少?图225.(本小题满分10分)某批发商以每件50元的价格购进800件T恤,第一个月以单价80元/件销售,售出了200件;第二个月如果单价不变,预计仍可售出200件,批发商为增加销量,决定降价销售,根据市场调查发现,该T恤的单价每降低1元/件,每个月可多售出10件,但最低单价应高于购进的价格;第二个月结束后,批发商将对剩余的T恤一次性清仓销售,清仓时单价为40元/件,设第二个月单价降低x元/件.(1)填表(不需要化简):时间第一个月第二个月清仓时单价(元/件)8040销售量(件)200(2)如果批发商希望通过销售这批T恤获利9000元,那么第二个月的单价应为多少?26.(本小题满分12分)如图3所示,在△ABC中,∠B=90°,AB=6cm,BC=8cm.点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动,点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动.【思考】如果点P,Q分别从点A,B同时出发,经过几秒,△PBQ的面积等于8cm2?【探究】如果点P,Q分别从点A,B同时出发,线段PQ能否将△ABC分成面积相等的两部分?若能,求出运动时间;若不能,说明理由.【拓展】若点P沿射线AB方向从点A出发,以1cm/s的速度移动,点Q沿射线CB方向从点C出发,以2cm/s的速度移动,点P,Q同时出发,则经过几秒,△PBQ的面积为1cm2?图3答案1.D[解析]x+2y=1是二元一次方程,不符合题意;x+y2不是方程,不符合题意;3x+1x=4是分式方程,不符合题意;x2-2=0是一元二次方程,符合题意2.A[解析]∵一元二次方程x2-(b-4)x+9=0的一次项系数为2,∴-(b-4)=2,解得b=2.3.C[解析]∵x2-4x-7=0,∴x2-4x+4=11,∴(x-2)2=11.4.A[解析]∵b2-4ac=22-4×1×(-3)=16>0,∴x=-2±162×1=-2±45.C[解析]∵x=2是关于x的一元二次方程ax2-bx+4=0的解,∴a×22-2b+4=0,化简,得2a-b=-2,∴2021+2a-b=2021+(2a-b)=2021+(-2)=2019.6.D[解析]解方程12x2-x-2=0,去分母,得x2-2x-4=0,即x2-2x=4.配方,得x2-2x+1=5,即(x-1)2=5.开方,得x-1=±5,解得x=1±5,则四个步骤中出现错误的是④.故选D7.D[解析]∵(2-a)x2+x+a2-4=0是关于x的一元二次方程,∴2-a≠0,即a≠2.把x=0代入(2-a)x2+x+a2-4=0,可得a2-4=0,解得a=±2.综上,a=-2.8.B9.C[解析]∵关于x的一元二次方程(a+1)x2+2bx+(a+1)=0有两个相等的实数根,∴a+1≠0,(2b)2-4(a+1)2=0,∴b=a+1或b=-(a+1).当b=a+1时,有a-b+1=0,此时-1是方程x2+bx+a=0的根;当b=-(a+1)时,有a+b+1=0,此时1是方程x2+bx+a=0的根.∵a+1≠0,∴a+1≠-(a+1),∴1和10.B[解析]设方程的两根为x1,x2,根据题意,得x1+x2=0,所以a2-2a=0,解得a=0或a=2,当a=2时,方程化为x2+1=0,b2-4ac=-4<0,故a=2舍去,所以a的值为0.11.A[解析]当k-3=0,即k=3时,方程化为-4x+2=0,解得x=12当k-3≠0时,b2-4ac=(-4)2-4(k-3)×2≥0,解得k≤5且k≠3.综上所述,k的取值范围为k≤5.12.A[解析]把方程(2x+3)2+3(2x+3)-4=0看作关于2x+3的一元二次方程,所以2x+3=1或2x+3=-4,所以x1=-1,x2=-3.5.故选A.13.C[解析]将x=1代入方程,得1-k+4=0,解得k=5.则方程为x2-5x+4=0,解得x=1或x=4.当三角形的三边长为1,1,4时,1+1<4,不能构成三角形,舍去;当三角形的三边长为4,4,1时,1+4>4,能构成三角形,则三角形的周长为1+4+4=9.14.D[解析]∵a,b为方程x2-3x+p=0(p≠0)的两个不相等的实数根,∴a+b=3,ab=p.∵a2-ab+b2=(a+b)2-3ab=32-3p=18,∴p=-3.当p=-3时,b2-4ac=(-3)2-4p=9+12=21>0,∴p=-3符合题意.∴ab+ba=(a+故选D.15.B[解析]设平均每个季度的增长率为x,则1250(1+x)2=1800,∴1+x=±1.2,∴x1=0.2=20%,x2=-2.2(舍去),∴第四季度实现生活垃圾分类的社区可以达到1800×(1+20%)=2160(个),故选B.16.C[解析]①当x=1时,有a+b+c=0,即方程有实数根,∴b2-4ac≥0,故错误;②把x=-1代入方程,得a-b+c=0.……A,把x=2代入方程,得4a+2b+c=0.……B,2×A+B,得6a+3c=0,即2a+c=0,故正确;③方程ax2+c=0有两个不相等的实数根,则-4ac>0,∴b2-4ac>0,∴方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实数根,故正确;④若b=2a+c,则b2-4ac=(2a+c)2-4ac=4a2+c2.∵a≠0,∴4a2+c2>0,∴方程有两个不相等的实数根,故正确.②③④都正确.17.x1=0,x2=-2.5[解析]方程2x(x+3)=x移项,得2x(x+3)-x=0,分解因式,得x[2(x+3)-1]=0,即x(2x+5)=0,∴x=0或2x+5=0,∴x1=0,x2=-2.5.18.(1)0或8(2)5[解析](1)∵关于x的方程x2-mx+2m=0有两个相等的实数根,∴b2-4ac=(-m)2-8m=m2-8m=m(m-8)=0,解得m=0或8.(2)∵m2-8m=0,∴2m2-16m+5=2(m2-8m)+5=5.19.(1)(20+2x)(2)20[解析](1)设每件衬衫降价x元时,每天可售出(20+2x)件,每件盈利(40-x)元.(2)根据题意,得(20+2x)·(40-x)=1200,解得x1=20,x2=10.因为为了扩大销售量,增加利润,所以x=20.20.解:(1)移项,得x2-6x=-2.配方,得x2-6x+9=-2+9,即(x-3)2=7.开方,得x-3=±7.∴x1=3+7,x2=3-7.(2)移项,得3x(x-1)+2x-2=0.3x(x-1)+2(x-1)=0,因式分解,得(x-1)(3x+2)=0,即x-1=0或3x+2=0.∴x1=1,x2=-2321.解:(1)把x=1代入方程,得1+2(2-k)+3-6k=0,解得k=1.故方程为x2+2x-3=0.设方程的另一个根是x2,则1·x2=-3,解得x2=-3.故k的值为1,方程的另一根为x=-3.(2)∵关于x的方程x2+2(2-k)x+3-6k=0中,b2-4ac=4(2-k)2-4(3-6k)=4(k+1)2≥0,∴无论k取何值,此方程总有实数根.22.解:(1)△ABC是等腰三角形.理由:把x=-1代入方程,得c+a-2b+c-a=0,则c=b,∴△ABC是等腰三角形.(2)△ABC是直角三角形.理由:根据题意,得(2b)2-4(c+a)(c-a)=0,即a2+b2=c2,∴△ABC是直角三角形.(3)∵a∶b∶c=3∶4∶5,∴设a=3t,b=4t,c=5t(t≠0),则原方程可变为4x2+4x+1=0,解得x1=x2=-1223.解:(1)根据题意,得12n(n-3)=14整理,得n2-3n-28=0,解得n=7或n=-4.∵n为大于等于3的整数,∴n=-4不合题意,舍去,∴n=7,即这个多边形的边数是7.(2)A同学的说法不正确.理由如下:当12n(n-3)=10时,整理,得n2-3n-20=0,解得n=3∴符合方程n2-3n-20=0的正整数n不存在,∴一个多边形不可能有10条对角线.24.解:(1)设AC=xm,则BC=(20-x)m.由题意,得x(20-x)=96,即x2-20x+96=0,∴(x-12)(x-8)=0,解得x1=12,x2=8.当AC=12m时,BC=8m,AC为矩形的长,此时矩形的长为12m.当AC=8m时,BC=12m,BC为矩形的长,此时矩形的长为12m.答:该地面矩形的长为12m.(2)①若选用规格为0.80×0.80(单位:m)的地板砖,则120.8150×50=7500(元);②若选用规格为1.00×1.00(单位:m)的地板砖,则121×896×80=7680(元).∵7500<7680,∴选用规格为0.80×0.80(单位:m)的地板砖费用较少.25.[解析](1)第二个月的单价=第一个月的单价-降低的价格,销售量=200+10×降低的单价;清仓时的销售量=800-第一个月的销售量-第二个月的销售量.(2)等量关系为总售价-总进价=9000元.把相关数值代入计算即可.解:(1)填表如下.时间第一个月第二个月清仓时单价(元/件)8080-x40销售量(件)200200+10x800-200-(200+10x)(2)80×200+(80-x)(200+10