人教版七年级上册数学-第四章-几何图形初步-习题

第页第四章几何图形初步4.1几何图形4.1.1立体图形与平面图形第1课时认识立体图形与平面图形基础题知识点1认识立体图形1.（丽水中考）下列图形中，属于立体图形的是（C）ABCD2.下列物体中，最接近圆柱的是（C）3.下面几何体中，既不是柱体，又不是锥体的是（C）4.请写出图中的立体图形的名称.（1）圆柱；（2）三棱柱；（3）三棱锥；（4）圆锥.5.如图，把下列物体和与其相似的立体图形连接起来.解：如图.知识点2认识平面图形6.以下图形中，不是平面图形的是（C）A.线段B.角C.圆锥D.圆7.【关注社会生活】如图是交通禁止驶入标志，组成这个标志的几何图形有（A）A.圆、长方形B.圆、线段C.球、长方形D.球、线段8.如图所示的是一座房子的平面图，组成这幅图的几何图形有（C）A.三角形、长方形B.三角形、正方形、长方形C.三角形、正方形、长方形、梯形D.正方形、长方形、梯形9.如图是由平面图形正方形和半圆构成的.10.下图中包含哪些简单的平面图形？解：图中包含圆、正方形、长方形、三角形、平行四边形.易错点忽视柱体上、下底面“平行且相等”这一条件而致错11.如图所示的立体图形中，不是柱体的是（D）中档题12.下列几何图形：①三角形；②长方形；③正方体；④圆；⑤圆锥；⑥圆柱，其中立体图形有m个，平面图形有n个，则m－n的值为（D）A.3B.2C.1D.013.如图，用简单的平面图形画出三位携手同行的小人物，请你仔细观察，图中三角形有4个，圆有6个.14.在如图所示的图形中，柱体有①②③⑦，锥体有⑤⑥，球体有④.15.指出图中各物体是由哪些立体图形组成的.解：（1）由正方体、圆柱、圆锥组成.（2）由圆柱、长方体、三棱柱组成.（3）由五棱柱、球组成.16.如图，有7种图形，请你选用这7种图形中的若干种（不少于两种）构造一幅画，并用一句话说明你的构想是什么？举例：如图，左框中就是一个符合要求的图案，请你在右框中画出一个与这个不同的图案，并加以说明.一辆汽车解：答案不唯一，略.综合题17.【注重动手操作】动手剪拼：下边的三幅图都是不规则图形，你能把它们各剪一刀，分成两部分，然后拼成正方形吗？试试看.解：如图.

第2课时立体图形与平面图形的相互转化基础题知识点1从不同的方向观察立体图形1.（绍兴中考）如图的几何体是由五个相同的小立方体搭成，它从正面看到的平面图形是（A）eq\a\vs4\al()ABCD2.有一种圆柱体茶叶筒如图所示，从正面看得到的平面图形是（D）3.如图所示的几何体，从左面看得到的平面图形是（B）ABCD4.如图是小李书桌上放的一本书，从上往下看得到的平面图形是（A）ABCD5.图中的两个圆柱体底面半径相同而高度不同，关于从不同的方向看这两个圆柱体得到的平面图形，说法正确的是（B）A.从正面看得到的平面图形相同B.从上面看得到的平面图形相同C.从左面看得到的平面图形相同D.从各个方向看得到的平面图形都相同6.下列几何体中，从正面、上面、左面观察都是相同图形的是（C）A.圆柱B.三棱柱C.球D.长方体知识点2立体图形的展开图7.如图所示的立体图形，它的展开图是（C）ABCD8.（常州中考）下列图形中，是圆锥的侧面展开图的是（B）9.（陕西中考）如图是一个几何体的表面展开图，则该几何体是（C）A.正方体B.长方体C.三棱柱D.四棱锥10.（无锡中考）下面每个图形都是由6个边长相同的正方形拼成的图形，其中能折叠成正方体的是（C）中档题11.（广安中考）如图所示的几何体，从上面看得到的平面图形是（D）12.（龙东中考）由几个相同的小正方体搭成的一个几何体如图所示，从正面看这个几何体得到的平面图形是（A）13.（绵阳中考）把图中的三棱柱展开，所得到的展开图是（B）14.（教材P123习题T10变式）（河南中考）某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种展开图，那么在原正方体中，与“国”字所在面相对的面上的汉字是（D）A.厉B.害C.了D.我15.（连云港中考）由6个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，比较它从三个不同方向看到的平面图形的面积，则（C）A.一样大B.从正面看到的平面图形的面积最小C.从左面看到的平面图形的面积最小D.从上面看到的平面图形的面积最小16.如图是由一些相同的小正方体搭成的几何体从三个不同方向看到的图形，搭成这个几何体的小正方体的个数是4.17.马小虎准备制作一个封闭的正方体盒子，他先用5个大小一样的正方形制成如图所示的拼接图形（实线部分），经折叠后发现还少一个面，在图中的拼接图形上再接一个正方形，使新拼接成的图形经过折叠后能成为一个封闭的正方体盒子，试问共有4种添加方法.综合题18.如图是一个长方体的展开图，每一面上都标注了字母（标字母的面是外表面），根据要求回答问题：（1）如果D面在长方体的左面，那么F面在哪里？（2）B面和哪个面是相对的面？（3）如果C面在前面，从上面看是D面，那么左面是哪个面？（4）如果B面在后面，从左面看是D面，那么前面是哪个面？（5）如果A面在右面，从下面看是F面，那么B面在哪里？解：（1）右面.（2）E面.（3）B面.（4）E面.（5）后面.小专题（十一）正方体的展开与折叠——教材P122习题T7、P123习题T10的变式与应用类型1判断正方体的展开图教材母题：（教材P122习题T7）如图，这些图形都是正方体的展开图吗？如果不能确定，折一折，试一试.你还能再画出一些正方体的展开图吗？解：第一排第3个图不能，其余都能折成正方体.正方体的展开图可总结为如下图所示“一四一”“二三一”“三三”“二二二”四种类型，共11种情况.1.一四一型2.二三一型3.三三型4.二二二型若小正方形摆成的平面图形呈“”“”“”型，则不能折成正方体.若出现“”型，则另两面必须在两侧.1.（长春中考）下列图形中，可以是正方体表面展开图的是（D）ABCD2.将如图所示的图形剪去一个小正方形，使余下的部分恰好能折成一个正方体，应剪去（序号）（D）A.1或2或3B.3或4或5C.4或5或6D.1或2或6类型2找正方体的相对面或相邻面3.一个立方体的表面展开图如图所示，将其折叠成立方体后，“你”字对面的字是（C）A.中B.考C.顺D.利4.如图，该平面展开图按虚线折叠成正方体后，相对面上两个数之和为7，则x＋y的值是（C）A.7B.8C.9D.104.1.2点、线、面、体基础题知识点1点、线、面、体1.面与面相交，形成的是（B）A.点B.线C.面D.体2.下雨时汽车的雨刷把玻璃上的雨水刷干净，这属于的实际运用是（B）A.点动成线B.线动成面C.面动成体D.都不对3.下面现象能说明“面动成体”的是（A）A.旋转一扇门，门运动的痕迹B.扔一块小石子，小石子在空中飞行的路线C.天空划过一道流星D.时钟秒针旋转时扫过的痕迹4.长方体有6个面，12条棱，8个顶点；圆柱有3个面，其中有2个平面，1个曲面.5.如图所示的是一个棱柱，请问：（1）这个棱柱由几个面围成？各面的交线有几条？它们是直的还是曲的？（2）这个棱柱的底面和侧面各是什么形状？（3）该棱柱有几个顶点？解：（1）这个棱柱由5个面围成，各面的交线有9条，它们是直的.（2）棱柱的底面是三角形，侧面是长方形.（3）有6个顶点.知识点2由平面图形旋转而成的立体图形6.（长沙中考）将下列如图的平面图形绕轴l旋转一周，可以得到的立体图形是（D）7.【易错】现有一个长为4cm，宽为3cm的长方形，绕它的一边旋转一周，得到的几何体的体积是36πcm3或48πcm3.中档题8.（教材P120练习T2变式）将下面平面图形绕直线l旋转一周，可得到如图所示立体图形的是（B）ABCD9.如果一个多面体的一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，那么这个多面体叫做棱锥.如图是一个四棱柱和一个六棱锥，它们各有12条棱.下列棱柱中和九棱锥的棱数相等的是（B）A.五棱柱B.六棱柱C.七棱柱D.八棱柱10.下面图1是正方体木块，若用不同的方法，把它切去一块，可以得到如图2、图3、图4、图5不同形状的木块.图1图2图3图4图5（1）我们知道，图1的正方体木块有8个顶点，12条棱，6个面.请你观察，将图2、图3、图4、图5中木块的顶点数a、棱数b、面数c填入下表：图顶点数a棱数b面数c1812626953812648137510157（2）观察这张表，请你归纳出上述各种木块的顶点数a、棱数b、面数c之间的数量关系，这种数量关系是：a＋c－b＝2（用含a，b，c的一个等式表示）.4.2直线、射线、线段第1课时直线、射线、线段基础题知识点1直线1.下列可近似看作直线的是（D）A.绷紧的琴弦B.探照灯射出的光线C.孙悟空的金箍棒D.太阳光线2.下列图示中，直线表示方法正确的有（D）A.①②③④B.①②C.②④D.①④3.如图，下列说法错误的是（D）A.点P为直线AB外一点B.直线AB不经过点PC.直线AB与直线BA是同一条直线D.点P在直线AB上4.用一个钉子把一根细木条钉在木板上，用手拨木条，木条能转动，这说明经过一点可以画无数条直线；用两个钉子把细木条钉在木板上，就能固定细木条，这说明两点确定一条直线.5.如图，完成下列填空：（1）直线a经过点A，C，但不经过点B，D；（2）点B在直线b上，在直线a外；（3）点A既在直线a上，又在直线b上.知识点2射线6.（教材P126练习T1变式）如图所示，A，B，C是同一直线上的三点，下面说法正确的是（C）A.射线AB与射线BA是同一条射线B.射线AB与射线BC是同一条射线C.射线AB与射线AC是同一条射线D.射线BA与射线BC是同一条射线7.如图，能用O，A，B，C中的两个字母表示的不同射线有7条.知识点3线段8.下列表示线段的方法中，正确的是（B）A.线段AB.线段ABC.线段abD.线段Ab9.按语句“画出线段PQ的延长线”，画图正确的是（A）10.（柳州中考）如图，在直线l上有A，B，C三点，则图中线段共有（C）A.1条B.2条C.3条D.4条11.如图，直线有多少条？把它们分别表示出来；线段有多少条？把它们分别表示出来；射线有多少条？可以表示的射线有多少条？把它们表示出来.解：直线有3条，分别为直线AB，直线AC，直线BC；线段有6条，分别为线段AB，线段AC，线段AD，线段BD，线段CD，线段BC；射线有14条，可以表示的射线有8条，分别为射线AB，射线AC，射线BA，射线BC，射线CA，射线CB，射线DB，射线DC.易错点三个点的位置不确定，考虑不周全12.平面上有三个点，可以确定直线的条数是1条或3条.中档题13.如图，对于直线AB，线段CD，射线EF，其中能相交的是（B）14.下列关于作图的语句中，一定正确的是（D）A.画直线AB＝10cmB.画射线OB＝10cmC.已知A，B，C三点，过这三点画一条直线D.画线段OB＝10cm15.延长线段AB到点C，下列说法中正确的是（B）A.点C在线段AB上B.点C在直线AB上C.点C不在直线AB上D.点C在直线AB的延长线上16.如图，下列叙述不正确的是（C）A.点O不在直线AC上B.图中共有5条线段C.射线AB与射线BC是指同一条射线D.直线AB与直线CA是指同一条直线17.（教材P126练习T2变式）如图，已知平面上四点A，B，C，D.（1）画直线AB，射线CD；（2）画射线AD，连接BC；（3）直线AB与射线CD相交于点E；（4）连接AC，BD相交于点F.解：如图所示.18.如图，已知数轴上的原点为O，点A表示3，点B表示－1，回答下列问题：（1）数轴在原点O左边的部分（包括原点）是一条什么线？怎样表示？（2）射线OB上的点表示什么数？（3）数轴上表示不大于3且不小于－1的数的部分是什么图形？怎样表示？解：（1）是一条射线，表示为射线OB.（2）负数和零（非正数）.（3）线段，表示为线段AB.19.【易错】往返于甲、乙两地的客车，中途有三个站（如图）.其中每两站的票价不同.问：（1）有多少种不同的票价？（2）要准备多少种车票？解：根据线段的定义：可知图中的线段有AC，AD，AE，AB，CD，CE，CB，DE，DB，EB，共10条.（1）有10种不同的票价.（2）因车票需要考虑方向性，如“A→C”与“C→A”票价相同，但方向不同，故需要准备20种车票.综合题20.如图：（1）试验观察：如果每过两点可以画一条直线，那么：第①组最多可以画3条直线；第②组最多可以画6条直线；第③组最多可以画10条直线；（2）探索归纳：如果平面上有n（n≥3）个点，且任意3个点均不在一条直线上，那么最多可以画eq\f(n（n－1）,2)条直线；（用含n的式子表示）（3）解决问题：某班45名同学在毕业后的一次聚会中，如果每两人握1次手问好，那么共握990次手.第2课时比较线段的长短基础题知识点1用尺规作一条线段等于已知线段1.尺规作图的工具是（D）A.刻度尺和圆规B.三角尺和圆规C.直尺和圆规D.没有刻度的直尺和圆规2.已知：线段a，b.求作：线段AB，使得AB＝a＋2b.小明给出了四个步骤：①在射线AM上画线段AP＝a；②则线段AB＝a＋2b；③在射线PM上画PQ＝b，QB＝b；④画射线AM.你认为正确的顺序是（B）A.①②③④B.④①③②C.④③①②D.④②①③3.如图，已知线段a，b，作一条线段使它等于2a＋b.（要求：不写作法，保留作图痕迹）解：如图，AC即为所求线段.知识点2线段的长短比较及和差4.如图所示，比较线段a和线段b的长度，结果正确的是（B）A.a＞bB.a＜bC.a＝bD.无法比较5.七年级（1）班的同学想举行一次拔河比赛，他们想从两条大绳中挑出一条较长的绳子，请你为他们选择一种合适的方法（A）A.把两条大绳的一端对齐，然后同一方向上拉直两条大绳，另一端在外面的即为长绳B.把两条绳子接在一起C.把两条绳子重合，观察另一端情况D.没有办法挑选6.如图，在三角形ABC中，比较线段AC和AB长短的方法可行的有（C）①凭感觉估计；②用直尺度量出AB和AC的长度；③用圆规将线段AB叠放到线段AC上，观察点B的位置；④沿点A折叠，使AB和AC重合，观察点B的位置.A.1个B.2个C.3个D.4个知识点3线段的中点及等分点7.如图，点B在线段AC上，下列式子中：①AB＝eq\f(1,2)AC；②AB＝BC；③AC＝2AB；④AB＋BC＝AC，其中能表示点B是线段AC的中点的有（C）A.1个B.2个C.3个D.4个8.如图，点O是线段AB的中点，点C在线段OB上，AC＝6，CB＝3，则OC的长等于（C）A.0.5B.1C.1.5D.29.如图，点C在线段AB上，点D是线段AC的中点，点C是线段BD的四等分点.若CB＝2，则线段AB的长为（C）A.6B.10C.14D.1810.如图，点C是线段AB上的点，点D是线段BC的中点.（1）若AB＝10，AC＝6，求CD的长；（2）若AC＝30，BD＝10，求AB的长.解：（1）因为点D是线段BC的中点，所以CD＝eq\f(1,2)BC.因为AB＝10，AC＝6，所以BC＝AB－AC＝10－6＝4.所以CD＝eq\f(1,2)BC＝2.（2）因为点D是线段BC的中点，所以BC＝2BD.因为BD＝10，所以BC＝2×10＝20.因为AB＝AC＋BC，所以AB＝30＋20＝50.易错点由于点的位置不确定而出现漏解11.已知A，B，C是直线MN上的点，若AC＝8cm，BC＝6cm，点D是AC的中点，则BD的长等于10cm或2cm.中档题12.已知线段AB＝2cm，延长AB到点C，使BC＝AB，再延长BA到点D，使BD＝2AB，则线段DC的长为（C）A.4cmB.5cmC.6cmD.2cm13.【易错】已知点A，B，C在同一条直线上，点M，N分别是AB，AC的中点.如果AB＝10cm，AC＝8cm，那么线段MN的长度为（D）A.6cmB.9cmC.3cm或6cmD.1cm或9cm14.如图，C，D是线段AB上的点，若AB＝8，CD＝2，则图中以A，C，D，B为端点的所有线段的长度之和等于（D）A.24B.22C.20D.2615.如图，点C，D，E都在线段AB上，已知AD＝BC，点E是线段AB的中点，则CE＝DE.（填“＞”“＜”或“＝”）16.如图，点M是线段AB的中点，点C在线段AB上，且AC＝4cm，点N是AC的中点，MN＝3cm，求线段CM和AB的长.解：因为点N是AC的中点，AC＝4cm，所以NC＝eq\f(1,2)AC＝eq\f(1,2)×4＝2（cm）.因为MN＝3cm，所以CM＝MN－NC＝3－2＝1（cm）.所以AM＝AC＋CM＝4＋1＝5（cm）.因为点M是AB的中点，所以AB＝2AM＝2×5＝10（cm）.17.如图，已知线段AB＝20cm，点M是线段AB的中点，点C是AB延长线上一点，AC＝3BC，点D是线段BA延长线上一点，AD＝eq\f(1,2)AB.（1）求线段BC的长；（2）求线段DC的长；（3）点M还是哪些线段的中点？解：（1）因为AC＝AB＋BC，AC＝3BC，所以3BC＝AB＋BC，即AB＝2BC.因为AB＝20cm，所以BC＝10cm.（2）因为AD＝eq\f(1,2)AB，AB＝20cm，所以AD＝10cm.所以DC＝AD＋AB＋BC＝10＋20＋10＝40（cm）.（3）因为点M是线段AB的中点，所以AM＝MB＝10cm.所以DM＝20cm，MC＝20cm.所以点M还是线段DC的中点.综合题18.已知线段AB上有两点P，Q，点P将AB分成两部分，AP∶PB＝2∶3，点Q将AB也分成两部分，AQ∶QB＝4∶1，且PQ＝3cm.求AP，QB的长.解：画出图形，如图：设AP＝2xcm，PB＝3xcm，则AB＝5xcm.因为AQ∶QB＝4∶1，所以AQ＝4xcm，QB＝xcm.所以PQ＝PB－QB＝2xcm.因为PQ＝3cm，所以2x＝3.所以x＝1.5.所以AP＝3cm，QB＝1.5cm.

第3课时关于线段的基本事实及两点间的距离基础题知识点1关于线段的基本事实1.（随州中考改编）某同学用剪刀沿直线将一片平整的银杏叶剪掉一部分（如图），发现剩下的银杏叶的周长比原银杏叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是（A）A.两点之间，线段最短B.两点确定一条直线C.直线比曲线短D.经过一点有无数条直线2.【关注社会生活】下面现象，可以用两点之间线段最短来解释的是（D）A.平板弹墨线B.建筑工人砌墙C.会场把茶杯摆直D.弯河道改直3.如图，A，B是公路l两旁的两个村庄，若两村要在公路上合修一个汽车站P，使它到A，B两村的距离之和最小，试在l上标注出点P的位置，并说明理由.解：点P的位置如图所示.作法：连接AB交直线l于点P，则P点即为汽车站位置.理由：两点之间，线段最短.知识点2两点间的距离4.（滨州中考）若数轴上点A，B分别表示数2，－2，则A，B两点之间的距离可表示为（B）A.2＋（－2）B.2－（－2）C.（－2）＋2D.（－2）－25.如图，线段AB＝8cm，延长AB到点C.若线段BC的长是AB长的一半，则A，C两点之间的距离为（D）A.4cmB.6cmC.8cmD.12cm中档题6.（新疆中考）如图所示，某同学的家在A处，星期日他到书店去买书，想尽快赶到书店B，请你帮助他选择一条最近的路线（B）A.A→C→D→BB.A→C→F→BC.A→C→E→F→BD.A→C→M→B7.已知A，B，C为直线l上的三点，线段AB＝9cm，BC＝1cm，那么A，C两点间的距离是（D）A.8cmB.9cmC.10cmD.8cm或10cm8.如图，平面上有A，B，C，D四个村庄，为解决当地缺水问题，政府准备修建一个蓄水池，不考虑其他因素，请你画出蓄水池P的位置，使它与4个村庄的距离之和最小.解：连接AC，BD的交点即为P点的位置，如图.综合题9.（教材P130习题T11变式）如图所示，有一个圆柱形纸筒，一只虫子在点B处，一只蜘蛛在点A处，蜘蛛沿着纸筒表面准备偷袭虫子，那么蜘蛛想要最快地捉住虫子，应怎样走？解：如图所示，蜘蛛沿线段AB爬行，能最快地捉住虫子.小专题（十二）线段的计算类型1中点问题（整体思想）【例】如图，点C在线段AB上，点M，N分别是AC，BC的中点.（1）若AC＝9cm，CB＝6cm，则线段MN的长为eq\f(15,2)cm；（2）若AC＝acm，CB＝bcm，则线段MN的长为eq\f(a＋b,2)cm；（3）若AB＝mcm，求线段MN的长度；（4）若点C为线段AB上任意一点，且AB＝ncm，其他条件不变，你能猜想MN的长度吗？并用一句简洁的话描述你发现的结论.解：（3）因为点M，N分别是AC，BC的中点，所以MC＝eq\f(1,2)AC，CN＝eq\f(1,2)BC.又因为MN＝MC＋CN，所以MN＝eq\f(1,2)（AC＋BC）＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(m,2)cm.（4）猜想：MN＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(n,2)cm.结论：若点C为线段AB上一点，且点M，N分别是AC，BC的中点，则MN＝eq\f(1,2)AB.【变式1】若MN＝kcm，求线段AB的长.解：因为点M是AC的中点，所以CM＝eq\f(1,2)AC.因为点N是BC的中点，所以CN＝eq\f(1,2)BC.所以MN＝CM＋CN＝eq\f(1,2)（AC＋BC）＝eq\f(1,2)AB.所以AB＝2MN＝2kcm.【变式2】若将例题中的“点C在线段AB上”改为“点C在线段AB的延长线上”，其他条件不变，（3）中结论还成立吗？请画出图形，写出你的结论，并说明理由.解：MN＝eq\f(m,2)cm成立.当点C在线段AB的延长线上时，如图.因为点M，N分别是AC，BC的中点，所以MC＝eq\f(1,2)AC，CN＝eq\f(1,2)BC.又因为MN＝MC－CN，所以MN＝eq\f(1,2)（AC－BC）＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(m,2)cm.如图，只要点C在线段AB所在直线上，点M，N分别是AC，BC的中点，那么MN＝eq\f(1,2)AB.图1图2图31.如图，C是线段AB上一点，M是AB的中点，N是AC的中点.若AB＝8cm，AC＝3.2cm，则线段MN的长为2.4cm.2.如图，已知点C，D为线段AB上顺次两点，M，N分别是AC，BD的中点.（1）若AB＝24，CD＝10，求MN的长；（2）若AB＝a，CD＝b，请用含a，b的式子表示出MN的长.解：（1）因为AB＝24，CD＝10，所以AC＋DB＝14.因为M，N分别为AC，BD的中点，所以CM＝eq\f(1,2)AC，DN＝eq\f(1,2)BD.所以MC＋DN＝eq\f(1,2)（AC＋DB）＝7.所以MN＝MC＋DN＋CD＝17.（2）因为AB＝a，CD＝b，所以AC＋DB＝a－b.所以MC＋DN＝eq\f(1,2)（AC＋DB）＝eq\f(1,2)（a－b）.所以MN＝MC＋DN＋CD＝eq\f(1,2)（a－b）＋b＝eq\f(1,2)（a＋b）.类型2直接计算3.如图，已知线段AB，按下列要求完成画图和计算：（1）延长线段AB到点C，使BC＝2AB，取线段AC的中点D；（2）在（1）的条件下，如果AB＝4，求线段BD的长度.解：（1）如图.（2）因为BC＝2AB，且AB＝4，所以BC＝8.所以AC＝AB＋BC＝8＋4＝12.因为D为AC中点，所以AD＝eq\f(1,2)AC＝6.所以BD＝AD－AB＝6－4＝2.类型3方程思想4.如图，已知B，C两点把线段AD分成2∶5∶3三部分，点M为AD的中点，BM＝6cm，求CM和AD的长.解：设AB＝2xcm，BC＝5xcm，CD＝3xcm，则AD＝AB＋BC＋CD＝10xcm.因为M是AD的中点，所以AM＝MD＝eq\f(1,2)AD＝5xcm.所以BM＝AM－AB＝5x－2x＝3xcm.因为BM＝6cm，所以3x＝6.解得x＝2.故CM＝MD－CD＝5x－3x＝2x＝2×2＝4（cm），AD＝10x＝10×2＝20（cm）.5.如图，已知线段AB和CD的公共部分BD＝eq\f(1,3)AB＝eq\f(1,4)CD，线段AB，CD的中点E，F之间的距离是10cm，求AB，CD的长.解：设BD＝xcm，则AB＝3xcm，CD＝4xcm，AC＝6xcm.因为点E，F分别为AB，CD的中点，所以AE＝eq\f(1,2)AB＝1.5xcm，CF＝eq\f(1,2)CD＝2xcm.所以EF＝AC－AE－CF＝6x－1.5x－2x＝2.5x（cm）.因为EF＝10cm，所以2.5x＝10.解得x＝4.所以AB＝12cm，CD＝16cm.类型4分类讨论思想6.已知线段AB＝60cm，在直线AB上画线段BC，使BC＝20cm，点D是AC的中点，求CD的长度.解：当点C在线段AB上时，如图1，图1CD＝eq\f(1,2)AC＝eq\f(1,2)（AB－BC）＝eq\f(1,2)×（60－20）＝eq\f(1,2)×40＝20（cm）；当点C在线段AB的延长线上时，如图2，图2CD＝eq\f(1,2)AC＝eq\f(1,2)（AB＋BC）＝eq\f(1,2)×（60＋20）＝eq\f(1,2)×80＝40（cm）.所以CD的长度为20cm或40cm.7.课间休息时小明拿两根木棒玩，小明说：“较短木棒AB长40cm，较长木棒CD长60cm，将它们的一端重合，放在同一条直线上，此时两根木棒的中点分别是点E和点F，则点E和点F间的距离是多少？你说对了我就给你玩.”聪明的你请帮小华求出此时两根木棒的中点E和F间的距离是多少？解：如图1，当AB在CD的左侧且点B和点C重合时，图1因为点E是AB的中点，所以BE＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(1,2)×40＝20（cm）.因为点F是CD的中点，所以CF＝eq\f(1,2)CD＝eq\f(1,2)×60＝30（cm）.所以EF＝BE＋CF＝20＋30＝50（cm）.如图2，当AB在CD上且点B和点C重合时，图2因为点E是AB的中点，所以BE＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(1,2)×40＝20（cm）.因为点F是CD的中点，所以CF＝eq\f(1,2)CD＝eq\f(1,2)×60＝30（cm）.所以EF＝CF－BE＝30－20＝10（cm）.所以此时两根木棒的中点E和F间的距离是50cm或10cm.类型5动态问题8.如图，数轴上A，B两点对应的有理数分别为10和15，点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴正方向运动，点Q同时从原点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为t秒.（1）当0＜t＜5时，用含t的式子填空：BP＝5－t，AQ＝10－2t；（2）当t＝2时，求PQ的值；（3）【分类讨论思想】当PQ＝eq\f(1,2)AB时，求t的值.解：（2）当t＝2时，AP＜5，点P在线段AB上；OQ＜10，点Q在线段OA上，如图所示：此时PQ＝OP－OQ＝（OA＋AP）－OQ＝（10＋t）－2t＝10－t＝8.（3）PQ＝|OP－OQ|＝|（OA＋AP）－OQ|＝|（10＋t）－2t|＝|10－t|.因为PQ＝eq\f(1,2)AB，所以|10－t|＝2.5.解得t＝7.5或t＝12.5.4.3角4.3.1角基础题知识点1角的定义及表示方法1.下列说法中，正确的是（C）A.两条射线组成的图形叫做角B.有公共端点的两条线段组成的图形叫做角C.角可以看作是由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形D.角可以看作是由一条线段绕着它的端点旋转而形成的图形2.图中角的表示方法正确的有（B）A.1个B.2个C.3个D.4个3.如图所示，下列表示角的方法错误的是（D）A.∠1与∠AOB表示同一个角B.∠β表示的是∠BOCC.图中共有三个角：∠AOB，∠AOC，∠BOCD.∠AOC也可用∠O来表示4.如图，∠1，∠2表示的角用大写字母分别表示为∠ABC，∠BCN；∠A也可表示为∠BAC，还可以表示为∠MAN.5.如图所示，能用一个字母表示的角有2个，以A为顶点的角有3个，图中所有的角有7个（小于平角）.知识点2角的度量6.（厦门中考）1°等于（C）A.10′B.12′C.60′D.100′7.下列各角中，是钝角的是（B）A.eq\f(1,4)周角B.eq\f(2,3)平角C.平角D.eq\f(1,4)平角8.已知∠1＝27°18′，∠2＝27.18°，∠3＝27.3°，则下列说法正确的是（A）A.∠1＝∠3B.∠1＝∠2C.∠1＜∠2D.∠2＝∠39.计算：（1）12′＝0.2°或720″；（2）360″＝0.1°或6′；（3）57.18°＝57°10′48″.知识点3钟面角10.某校七年级在下午3：00开展“阳光体育”活动.下午3：00这一时刻，时钟上分针与时针所夹的小于平角的角等于90°.易错点1角的概念辨析有误11.下列说法正确的是（C）A.平角就是一条直线B.小于平角的是钝角C.平角的两条边在同一条直线上D.周角的终边与始边重合，所以周角的度数为0°易错点2角度换算时出错12.（1）把124.24°化为度、分、秒的形式为124°14′24″；（2）若把36°36′36″化成以度为单位，则结果为36.61°.中档题13.下列各式中，角度互化正确的是（D）A.63.5°＝63°50′B.23°12′36″＝23.48°C.18°18′18″＝18.33°D.22.25°＝22°15′14.【易错】一个20°的角放在10倍的放大镜下看是（A）A.20°B.2°C.200°D.无法判断15.如图，点O在直线AB上，则在此图中小于平角的角有（B）A.4个B.5个C.6个D.7个16.如图，有下列说法：①∠ECG和∠C是同一个角；②∠OGF和∠OGB是同一个角；③∠DOF和∠EOG是同一个角；④∠ABC和∠ACB是同一个角.其中正确的有（B）A.1个B.2个C.3个D.4个17.（通辽中考）4点10分，时针与分针所夹的小于平角的角为（B）A.55°B.65°C.70°D.以上结论都不对18.如图，写出符合下列条件的角（图中所有的角均指小于平角的角）.（1）能用一个大写字母表示的角；（2）以点A为顶点的角；（3）图中所有的角（可用简便方法表示）.解：（1）∠B，∠C.（2）∠CAD，∠BAD，∠BAC.（3）∠C，∠B，∠1，∠2，∠3，∠4，∠CAB.19.爸爸问小明：“一个方桌有四个角，如果锯掉一个角，还剩几个角？”小明回答：“还剩3个角.”并画出了如下图形.小明回答正确吗？若不正确，请说明理由，并画出图形.解：不正确，理由：除小明这种画法外还有如下两种画法，所以还剩3个或4个或5个角.画图如下：【变式】n边形剪去一个角，还剩（n－1）或n或（n＋1）个角.综合题20.【类比探究】有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点叫做角的顶点.如图所示，如果过角的顶点：（1）在角的内部作1条射线，那么图中一共有3个角；（2）在角的内部作2条射线，那么图中一共有6个角；（3）在角的内部作3条射线，那么图中一共有10个角；（4）在角的内部作n条射线，那么图中一共有eq\f(（n＋2）（n＋1）,2)个角.【变式】以直线l外一点P为端点，向直线l上的n（n>1）个点作射线，则以点P为顶点，以这些射线为边的角（小于180°）的个数为eq\f(n（n－1）,2).（用含有n的式子表示）

4.3.2角的比较与运算基础题知识点1角的比较1.在∠AOB的内部任取一点C，作射线OC，则一定存在（A）A.∠AOB＞∠AOCB.∠AOC＝∠BOCC.∠BOC＞∠AOCD.∠AOC＞∠BOC2.（佛山中考）比较两个角的大小，有以下两种方法（规则）：①用量角器度量两个角的大小，用度数表示，则角度大的角大；②构造图形，若一个角包含（或覆盖）另一个角，则这个角大.对于如图给定的∠ABC与∠DEF，用以上两种方法分别比较它们的大小.注：构造图形时，作示意图（草图）即可.解：第一种方法略.第二种方法如图所示：故∠DEF大.知识点2角的平分线3.（百色中考）如图，AM为∠BAC的平分线，下列等式错误的是（C）A.eq\f(1,2)∠BAC＝∠BAMB.∠BAM＝∠CAMC.∠BAM＝2∠CAMD.2∠CAM＝∠BAC4.如图所示，如果OC，OD是∠AOB的三等分线，那么OD是∠BOC的平分线，OC是∠AOD的平分线，∠AOC＝∠BOD＝∠DOC，∠BOD＝eq\f(1,3)∠AOB，∠AOD＝2∠BOD或∠DOC或∠COA.知识点3角的运算5.根据图形填空.（1）∠AOD＝∠DOC＋∠AOC＝∠DOB＋∠AOB＝∠AOB＋∠COD＋∠COB；（2）∠AOD－∠COD＝∠AOC；（3）∠DOB＝∠DOA－∠AOC＋∠BOC.6.如图，若∠AOB＝∠COD，则（C）A.∠1＞∠2B.∠1＜∠2C.∠1＝∠2D.∠1，∠2的大小不确定7.将一副直角三角尺按如图所示摆放，则图中∠ABC的度数是（B）A.120°B.135°C.145°D.150°8.如图所示，已知点O是直线AB上一点，∠1＝40°，OD平分∠BOC，则∠2的度数是（D）A.20°B.25°C.30°D.70°9.计算：（1）15°37′＋42°51′＝58°28′；（2）22°18′×5＝111°30′；（3）57.41°÷3＝19°8′12″.10.如图，已知∠AOB＝80°，∠AOC＝15°，OD是∠AOB的平分线，求∠DOC的度数.解：因为∠AOB＝80°，OD是∠AOB的平分线，所以∠AOD＝∠BOD＝40°.因为∠AOC＝15°，所以∠DOC＝∠AOD－∠AOC＝40°－15°＝25°.中档题11.（滨州中考）借助一副三角尺，你能画出下面哪个度数的角（B）A.65°B.75°C.85°D.95°12.如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，则下列结论正确的有（C）①AD平分∠BAE；②AF平分∠EAC；③AE平分∠DAF；④AF平分∠BAC；⑤AE平分∠BAC.A.4个B.3个C.2个D.1个13.【整体思想】如图所示，将一张长方形纸的一角斜折过去，使顶点A落在A′处，BC为折痕.若BD为∠A′BE的平分线，则∠CBD＝（B）A.80°B.90°C.100°D.70°14.如图，∠AOB＝∠COD＝90°，OE平分∠BOD.若∠AOD∶∠BOC＝5∶1，则∠COE的度数为（A）A.30°B.40°C.50°D.60°15.【整体思想】如图，OC，OD是∠AOB内的两条射线，OM平分∠AOC，ON平分∠DOB，∠AOB＝120°，∠MON＝80°，则∠COD＝40°.16.如图，∠BOA＝90°，OC平分∠BOA，OA平分∠COD，求∠BOD的度数.解：因为OC平分∠BOA，所以∠AOC＝eq\f(1,2)∠BOA.因为∠BOA＝90°，所以∠AOC＝eq\f(1,2)×90°＝45°.因为OA平分∠COD，所以∠AOD＝∠AOC＝45°.所以∠BOD＝∠BOA＋∠AOD＝90°＋45°＝135°.17.如图所示，已知∠AOC＝∠BOD＝100°，且∠AOB∶∠AOD＝2∶7，求∠BOC和∠COD的度数.解：设∠AOB和∠AOD分别为2x°，7x°，由题意，得2x＋100＝7x，解得x＝20.则∠AOB＝40°，∠AOD＝140°.所以∠BOC＝∠AOC－∠AOB＝60°，∠COD＝∠BOD－∠BOC＝40°.综合题18.已知在同一平面内，∠AOB＝90°，∠AOC＝60°.（1）【易错】∠COB＝30°或150°；（2）若OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，则∠DOE的度数为45°；（3）在（2）的条件下，将题目中的∠AOC＝60°改成∠AOC＝2α（α＜45°），其他条件不变，你能求出∠DOE的度数吗？若能，请写出求解过程；若不能，说明理由.解：需要分两种情况讨论：当OC在∠AOB内部时，如图1，因为OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，所以∠COD＝eq\f(1,2)∠BOC，∠COE＝eq\f(1,2)∠AOC.所以∠DOE＝∠COD＋∠COE＝eq\f(1,2)∠BOC＋eq\f(1,2)∠AOC＝eq\f(1,2)（90°－2α）＋eq\f(1,2)·2α＝45°；当OC在∠AOB外部时，如图2，因为OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，所以∠COD＝eq\f(1,2)∠BOC，∠COE＝eq\f(1,2)∠AOC.所以∠DOE＝∠COD－∠COE＝eq\f(1,2)∠BOC－eq\f(1,2)∠AOC＝eq\f(1,2)（90°＋2α）－eq\f(1,2)·2α＝45°.

4.3.3余角和补角基础题知识点1余角和补角的定义1.（梧州中考）已知∠A＝55°，则它的余角是（B）A.25°B.35°C.45°D.55°2.若两个角互补，则（D）A.这两个角都是锐角B.这两个角都是钝角C.这两个角一定是一个锐角，一个钝角D.以上答案都不对3.下列能与60°的角互余的角是（A）ABCD4.（昆明中考）如图，过直线AB上一点O作射线OC，∠BOC＝29°18′，则∠AOC的度数为150°42′.5.若∠1＝∠2，且∠1与∠2互余，则∠1＝∠2＝45°.6.一个角的补角是它的3倍，这个角的度数为多少？解：设这个角为x°，则这个角的补角为（180－x）°.依题意，得180－x＝3x.解得x＝45.答：这个角为45°.知识点2余角、补角的性质7.如图，如果∠AOB＝∠COD＝90°，那么∠1＝∠2，这是根据（C）A.直角都相等B.等角的余角相等C.同角的余角相等D.同角的补角相等8.已知∠α＝59°20′，若∠α与∠β互余，且∠β与∠γ互余，则∠γ的度数为59°20′.9.若∠α＝∠β，且∠α＋∠1＝180°，∠β＋∠2＝180°，则∠1与∠2的大小关系是相等.知识点3方向角10.如图，一艘轮船在O处同时测得小岛A，B的方向分别为北偏西30°和东北方向，则∠AOB的度数是（D）A.135°B.115°C.105°D.75°11.如图，根据点A，B，C，D，E在图中的位置填空.（1）射线OA表示东北方向；（2）射线OB表示北偏西30°；（3）射线OC表示南偏西60°；（4）射线OD表示正南方向；（5）射线OE表示南偏东50°.易错点1混淆互余和互补的概念而致错12.下列说法中正确的有③（填序号）.①钝角与锐角互补；②∠α的余角是90°－∠α；③∠β（0°<∠β<180°）的补角是180°－∠β；④若∠1＋∠2＋∠3＝90°，则∠1，∠2，∠3互余.易错点2找余角或补角时漏解13.如图，直线AB与CD相交于点O，且∠COE＝90°，则与∠EOA互余的角有∠COA，∠DOB.易错点3忽视方向线与方向角之间的关系14.（河北中考）已知岛P位于岛Q的正西方，由岛P，Q分别测得船R位于南偏东30°和南偏西45°方向上，符合条件的示意图是（D）ABCD中档题15.一个锐角的补角比它的余角大（C）A.45°B.60°C.90°D.120°16.如图所示，∠1>∠2，那么∠2与eq\f(1,2)（∠1－∠2）之间的关系是（B）A.互补B.互余C.和为45°D.和为22.5°17.（德州中考）如图，将一副三角尺按不同的位置摆放，下列方式中∠α与∠β互余的是（A）A.图1B.图2C.图3D.图418.【方程思想】一个角的余角比它的补角的eq\f(1,3)还少20°，则这个角的大小是75°.19.如图，O点是学校所在位置，A村位于学校南偏东42°方向，B村位于学校北偏东25°方向，C村位于学校北偏西65°方向，在B村和C村间的公路OE（射线）平分∠BOC.（1）求∠AOE的度数；（2）公路OE上的车站D相对于学校O的方位是什么？（以正北、正南方向为基准）解：（1）如图所示：因为A村位于学校南偏东42°方向，所以∠1＝42°.因为B村位于学校北偏东25°方向，所以∠4＝25°.所以∠AOB＝180°－∠1－∠4＝113°.因为C村位于学校北偏西65°方向，所以∠COM＝65°.所以∠BOC＝∠COM＋∠4＝90°.因为OE平分∠BOC，所以∠COE＝∠BOE＝45°.所以∠AOE＝∠AOB＋∠BOE＝113°＋45°＝158°.（2）∠EOM＝∠BOE－∠4＝20°，所以车站D相对于学校O的方位是北偏西20°.20.如图，O是直线AB上的一点，∠AOD＝∠BOD＝∠EOC＝90°，∠BOC∶∠AOE＝3∶1.（1）求∠COD的度数；（2）图中有哪几对角互为余角？（3）图中有哪几对角互为补角？解：（1）根据题意，得∠BOC＋∠AOE＝90°.因为∠BOC∶∠AOE＝3∶1，所以∠BOC＝eq\f(3,4)×90°＝67.5°.所以∠COD＝90°－67.5°＝22.5°.（2）∠COB与∠COD，∠COB与∠AOE，∠DOE与∠COD，∠DOE与∠AOE.（3）∠COB与∠COA，∠DOE与∠COA，∠AOE与∠EOB，∠COD与∠EOB，∠AOD与∠BOD，∠EOC与∠AOD，∠EOC与∠BOD.综合题21.【注重类比探究】如图1所示，将一副三角尺的直角顶点重合在点O处.（1）①∠AOD和∠BOC相等吗？说明理由；②∠AOC和∠BOD在数量上有何关系？说明理由；（2）若将等腰的三角尺绕点O旋转到如图2的位置.①∠AOD和∠BOC相等吗？说明理由；②∠AOC和∠BOD的以上关系还成立吗？说明理由.解：（1）①∠AOD＝∠BOC.理由略.②∠AOC和∠BOD互补.理由略.（2）①∠AOD＝∠BOC.理由略.②∠AOC和∠BOD互补.理由略.小专题（十三）角的计算类型1角平分线的有关计算（整体思想）【例】（教材P140习题T9变式）如图，已知∠AOB内部有三条射线OE，OC，OF，OE平分∠BOC，OF平分∠AOC.（1）若∠AOC＝30°，∠BOC＝60°，则∠EOF＝45°；（2）若∠AOC＝α，∠BOC＝β，则∠EOF＝eq\f(α＋β,2)；（3）若∠AOB＝θ，你能猜想出∠EOF与θ的关系吗？请说明理由.解：∠EOF＝eq\f(1,2)θ，理由：因为OE平分∠BOC，OF平分∠AOC，所以∠EOC＝eq\f(1,2)∠BOC，∠COF＝eq\f(1,2)∠AOC.所以∠EOF＝∠EOC＋∠COF＝eq\f(1,2)∠BOC＋eq\f(1,2)∠AOC＝eq\f(1,2)（∠BOC＋∠AOC）＝eq\f(1,2)∠AOB＝eq\f(1,2)θ.【变式1】若∠EOF＝γ，求∠AOB的度数.解：因为OE平分∠BOC，OF平分∠AOC，所以∠EOC＝eq\f(1,2)∠BOC，∠COF＝eq\f(1,2)∠AOC.所以∠EOF＝∠EOC＋∠COF＝eq\f(1,2)∠BOC＋eq\f(1,2)∠AOC＝eq\f(1,2)（∠BOC＋∠AOC）＝eq\f(1,2)∠AOB.因为∠EOF＝γ，所以∠AOB＝2γ.【变式2】若射线OC在∠AOB的外部如图所示位置，且∠AOB＝θ，OE平分∠BOC，OF平分∠AOC，则上述（3）中的结论还成立吗？请说明理由.解：∠EOF＝eq\f(1,2)θ成立.理由：因为OE平分∠BOC，OF平分∠AOC，所以∠EOC＝eq\f(1,2)∠BOC，∠COF＝eq\f(1,2)∠AOC.所以∠EOF＝∠COF－∠EOC＝eq\f(1,2)∠AOC－eq\f(1,2)∠BOC＝eq\f(1,2)（∠AOC－∠BOC）＝eq\f(1,2)∠AOB＝eq\f(1,2)θ.如图，当射线OC在∠AOB的内部或外部，OE平分∠BOC，OF平分∠AOC时，总有∠EOF＝eq\f(1,2)∠AOB.（∠AOB＋∠AOC≤180°）（∠AOB＋∠BOC≤180°）【拓展变式】若射线OC在∠AOB的外部如图所示位置，OE平分∠BOC，OF平分∠AOC，则∠EOF与∠AOB的数量关系是∠EOF＝180°－eq\f(1,2)∠AOB.1.如图，已知∠AOB内部有顺次的四条射线：OE，OC，OD，OF，OE平分∠AOC，OF平分∠BOD.（1）若∠AOB＝160°，∠COD＝40°，则∠EOF的度数为100°；（2）若∠AOB＝α，∠COD＝β，求∠EOF的度数；（3）从（1）、（2）的结果，你能看出什么规律吗？解：（2）因为OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，所以∠COE＝eq\f(1,2)∠AOC，∠DOF＝eq\f(1,2)∠BOD.所以∠EOF＝∠COE＋∠COD＋∠DOF＝eq\f(1,2)∠AOC＋∠COD＋eq\f(1,2)∠BOD＝eq\f(1,2)（∠AOC＋∠COD＋∠BOD）＋eq\f(1,2)∠COD＝eq\f(1,2)∠AOB＋eq\f(1,2)∠COD＝eq\f(1,2)α＋eq\f(1,2)β＝eq\f(1,2)（α＋β）.（3）若∠AOB内部有顺次的四条射线：OE，OC，OD，OF，OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，则∠EOF＝eq\f(1,2)（∠AOB＋∠COD）.类型2直接计算2.如图，点A，O，E在同一直线上，∠AOB＝40°，∠EOD＝28°46′，OD平分∠COE，求∠COB的度数.解：因为∠EOD＝28°46′，OD平分∠COE，所以∠COE＝2∠EOD＝2×28°46′＝57°32′.又因为∠AOB＝40°，所以∠COB＝180°－∠AOB－∠COE＝180°－40°－57°32′＝82°28′.3.已知∠AOB＝40°，OD是∠BOC的平分线.（1）如图1，当∠AOB与∠BOC互补时，求∠COD的度数；（2）如图2，当∠AOB与∠BOC互余时，求∠COD的度数.解：（1）因为∠AOB与∠BOC互补，所以∠AOB＋∠BOC＝180°.因为∠AOB＝40°，所以∠BOC＝180°－40°＝140°.因为OD是∠BOC的平分线，所以∠COD＝eq\f(1,2)∠BOC＝70°.（2）因为∠AOB与∠BOC互余，所以∠AOB＋∠BOC＝90°.因为∠AOB＝40°，所以∠BOC＝90°－40°＝50°.因为OD是∠BOC的平分线，所以∠COD＝eq\f(1,2)∠BOC＝25°.类型3方程思想4.一个角的补角加上10°后等于这个角的余角的3倍，求这个角.解：设这个角为x°，则它的余角为（90－x）°，补角为（180－x）°.根据题意，得180－x＋10＝3×（90－x）.解得x＝40.答：这个角为40°.5.如图，∠AOB，∠COB，∠COD的度数之比是2∶1∶3，且∠AOC＋∠DOB＝140°，求∠AOD的度数.解：设∠COB＝x°，则∠AOB＝2x°，∠COD＝3x°.根据题意，得x＋2x＋x＋3x＝140.解得x＝20.所以∠AOD＝2x°＋x°＋3x°＝6x°＝6×20°＝120°.6.如图，已知∠AOB＝eq\f(1,2)∠BOC，∠COD＝∠AOD＝3∠AOB，求∠AOB和∠COD的度数.解：设∠AOB＝x°，则∠COD＝∠AOD＝3∠AOB＝3x°.因为∠AOB＝eq\f(1,2)∠BOC，所以∠BOC＝2x°.因为∠BOC＋∠COD＋∠AOD＋∠AOB＝360°，所以2x＋3x＋3x＋x＝360.解得x＝40.所以∠AOB＝40°，∠COD＝120°.类型4分类讨论思想7.已知：如图，OC是∠AOB的平分线.（1）当∠AOB＝60°时，求∠AOC的度数；（2）在（1）的条件下，∠EOC＝90°，请在图中补全图形，并求∠AOE的度数；（3）当∠AOB＝α时，∠EOC＝90°，直接写出∠AOE的度数.（用含α的式子表示）解：（1）因为OC是∠AOB的平分线，所以∠AOC＝eq\f(1,2)∠AOB.因为∠AOB＝60°，所以∠AOC＝30°.（2）如图1，∠AOE＝∠EOC＋∠AOC＝90°＋30°＝120°；如图2，∠AOE＝∠EOC－∠AOC＝90°－30°＝60°.（3）90°＋eq\f(α,2)或90°－eq\f(α,2).类型5角的运动问题8.已知，点O是直线AB上的一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC.（1）如图1.①若∠AOC＝60°，则∠DOE的度数为30°；②若∠AOC＝α，则∠DOE的度数为eq\f(1,2)α（用含α的式子表示）；（2）将图1中的∠DOC绕点O顺时针旋转至图2的位置，试探究∠DOE和∠AOC的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由.解：∠DOE＝eq\f(1,2)∠AOC，理由如下：因为∠BOC＝180°－∠AOC，OE平分∠BOC，所以∠COE＝eq\f(1,2)∠BOC＝eq\f(1,2)（180°－∠AOC）＝90°－eq\f(1,2)∠AOC.所以∠DOE＝90°－∠COE＝90°－（90°－eq\f(1,2)∠AOC）＝eq\f(1,2)∠AOC.

小专题（十四）计数问题——教材P130习题T12的变式与应用【例】如图所示，直线AB上的点数与线段的总数有如下关系：当直线AB上有3个点时，线段总数共有3条；当直线AB上有4个点时，线段总数共有6条；当直线AB上有5个点时，线段总数共有10条……（1）当直线AB上有6个点时，线段总数共有15条；（2）当直线AB上有n个点时，线段总数共有eq\f(n（n－1）,2)条（用含n的式子表示）；（3）当n＝100时，线段总数共有多少条？解：当n＝100时，线段总数共有4950条.数线段时要掌握一定的方法和规律，必须做到不重不漏.一般方法是从左起第一个点数起，使第一个点和其右边的每一个点各组合一次，得到（n－1）条线段，然后再从左起第二个点数起，使它和它右边的每一个点各组合一次，得到（n－2）条线段，…，依次数下去，最后相加.若一条直线上有n个点，则线段的条数为（n－1）＋（n－2）＋（n－3）＋…＋2＋1＝eq\f(1,2)n（n－1）.1.下表反映了平面内直线条数与它们最多交点个数的对应关系：图形…直线条数234…最多交点个数13＝1＋26＝1＋2＋3…按此规律，6条直线相交，最多有15个交点；n条直线相交，最多有eq\f(n（n－1）,2)个交点.（n为正整数）2.已知：O为直线AB上的一点，画出射线OC（如图1），则图中有2个角（除平角外）；再画出射线OD（如图2），则图中有5个角（除平角外）；再画出射线OE（如图3），则图中有9个角（除平角外）；…，依此类推，图10中有65个角（除平角外）.3.为了探究n条直线能把平面最多分成几部分，我们从最简单的情形入手.①一条直线把平面分成2部分；②两条直线最多可把平面分成4部分；③三条直线最多可把平面分成7部分；④四条直线最多可把平面分成11部分；…把上述探究的结果进行整理，列表分析.直线条数最多把平面分成部分数写成和的形式121＋1241＋1＋2371＋1＋2＋34111＋1＋2＋3＋4………这样就能发现每增加一条直线就把平面多分成相应直线条数的部分.（1）当直线条数为5时，最多把平面分成为16部分，写成和的形式是1＋1＋2＋3＋4＋5；（2）当直线条数为10时，最多把平面分成56部分；（3）n条直线能把平面最多分成多少个部分？（用含n的式子表示）解：eq\f(1,2)n（n＋1）＋1.

4.4课题学习设计制作长方体形状的包装纸盒基础题知识点设计制作长方体形状的包装纸盒1.（漳州中考）如图是一个长方体包装盒，则它的平面展开图是（A）2.下列图形中，可以沿虚线折叠成长方体包装盒的有（1）（3）.中档题3.（宁波中考）下列四张正方形硬纸片，剪去阴影部分后，如果沿虚线折叠，可以围成一个封闭的长方体包装盒的是（C）4.如图是一个能折成长方体的模型，那么由它折成的长方体是下列图形中的（D）5.如图是一个食品包装盒的表面展开图.（1）请写出这个包装盒的多面体形状的名称；（2）请根据图中所标的尺寸，计算这个多面体的表面积和体积.解：（1）长方体.（2）表面积是4ab＋2b2，体积是ab2.6.如图所示是一个无盖的长方体纸盒的展开图，纸盒底面积为600cm2.（1）求纸盒的高为多少厘米；（2）展开图的周长为多少厘米？解：（1）