第五章 特殊平行四边形（单元重点综合测试）

第五章特殊平行四边形（单元重点综合测试）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．菱形ABCD中，若对角线AC＝8cm，BD＝6cm，则菱形ABCD的周长是（）A．25 B．20 C．15 D．102．（2024•重庆模拟）下列说法不正确的是（）A．矩形的对角线相等且互相平分B．菱形的对角线互相垂直平分C．正方形的对角线相等且互相平分D．平行四边形、矩形、菱形、正方形都是轴对称图形3．（2023•南开区三模）如图，在平面直角坐标系xOy中，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（3，0），（﹣2，0），点D在y轴上，则点C的坐标（）A．（﹣3，4） B．（﹣2，3） C．（﹣5，4） D．（5，4）4．（2024•鄞州区校级一模）如图，四边形ABCD与四边形CEFG都是正方形，连结AE，BD，DF，若已知五边形ABDFE的面积，则一定能求出的线段为（）A．CG B．BC C．AE D．DF5．（2024•榆阳区校级一模）如图，在矩形ABCD中，点O，M分别是AC，AD的中点，OM＝3，OB＝5，则AD的长为（）A．12 B．10 C．9 D．86．如图，在矩形ABCD中，R，P分别是AB，AD上的点，E，F分别是RP，PC的中点，当点P在AD上从点A向点D移动，而点R保持不动时，下列结论成立的是（）A．线段EF的长逐渐增大 B．线段EF的长逐渐减小C．线段EF的长不变 D．线段EF的长先增大后减小7．（2024•驿城区一模）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，连接OE．若OB＝6，菱形ABCD的面积为54，则OE的长为（）A．4 B．4.5 C．5 D．5.58．小明用正方形制作了一个七巧板如图1所示，又用这副七巧板拼成了一个平行四边形ABCD如图2，若正方形的对角线长是2，则该平行四边形的对角线的长是（）A． B． C． D．9．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点O作EF⊥AC交AD于点E，交BC于点F．已知AB＝4，△AOE的面积为5，则DE的长为（）A．2 B． C． D．310．（2023秋•福田区校级期末）如图，分别以△ABC的三边AB，BC，AC为边向外侧作正方形AFGB，正方形BHLC，正方形ACDE，连接EF，GH，DL，再过A作AK⊥BC于K，延长KA交EF于点M．①S正方形AFGB+S正方形ACDE＝S正方形BHLG；②EM＝MF；③2AM＝BC；④当AB＝3，BC＝5，∠BAC＝90°时，S阴影部分＝20，其中正确的结论共有（）个．A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）11．（2023秋•建邺区期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边长为2，∠DAO＝60°，则点C的坐标为．12．（2024•榆阳区校级一模）如图所示的地面由正六边形和菱形（所有菱形地砖都全等）两种地砖镶嵌而成，则∠BCD的度数为°．13．如图，矩形ABCD中，AB＝8，点E是AD上的一点，且DE＝4，CE的垂直平分线交CB的延长线于点F，交CD于点H，连接EF交AB于点G．若G是AB的中点，则BC的长是．14．（2024•禹州市一模）在矩形ABCD中，CD＝10，点E为AB的中点，点F在边AD上，且2AF＝DF．连接EF，FC和EC，若△CEF为直角三角形，则AD的长为．15．（2023秋•同安区期末）边长分别为3a和2a的两个正方形按如图的样式摆放，记图中阴影部分的面积为S1，没有阴影部分的面积为S2，则＝．16．（2024•市南区校级开学）如图，四个全等的直角三角形和一个小正方形EFGH组成了一个边长为9的大正方形ABCD，连接AF并延长交CD于点M，交DH于点K，作MN⊥FC于点N．若AH＝GH，则CM的长为．三、解答题（本大题共8小题，共66分）17．（6分）（2023秋•吉林期末）如图，某舞台的地面是由两个并排的正方形组成的，其中正方形ABCD的边长为a米，正方形ECGF的边长8米，现要求将图中阴影部分涂上油漆．（1）求出涂油漆部分的面积；（结果要求化简）（2）若所涂油漆的价格是每平方米60元，求当a＝4米时，所涂油漆的费用是多少元？18．（6分）（2024•槐荫区开学）如图，矩形ABCD中，过对角线BD的中点O作BD的垂线EF，分别交AD，BC于点E，F．证明：△BOF≌△DOE．19．（6分）如图，AC是菱形ABCD的一条对角线，点B在射线AE上．（1）请用尺规把这个菱形补充完整．（保留作图痕迹，不要求写作法）（2）若，∠CAB＝30°，求菱形ABCD的面积．20．（8分）（2024•大庆一模）如图，矩形ABCD中，点O是对角线AC的中点，过点O的直线分别交AD、BC边于点E、F，AF＝AE．（1）求证：四边形AFCE是菱形；（2）若BC＝8，AB＝6，求EF的长．21．（8分）（2023秋•合川区期末）如图，正方形ABCD中，E是BC边上一点，连接AE，以AE为边在AB右侧作正方形AEFH，连接AF，交CD于点N，连接EN．过点F作FG⊥BC交BC的延长线于点G．（1）求证：BE＝CG；（2）求证：BE+DN＝EN．22．（10分）（2024•朝阳区校级开学）如图，在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，连接BF，AC，且AD＝AF．（1）证明四边形ABFC为矩形；（2）若AB＝4，∠ABC＝60°，则EF的长为．23．（10分）（1）我们知道，正方形的四条边都相等，四个角都为直角．如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，连接AE，AF，EF，并延长CB到点G，使BG＝DF，连接AG．若∠EAF＝45°，猜想BE，EF，DF之间的数量关系并证明；（2）如图2，当点E在线段BC的延长线上，且∠EAF＝45°时，试探究BE，EF，DF之间的数量关系，并说明理由．24．（12分）在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，E、F是对角线AC上的两个动点，分别从A、C同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，其中0≤t≤10．（1）若G，H分别是AD，BC中点，则四边形EGFH一定是怎样的四边形（E、F相遇时除外）？答：；（直接填空，不用说理）（2）在（1）条件下，若四边形EGFH为矩形，求t的值；（3）在（1）条件下，若G向D点运动，H向B点运动，且与点E，F以相同的速度同时出发，若四边形EGFH为菱形，求t的值．

第五章特殊平行四边形（单元重点综合测试）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．菱形ABCD中，若对角线AC＝8cm，BD＝6cm，则菱形ABCD的周长是（）A．25 B．20 C．15 D．10【分析】首先根据菱形的性质可得AO＝AC，BO＝DB，AC⊥BD，AB＝CB＝CD＝AD，进而得到AO和BO的长，然后再利用勾股定理计算出AB长，再计算菱形的周长即可．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AO＝AC，BO＝DB，AC⊥BD，AB＝CB＝CD＝AD，∵AC＝8cm，BD＝6cm，∴AO＝4cm，BO＝3cm，∴AB＝＝5cm，∴菱形ABCD的周长是：5cm×4＝20cm，故选：B．2．（2024•重庆模拟）下列说法不正确的是（）A．矩形的对角线相等且互相平分B．菱形的对角线互相垂直平分C．正方形的对角线相等且互相平分D．平行四边形、矩形、菱形、正方形都是轴对称图形【分析】根据正方形的性质，菱形的性质，矩形的性质，轴对称图形，即可逐一判断．【解答】解：A．矩形的对角线相等且互相平分，故A正确，不符合题意；B．菱形的对角线互相垂直平分，故B正确，不符合题意；C．正方形的对角线相等且互相平分，故C正确，不符合题意；D．平行四边形不是轴对称图形，矩形、菱形、正方形都是轴对称图形，故D不正确确，符合题意．故选：D．3．（2023•南开区三模）如图，在平面直角坐标系xOy中，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（3，0），（﹣2，0），点D在y轴上，则点C的坐标（）A．（﹣3，4） B．（﹣2，3） C．（﹣5，4） D．（5，4）【分析】利用菱形的性质以及勾股定理得出DO的长，进而求出C点坐标．【解答】解：∵菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（3，0），（﹣2，0），点D在y轴上，∴AB＝5，∴DO＝4，∴点C的坐标是：（﹣5，4）．故选：C．4．（2024•鄞州区校级一模）如图，四边形ABCD与四边形CEFG都是正方形，连结AE，BD，DF，若已知五边形ABDFE的面积，则一定能求出的线段为（）A．CG B．BC C．AE D．DF【分析】连接CF，DE，过E作ET⊥AD于T，过D作DR⊥CG于R，作DP⊥CE于P，过B作BQ⊥DR于Q，交CE于S，根据正方形的性质和AAS证明△BCS与△DCR全等，进而利用全等三角形的性质解答即可．【解答】解：如图，连接CF，DE，过E作ET⊥AD于T，过D作DR⊥CG于R，作DP⊥CE于P，过B作BQ⊥DR于Q，交CE于S，设CB＝CD＝AD＝a，CG＝CE＝EF＝b，CS＝x，∵正方形ABCD，正方形CEFG，∴∠BCD＝90°＝∠ECG，∴∠BCS＝∠DCR，在△BCS与△DCR中，，∴△BCS≌△DCR（AAS），∴CR＝CS＝x，∴CP＝，∵cos∠NCD＝，∴CN＝，∴EN＝CE﹣CN＝b﹣，同理可得：，∴ET＝＝，∴PE＝CE﹣CP＝b﹣，∴五边形ABDFE的面积为：S△ABD+S△AED+S△FED＝＝，∵五边形ABDFE的面积是定值，∴b可以求解，即CG可以求解，故选：A．5．（2024•榆阳区校级一模）如图，在矩形ABCD中，点O，M分别是AC，AD的中点，OM＝3，OB＝5，则AD的长为（）A．12 B．10 C．9 D．8【分析】依据题意，可得OM是△ADC的中位线，从而CD＝2OM＝6，又OB是Rt△ABC的斜边AC边上的中线，可得AC＝2OB＝10，进而在Rt△ABC中，AB＝CD＝6，再利用勾股定理可以得解．【解答】解：由题意，∵点O、M分别是AC、AD的中点，∴OM是△ADC的中位线．∴CD＝2OM＝6．又OB是Rt△ABC的斜边AC边上的中线，∴AC＝2OB＝10．在Rt△ABC中，AB＝CD＝6，∴由勾股定理可得：BC＝＝8，∴AD＝BC＝8，故选：D．6．如图，在矩形ABCD中，R，P分别是AB，AD上的点，E，F分别是RP，PC的中点，当点P在AD上从点A向点D移动，而点R保持不动时，下列结论成立的是（）A．线段EF的长逐渐增大 B．线段EF的长逐渐减小C．线段EF的长不变 D．线段EF的长先增大后减小【分析】如图，连接CR，先说明明CR的长度是定值，再证明EF＝CR，可得EF的长度是定值，从而可得答案．【解答】解：如图，连接CR，∵在矩形ABCD中，R，P分别是AB，AD上的点，当点P在AD上从点A向点D移动，而点R保持不动时，∴CR的长度是定值，∵E，F分别是RP，PC的中点，∴EF＝CR，∴EF的长度是定值．故选：C．7．（2024•驿城区一模）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，连接OE．若OB＝6，菱形ABCD的面积为54，则OE的长为（）A．4 B．4.5 C．5 D．5.5【分析】由菱形的性质得出BD＝12，由菱形的面积得出AC＝9，再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出结果．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC，OB＝OD＝BD，BD⊥AC，∴BD＝2OB＝12，∵S菱形ABCD＝AC•BD＝54，∴AC＝9，∵AE⊥BC，∴∠AEC＝90°，∴OE＝AC＝4.5，故选：B．8．小明用正方形制作了一个七巧板如图1所示，又用这副七巧板拼成了一个平行四边形ABCD如图2，若正方形的对角线长是2，则该平行四边形的对角线的长是（）A． B． C． D．【分析】过C作CF⊥AB交AB延长线于F，根据图1正方形的对角线为2，知图1正方形的边长为，可求出BF＝CF＝＝1，AF＝AB+BF＝3，再用勾股定理可得答案．【解答】解：过C作CF⊥AB交AB延长线于F，如图：∵图1正方形的对角线为2，∴图1正方形的边长为，∴图2中，AD＝BC＝，根据图1知，图2中∠DBC＝90°，∠DBA＝45°，∴∠CBF＝45°，∴△CBF是等腰直角三角形，∴BF＝CF＝＝1，∵AB＝2，∴AF＝AB+BF＝3，∴AC＝＝＝；故选：B．9．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点O作EF⊥AC交AD于点E，交BC于点F．已知AB＝4，△AOE的面积为5，则DE的长为（）A．2 B． C． D．3【分析】连接CE，由题意可得OE为对角线BD的垂直平分线，可得AE＝CE，S△BOE＝S△COE＝5，由三角形的面积则可求得DE的长，得出AE的长，然后由勾股定理求得答案．【解答】解：如图，连接CE，由题意可得，OE为对角线AC的垂直平分线，∴AE＝CE，S△AOE＝S△COE＝5，∴S△ACE＝2S△COE＝10．∴AE•CD＝10，∵CD＝4，∴AE＝EC＝5，在Rt△CDE中，由勾股定理得：DE＝＝3．故选：D．10．（2023秋•福田区校级期末）如图，分别以△ABC的三边AB，BC，AC为边向外侧作正方形AFGB，正方形BHLC，正方形ACDE，连接EF，GH，DL，再过A作AK⊥BC于K，延长KA交EF于点M．①S正方形AFGB+S正方形ACDE＝S正方形BHLG；②EM＝MF；③2AM＝BC；④当AB＝3，BC＝5，∠BAC＝90°时，S阴影部分＝20，其中正确的结论共有（）个．A．1 B．2 C．3 D．4【分析】①运用正方形性质和勾股定理即可判断结论①不正确；②过点E作ER⊥AK于R，过点F作FT⊥AK于T，可证得△AER≌△CAK（AAS），△EMR≌△FMT（AAS），即可判断结论②正确；③过点E作EJ∥AF交AM的延长线于J，可证得△MEJ≌△MFA（AAS），△AEJ≌△CAB（SAS），即可判断结论③正确；④分别过点A、G、D作AP⊥BH于P，AK⊥BC于K，AN⊥CL于N，GQ⊥BH于Q，DM⊥CL于M，运用全等三角形的判定和性质可证得GQ＝BP＝AK，DM＝CN＝AK，再运用面积法可得AK＝＝＝，再利用S阴影部分＝S△AEF+S△BGH+S△CDL，即可判断结论④错误．【解答】解：①由正方形的性质可得：S正方形AFGB+S正方形ACDE＝AB2+AC2，S正方形BHLC＝BC2，∵∠BAC不一定是直角，∴AB2+AC2＝BC2不一定成立，故结论①不正确；②如图，过点E作ER⊥AK于R，过点F作FT⊥AK于T，则∠ERA＝∠ATF＝90°，∴∠EAR+∠AER＝90°，∵四边形ACDE是正方形，∴AC＝AE，∠CAE＝90°，∴∠EAR+∠CAK＝90°，∴∠AER＝∠CAK，在△AER和△CAK中，，∴△AER≌△CAK（AAS），∴ER＝AK，同理可得：FT＝AK，∴ER＝FT，在△EMR和△FMT中，，∴△EMR≌△FMT（AAS），∴EM＝MF，故结论②正确；③如图，过点E作EJ∥AF交AM的延长线于J，则∠AEJ+∠EAF＝180°，∠MEJ＝∠MFA，在△MEJ和△MFA中，，∴△MEJ≌△MFA（AAS），∴EJ＝AF＝AB，MJ＝MA，∴AJ＝2AM，∵∠BAF＝∠CAE＝90°，∴∠BAC+∠EAF＝180°，∴∠AEJ＝∠BAC，在△AEJ和△CAB中，，∴△AEJ≌△CAB（SAS），∴AJ＝BC，∴2AM＝BC，故结论③正确；④∵AB＝3，BC＝5，∠BAC＝90°，∴AC＝＝＝4，如图，分别过点A、G、D作AP⊥BH于P，AK⊥BC于K，AN⊥CL于N，GQ⊥BH于Q，DM⊥CL于M，同理可得GQ＝BP＝AK，DM＝CN＝AK，∵BC•AK＝AB•AC，∴AK＝＝＝，∴S阴影部分＝S△AEF+S△BGH+S△CDL＝×3×4+×5×+×5×＝18，故结论④错误；故选：B．二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）11．（2023秋•建邺区期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边长为2，∠DAO＝60°，则点C的坐标为．【分析】过点C作CE⊥x轴，CF⊥y轴，证明△AOD≌△DFC即可求出CE，CF，进而得到点C的坐标．【解答】解：过点C作CE⊥x轴，CF⊥y轴，如图：∵正方形ABCD的边长为2，∠DAO＝60°，∴∠ADO＝30°，∴AO＝1，DO＝，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠ADC＝90°，∴∠ADO＝∠DCF，∴△AOD≌△DFC（AAS），∴AO＝DF＝1，DO＝CF＝，∴CE＝1+，∴点C的坐标为：（，1+）．故答案为：（，1+）．12．（2024•榆阳区校级一模）如图所示的地面由正六边形和菱形（所有菱形地砖都全等）两种地砖镶嵌而成，则∠BCD的度数为°．【分析】根据正六边形内角和定理，求出每个内角度数，然后根据邻补角求出答案．【解答】解：正六边形内角和（6﹣2）×180°＝720°，所以每个内角度数720°÷6＝120°，∴∠BCD＝180°﹣120°＝60°．故答案为：60．13．如图，矩形ABCD中，AB＝8，点E是AD上的一点，且DE＝4，CE的垂直平分线交CB的延长线于点F，交CD于点H，连接EF交AB于点G．若G是AB的中点，则BC的长是．【分析】证明△AEG≌△BFG（ASA），根据全等三角形对应边相等可得AE＝BF，EG＝FG，设AE＝x，表示出CF，再利用勾股定理列式求EG，然后表示出EF，再根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得CF＝EF，然后列出方程求出x的值，从而求出AD，再根据矩形的对边相等可得BC＝AD．【解答】解：∵矩形ABCD中，G是AB的中点，AB＝8，∴AG＝BG＝×8＝4，在△AEG和△BFG中，，∴△AEG≌△BFG（ASA），∴AE＝BF，EG＝FG，设AE＝x，则CF＝BC+BF＝AD+BF＝4+x+x＝4+2x，在Rt△AEG中，EG＝＝，∴EF＝2，∵FH垂直平分CE，∴CF＝EF，∴4+2x＝2，解得：x＝3，∴AD＝AE+DE＝4+3＝7，∴BC＝AD＝7．故答案为：7．14．（2024•禹州市一模）在矩形ABCD中，CD＝10，点E为AB的中点，点F在边AD上，且2AF＝DF．连接EF，FC和EC，若△CEF为直角三角形，则AD的长为．【分析】根据矩形的性质得出∠A＝∠B＝∠D＝90°，进而利用勾股定理得出方程解答即可．【解答】解：如图，∵矩形ABCD，∴AB＝CD＝10，∠A＝∠B＝∠D＝90°，设DF＝2x，AF＝x，则AD＝BC＝3x，∵点E为AB的中点，∴AE＝EB＝5，由勾股定理可得，EF2＝AF2+AE2＝x2+52，CE2＝BC2+BE2＝（3x）2+52，CF2＝CD2+DF2＝102+（2x）2，∵△CEF为直角三角形，∴EF2+CE2＝CF2，即x2+52+（3x）2+52＝102+（2x）2，解得：，（舍去），∴AD＝3x＝5，故答案为：5．15．（2023秋•同安区期末）边长分别为3a和2a的两个正方形按如图的样式摆放，记图中阴影部分的面积为S1，没有阴影部分的面积为S2，则＝．【分析】结合图形，发现：阴影部分的面积＝正方形的面积﹣没有阴影部分的面积，没有阴影部分的面积＝直角三角形的面积，代入求值即可．【解答】解：根据图形可知：没有阴影部分的面积为S2＝•3a•（3a+2a）＝a2，阴影部分的面积为S1＝3a•3a+2a•2a﹣S2＝13a2﹣a2＝a2，∴＝＝．故答案为：．16．（2024•市南区校级开学）如图，四个全等的直角三角形和一个小正方形EFGH组成了一个边长为9的大正方形ABCD，连接AF并延长交CD于点M，交DH于点K，作MN⊥FC于点N．若AH＝GH，则CM的长为．【分析】利用正方形的性质及四个全等的直角三角形得到AE∥CG，进而得到MF＝MC；设MF＝MC＝x，在Rt△ADM中利用勾股定理建立方程求得x的值即可．【解答】解：∵四边形EFGH是正方形，∴HE＝HG＝GF＝EF，AH∥GF，∵AH＝GH，∴AH＝HE＝GF＝EF，由题意得：Rt△ABE≌Rt△BCF≌Rt△ADH≌Rt△CDG，∴BE＝CF＝AH＝DG，∠BAE＝∠DCG，∴BE＝EF＝GF＝FC＝，∵AE⊥BF，∴AB＝AF＝9，∴∠BAE＝∠FAE，∴∠DCG＝∠FAE，∵AB2＝AE2+BE2∴AE＝CG，∵AE∥CG，∴∠FAE＝∠GFK，∵∠GFK＝∠CFM，∴∠CFM＝∠DCG∴MF＝MC，又∵MN⊥FC于点N，∴Rt△MFN≌Rt△MCN，∴CN＝FN＝CF，设MF＝MC＝x，则AM＝9+x，DM＝9﹣x，由勾股定理得：92+（9﹣x）2＝（9+x）2，解得x＝，则CM＝，故答案为：．三、解答题（本大题共8小题，共66分）17．（6分）（2023秋•吉林期末）如图，某舞台的地面是由两个并排的正方形组成的，其中正方形ABCD的边长为a米，正方形ECGF的边长8米，现要求将图中阴影部分涂上油漆．（1）求出涂油漆部分的面积；（结果要求化简）（2）若所涂油漆的价格是每平方米60元，求当a＝4米时，所涂油漆的费用是多少元？【分析】（1）根据正方形的面积公式计算即可；（2）求出图形的面积，乘以60元，即可得到结论．【解答】解：（1）阴影部分的面积为a2+82﹣[a2+×8×（a+8）]＝a2+64﹣[a2+4a+32]＝a2+64﹣a2﹣4a﹣32＝a2﹣4a+32；（2）当a＝4时，a2﹣4a+32＝×42﹣4×4+32＝24，则所涂油漆费用＝24×60＝1440（元）．18．（6分）（2024•槐荫区开学）如图，矩形ABCD中，过对角线BD的中点O作BD的垂线EF，分别交AD，BC于点E，F．证明：△BOF≌△DOE．【分析】根据ABCD是矩形推出AD∥BC，得到∠EDO＝∠FBO，根据O是BD的中点推出OB＝OD，结合∠EOD＝∠FOB＝90°，用ASA判定△BOF≌△DOE即可得证．【解答】证明：∵ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠EDO＝∠FBO，∵O是BD的中点，∴OB＝OD，又∵∠EOD＝∠FOB＝90°，∴△BOF≌△DOE（ASA）．19．（6分）如图，AC是菱形ABCD的一条对角线，点B在射线AE上．（1）请用尺规把这个菱形补充完整．（保留作图痕迹，不要求写作法）（2）若，∠CAB＝30°，求菱形ABCD的面积．【分析】（1）根据菱形的性质作出图形即可；（2）根据菱形的性质和直角三角形的性质即可得到结论．【解答】解：（1）如图所示；（2）设BD，AC交于O，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO＝CO＝AC＝3，∵∠CAB＝30°，∴BO＝AO＝3，∴BD＝2BO＝6，∴菱形ABCD的面积＝＝＝18．20．（8分）（2024•大庆一模）如图，矩形ABCD中，点O是对角线AC的中点，过点O的直线分别交AD、BC边于点E、F，AF＝AE．（1）求证：四边形AFCE是菱形；（2）若BC＝8，AB＝6，求EF的长．【分析】（1）根据矩形的性质，利用ASA证明△AOE≌△COF，得到AE＝CF，得到四边形是平行四边形，再根据AF＝AE，即可得证；（2）勾股定理求出AC的长，设CF＝AF＝x，则BF＝8﹣x，在Rt△ABF中，利用勾股定理求出x的值，再根据菱形的性质结合勾股定理进行求解即可．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥CF，∴∠DAC＝∠BCA，∵O是对角线AC的中点，∴OA＝OC，又∵∠AOE＝∠COF，∴△AOE≌△COF（ASA），∴AE＝CF，又∵AE∥CF，∴四边形AFCE是平行四边形，又∵AF＝AE，∴▱AFCE是菱形；（2）解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，在Rt△ABC中，∵AB＝6，BC＝8，∴，∴．∵四边形AFCE是菱形，∴CF＝AF，EF⊥AC，EF＝2OF，∴∠COF＝90°，令CF＝AF＝x，则BF＝8﹣x，在Rt△ABF中，∵AB2+BF2＝AF2，∴62+（8﹣x）2＝x2，解得，即，∴，∴．21．（8分）（2023秋•合川区期末）如图，正方形ABCD中，E是BC边上一点，连接AE，以AE为边在AB右侧作正方形AEFH，连接AF，交CD于点N，连接EN．过点F作FG⊥BC交BC的延长线于点G．（1）求证：BE＝CG；（2）求证：BE+DN＝EN．【分析】（1）根据正方形的性质先证明△ABE≌△EGF，得出AB＝EG＝BC即可得证；（2）延长EB至点M，使得BM＝DN，连接AM，先证明△ABM≌△ADN，再证明△MAE≌△NAE即可求解．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD和四边形AEFH是正方形，∴AE＝EF，∠B＝∠AEF＝90°，∴∠BAE+∠AEB＝∠AEB+∠GEF，∴∠BAE＝∠GEF，∵FG⊥BC，∴∠G＝90°＝∠B，∴△ABE≌△EGF（AAS），∴AB＝EG＝BC，∴BE＝CG；（2）延长EB至点M，使得BM＝DN，连接AM，如图：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠ABM＝∠D＝90°，∴△ABM≌△ADN（SAS），∴AM＝AN，∠MAB＝∠NAD，∵四边形AEFH是正方形，∴∠EAN＝45°，∴∠BAE+∠NAD＝45°＝∠MAB+∠BAE＝∠MAE，∴∠MAE＝∠EAN，∵AE＝AE，∴△MAE≌△NAE（SAS），∴ME＝NE，∵ME＝MB+BE，∴EN＝MB+BE＝DN+BE．22．（10分）（2024•朝阳区校级开学）如图，在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，连接BF，AC，且AD＝AF．（1）证明四边形ABFC为矩形；（2）若AB＝4，∠ABC＝60°，则EF的长为．【分析】（1）利用AAS判定△ABE≌△FCE，从而得到AB＝CF；由已知可得四边形ABFC是平行四边形，BC＝AF，根据对角线相等的平行四边形是矩形，可得到四边形ABFC是矩形；（2）先证△ABE是等边三角形，可得AB＝AE＝EF＝4．【解答】解：（1）四边形ABFC是矩形，理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠BAE＝∠CFE，∠ABE＝∠FCE，∵E为BC的中点，∴EB＝EC，在△ABE和△FCE中，，∴△ABE≌△FCE（AAS），∴AB＝CF．∵AB∥CF，∴四边形ABFC是平行四边形，∵AD＝BC，AD＝AF，∴BC＝AF，∴四边形ABFC是矩形．（2）∵四边形ABFC是矩形，∴BC＝AF，AF＝EF，BE＝CE，∴AE＝BE，∵∠ABC＝60°，∴△ABE是等边三角形，∴AB＝AE＝4，∴EF＝4．故答案为：4．23．（10分）（1）我们知道，正方形的四条边都相等，四个角都为直角．如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，连接AE，AF，EF，并延长CB到点G，使BG＝DF，连接AG．若∠EAF＝45°，猜想BE，EF，DF之间的数量关系并证明；（2）如图2，当点E在线段BC的延长线上，且∠EAF＝45°时，试探究BE，EF，DF之间的数量关系，并说明理由．【分析】（1）由正方形性质可得AD＝AB，∠ABG＝∠ADF＝90°，可证得△ADF≌△ABG（SAS），△AGE≌△AFE（SAS），即可证得结论；（2）在BC上截取BG＝DF，连接AG．可证得△ADF≌△ABG（SAS），△AGE≌△AFE（SAS），即可证得结论．【解答】解：（1）EF＝BE+DF．理由如下：如图1，∵四边形ABCD为正方形，∴AD＝AB，∠ABG＝∠ADF＝90°，在△ADF和△ABG中，，∴△ADF≌△ABG（SAS），∴AF＝AG，∠DAF＝∠BAG，∵四边形ABCD为正方形，∴∠BAD＝90°，∵∠EAF＝45°，∴∠BAE+∠DAF＝45°，∴∠BAG+∠BAE＝45°＝∠EAF，∴∠GAE＝∠EAF＝45°，在△AGE和△A