第十一章 反比例函数（4类压轴题专练）

第十一章反比例函数（4类压轴题专练）题型一反比例函数与全等综合1．如图，点在反比例函数的图象上，点在轴上，且，直线与双曲线交于点，则（n为正整数）的坐标是（

）A． B． C． D．2．两个反比例函数，在第一象限内的图像如图所示，点、、……反比例函数图像上，它们的横坐标分别是、、……，纵坐标分别是1，3，5，…，共2020个连续奇数，过点、、……分别作轴的平行线，与反比例函数的图像交点依次是、、……，则等于（

）A．2019.5 B．2020.5 C．2019 D．40393．如图，点为反比例函数（，）上的一点，点为轴负半轴上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转，点的对应点为点．若点恰好也在反比例函数的图像上，且点的横坐标是点横坐标的两倍，则的值为（

）A． B． C． D．4．如图，在平面直角坐标系中，等边三角形的一条边轴于点B，经过点A的反比例函数（，）的图象交于点D，连结，，若点D是中点，的面积为3，则k的值为__________________．题型二反比例函数中k的应用5．如图，在轴正半轴上依次截取OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝An－1An，过点A1、A2、A3、…、An分别作轴的垂线，与反比例函数(＞0)交于点P1、P2、P3、…、Pn，连接P1P2、P2P3、…、Pn－1Pn，过点P2、P3、…、Pn分别向P1A1、P2A2、…、Pn－1An－1作垂线段，构成的一系列直角三角形(图中阴影部分)的面积和等于（

）A．2 B． C．2n+1 D．6．如图，在轴的正半轴上依次截取，过点分别作轴的垂线与反比例函数的图象相交于点，得直角三角形，并设其面积分别为，则的值为（

）

A． B． C． D．7．如图，在轴正半轴上依次截取，过点、、、……分别作轴的垂线，与反比例函数交于点、、、…、，连接、、…，，过点、、…、分别向、、…、作垂线段，构成的一系列直角三角形（图中阴影部分）的面积和等于（

）.A． B． C． D．题型三反比例函数与特殊平行四边形结合8．（1）如图，已知点、在双曲线上，轴与，轴于点，与交于点，是的中点，点的横坐标为2．与的坐标分别为____、______（用表示），由此可以得与的数量关系是____．（2）四边形的四个顶点分别在反比例函数与的图象上，对角线轴，且于点，是的中点，点的横坐标为6．①当，时，判断四边形的形状并说明理由．②若四边形为正方形，直接写出此时，之间的数量关系．

9．如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，与反比例函数的图象交于点，．

(1)求一次函数和反比例函数表达式；(2)点为轴正半轴上一点，当的面积为9时，求点的坐标；(3)在（2）的条件下，将直线向上平移，平移后的直线交反比例函数图象于点，交轴于点，点为平面直角坐标系内一点，若以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点的坐标；并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程．10．如图，反比例函数的图象经过点A，点A的横坐标是，点A关于坐标原点O的对称点为点B，作直线．

(1)判断点B是否在反比例函数的图象上，并说明理由；(2)如图1，过坐标原点O作直线交反比例函数的图象于点C和点D，点C的横坐标是4，顺次连接，，和．求证：四边形是矩形；(3)已知点P在x轴的正半轴上运动，点Q在平面内运动，当以点O，B，P和Q为顶点的四边形为菱形时，请直接写出此时点P的坐标．11．如图1，在平面直角坐标系中，反比例函数（k为常数，且，）的图像经过点两点．(1)m与n的数量关系是(

)A． B． C． D．(2)如图2，若点A绕x轴上的点P顺时针旋转，恰好与点B重合．①求点P的坐标及反比例函数的表达式；②连接、，则的面积为_____；(3)若点M在反比例函数的图像上，点N在y轴上，在（2）的条件下，是否存在以A、B、M、N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标，若不存在，请说明理由．题型四反比例函数与一次函数结合12．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于B，与x轴交于A，与y轴交于C．

(1)若点．①求一次函数和反比例函数的解析式；②在y轴上取一点P，当的面积为5时，求点P的坐标；(2)过点B作轴于点D，点E为中点，线段交y轴于点F，连接．若的面积为11，求k的值．13．如图，已知直线与反比例函数的图象分别交于点A和点B，与x轴交于点C，与y轴交于点D．

(1)如图1，当点A坐标为时，①求直线的解析式：②若点P是反比例函数在第一象限直线上方一点，当面积为2时，求点P的坐标；

第十一章反比例函数（4类压轴题专练）答案全解全析题型一反比例函数与全等综合1．如图，点在反比例函数的图象上，点在轴上，且，直线与双曲线交于点，则（n为正整数）的坐标是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求出的坐标，由题意容易得到为等腰直角三角形，即可得到，然后过作交y轴于H，，通过反比例函数解析式可求出x，从而能够得到，再同样求出，即可发现规律．【详解】解：联立，解得，∴，，由题意可知，∵，∴为等腰直角三角形，∴，过作交y轴于H，则容易得到，设，则，∴，解得，（舍），∴，，∴，用同样方法可得到，因此可得到，即故选：D．【点睛】本题考查了反比例函数的性质，属于规律问题，求出是解题的关键．2．两个反比例函数，在第一象限内的图像如图所示，点、、……反比例函数图像上，它们的横坐标分别是、、……，纵坐标分别是1，3，5，…，共2020个连续奇数，过点、、……分别作轴的平行线，与反比例函数的图像交点依次是、、……，则等于（

）A．2019.5 B．2020.5 C．2019 D．4039【答案】A【分析】主要是找规律，找出规律即可求出本题答案，先根据已知条件求出分别为1、3、5时的值，即可求出当时的值，再将其代入中即可求出．【详解】解：当时，、、…分别为6、2、…将、、…代入，得：、、…，故选：A．3．如图，点为反比例函数（，）上的一点，点为轴负半轴上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转，点的对应点为点．若点恰好也在反比例函数的图像上，且点的横坐标是点横坐标的两倍，则的值为（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】首先可证得，得出，，再得出点的横坐标，进而得出点的纵坐标，再利用，求出点B的纵坐标，进而得出点的横坐标，最后根据，建立方程求解即可得出结论．【详解】解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点，

，，由旋转知，，，，，，，，点的横坐标是点横坐标的两倍，且点，点，点在反比例函数的图象上，，，，，，，点在反比例函数的图象上，，，，，，，故选：B．【点睛】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，构造出是解本题的关键．4．如图，在平面直角坐标系中，等边三角形的一条边轴于点B，经过点A的反比例函数（，）的图象交于点D，连结，，若点D是中点，的面积为3，则k的值为__________________．

【答案】【分析】利用反比例函数的几何意义，表示出点A的坐标的关系，利用的面积，求出点A的坐标的积，从而求出答案．【详解】解：如下图，过C作、轴，作轴，

设点，∴，，∵为等边三角形且，∴，，∴矩形中，，∵D是中点，∴DE=14b，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了反比例函数的几何意义的应用，等边三角形的“三线合一”和中位线的应用是解题的关键．题型二反比例函数中k的应用5．如图，在轴正半轴上依次截取OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝An－1An，过点A1、A2、A3、…、An分别作轴的垂线，与反比例函数(＞0)交于点P1、P2、P3、…、Pn，连接P1P2、P2P3、…、Pn－1Pn，过点P2、P3、…、Pn分别向P1A1、P2A2、…、Pn－1An－1作垂线段，构成的一系列直角三角形(图中阴影部分)的面积和等于（

）A．2 B． C．2n+1 D．【答案】B【分析】由OA1=A1A2=A2A3=…=An－1An=1可知P1点的坐标为（1，y1），P2点的坐标为（2，y2），P3点的坐标为（3，y3），…，Pn点的坐标为（n，yn），把x=1，x=2，x=3代入反比例函数的解析式即可求出y1、y2、y3、…、yn的值，再由三角形的面积公式可得出S1、S2、S3、…、Sn－1的值，故可得出结论．【详解】设OA1=A1A2=A2A3=…=An－1An=1，∴设P1（1，y1），P2（2，y2），P3（3，y3），…，Pn（n，yn）∵P1，P2，P3，…，Pn在反比例函数y=（x＞0）的图象上，，，，…，．∴，，，……，∴．故选B．【点睛】考查的是反比例函数综合题，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．6．如图，在轴的正半轴上依次截取，过点分别作轴的垂线与反比例函数的图象相交于点，得直角三角形，并设其面积分别为，则的值为（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】根据反比例函数中的几何意义再结合图象即可解答．【详解】解：因为过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，S=|k|=1又因为OA₁=A₁A₂=A₂A₃=A₃A4=…所以S₁=1，S₂=S₁=，S₃=S₁=，S4=S₁=S5=S₁=…依次类推：Sn=S₁=当n=2018时，S2018=故选：A【点睛】本题考查反比例函数图象的性质及直角三角形的面积，根据反比例函数中的几何意义求面积是解题的关键．7．如图，在轴正半轴上依次截取，过点、、、……分别作轴的垂线，与反比例函数交于点、、、…、，连接、、…，，过点、、…、分别向、、…、作垂线段，构成的一系列直角三角形（图中阴影部分）的面积和等于（

）.A． B． C． D．【答案】B【分析】由可设点的坐标为（1，），点的坐标为（1，），点的坐标为（1，）…点的坐标为（1，），把x=1，x=2，x=3代入反比例函数的解析式即可求出的值，再由三角形的面积公式可以得出…的值，即可得出答案.【详解】∵∴设（1，），（1，），（1，）…（1，）∵、、、…、在反比例函数的图像上∴∴∴∵∴…∴因此答案选择B.【点睛】本题考查的是反比例函数综合题，熟知反比例函数图像上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键.题型三反比例函数与特殊平行四边形结合8．（1）如图，已知点、在双曲线上，轴与，轴于点，与交于点，是的中点，点的横坐标为2．与的坐标分别为、（用表示），由此可以得与的数量关系是．（2）四边形的四个顶点分别在反比例函数与的图象上，对角线轴，且于点，是的中点，点的横坐标为6．①当，时，判断四边形的形状并说明理由．②若四边形为正方形，直接写出此时，之间的数量关系．【答案】（1），，；（2）①菱形，理由见解析；②【分析】（1）利用待定系数法解决问题即可．（2）①先确定出点，坐标，再利用待定系数法即可得出结论，确定出点，，坐标，进而求出，，即可得出结论；②先确定出，，进而求出点的坐标，再求出，坐标，最后用，即可得出结论．【详解】解：（1）轴于，轴于点，，由题意得，，，，，，故答案为：，，．（2）①当时，，点的坐标为；当时，，，点为线段的中点，设，则，，，，，，，，点的坐标为，，四边形为平行四边形．又，四边形为菱形．②四边形能成为正方形．当四边形为正方形时，设．，当时，，点的坐标为，点的坐标为．点在反比例函数的图象上，，解得：或（舍去），点的纵坐标为，点的坐标为，，整理得：．即四边形能成为正方形，此时．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，掌握菱形的判定以及正方形的性质是解题的关键．9．如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，与反比例函数的图象交于点，．

(1)求一次函数和反比例函数表达式；(2)点为轴正半轴上一点，当的面积为9时，求点的坐标；(3)在（2）的条件下，将直线向上平移，平移后的直线交反比例函数图象于点，交轴于点，点为平面直角坐标系内一点，若以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点的坐标；并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程．【答案】(1)，(2)(3)点坐标为或或，见解析【分析】（1）先确定点坐标，再由待定系数法求函数的解析式即可；（2）设，，则，再由，求出的值即可求点坐标；（3）先求平移后的直线解析式为，则，设，根据平行四边形对角线的情况分三种情况讨论即可．【详解】（1）点，在反比例函数图象上，，解得，，反比例函数的解析式为；设一次函数的解析式为，，解得，一次函数的解析式为；（2）直线与轴的交点，设，，，，，解得，；（3）设直线向上平移后的函数解析式为，在反比例函数图象上，，，将点代入，则，平移后的直线解析式为，，设，①当为平行四边形的对角线时，，，；②当为平行四边形的对角线时，，，；③当为平行四边形的对角线时，，，；综上所述：点坐标为或或．【点睛】本题考查反比例函数的图象及性质，熟练掌握反比例函数的图象及性质，一次函数的图象及性质，平行四边形的性质，待定系数法求函数的解析式的方法是解题的关键．10．如图，反比例函数的图象经过点A，点A的横坐标是，点A关于坐标原点O的对称点为点B，作直线．

(1)判断点B是否在反比例函数的图象上，并说明理由；(2)如图1，过坐标原点O作直线交反比例函数的图象于点C和点D，点C的横坐标是4，顺次连接，，和．求证：四边形是矩形；(3)已知点P在x轴的正半轴上运动，点Q在平面内运动，当以点O，B，P和Q为顶点的四边形为菱形时，请直接写出此时点P的坐标．【答案】(1)点B在反比例函数的图象上，理由见解析(2)证明见解析(3)点P的坐标为或或【分析】（1）求出点的坐标，判断即可；（2）证明，，推出四边形是平行四边形，再证明，可得结论；（3）分三种情况：当四边形是菱形时，；当四边形是菱形时，；当四边形是菱形时，．【详解】（1）解：结论：点B在反比例函数的图象上．理由：∵反比例函数的图象经过点A，点A的横坐标是，∴，∵A，B关于原点对称，∴，∵时，，∴点B在反比例函数的图象上；（2）证明：由题意，，，∵C，D关于原点对称，∴，∵A，B关于原点对称，∴，∴四边形是平行四边形，∵，，∴，∴四边形是矩形；（3）解：如图，当四边形是菱形时，．当四边形是菱形时，．当四边形是菱形时，，综上所述，满足条件的点P的坐标为或或．【点睛】本题属于反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，一次函数的性质，矩形的判定和性质，菱形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．11．如图1，在平面直角坐标系中，反比例函数（k为常数，且，）的图像经过点两点．(1)m与n的数量关系是(

)A． B． C． D．(2)如图2，若点A绕x轴上的点P顺时针旋转，恰好与点B重合．①求点P的坐标及反比例函数的表达式；②连接、，则的面积为_____；(3)若点M在反比例函数的图像上，点N在y轴上，在（2）的条件下，是否存在以A、B、M、N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】(1)B(2)①，反比例函数的表达式为，②8(3)存在，或【分析】（1）把分别代入得：，即可解答；（2）①过点A作轴于点C，过点B作轴于点D，证明，得出，，，，根据，，即可求出m和n的值，进而得到点P坐标，用待定系数法可求出反比例函数的表达式；②设所在直线函数表达式为，直线交x轴于点C，求出所在直线函数表达式为，再求出，则，最后根据即可求解；（3）根据M在反比例函数的图像上，点N在y轴上，设，根据平行四边形的性质和中点坐标公式，列出方程求解即可．【详解】（1）解：把分别代入得：，∴，整理得：，故选：B．（2）解：①过点A作轴于点C，过点B作轴于点D，∴，∴，∵点A绕x轴上的点P顺时针旋转90°，恰好与点B重合∴，，∴，∴，∵在和中，∴，∴，∵，∴，，，，∵，∴，∵，∴，∴，∵反比例函数的表达式为过，∴，∴反比例函数的表达式为；②设所在直线函数表达式为，直线交x轴于点C，将代入得：，解得：，∴所在直线函数表达式为，把代入得，解得：，∴，则，∴，故答案为：8．（3）解：∵M在反比例函数的图象上，点N在y轴上，∴设，∵以A、B、M、N为顶点的四边形为平行四边形，∴以A、B、M、N为顶点的四边形对角线互相平分，①当为对角线时，，解得：，∴；②当为对角线时，，解得：，∴；∵，∴不符合题意，舍去③当为对角线时，，解得：，∴综上：存在，或．【点睛】本题考查反比例函数的图象及性质，割补法求面积，平行四边形的存在性问题，解决本题的关键在于各知识的综合应用，熟练掌握反比例函数的图象和性质，平行四边形的性质．题型四反比例函数与一次函数结合12．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于B，与x轴交于A，与y轴交于C．

(1)若点．①求一次函数和反比例函数的解析式；②在y轴上取一点P，当的面积为5时，求点P的坐标；(2)过点B作轴于点D，点E为中点，线段交y轴于点F，连接．若的面积为11，求k的值．【答案】(1)①②或(2)【分析】（1）①根据点，待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式