重难点21 角平分线问题

重难点21角平分线问题第101天面积运算有捷径1.数学阅读:古希腊数学家海伦曾提出一个利用三角形三边之长求面积的公式:若一个三角形的三边长分别为,则这个三角形的面积为,其中.这个公式称为“海伦公式”.数学应用:如图,在中,已知，，.(1)请运用海伦公式求的面积；(2)若，为的两条角平分线,它们的交点为,求的面积.第1题图解：（1）小康怎么想到了海伦·凯勒的《假如给我三天光明》，小宝贝们你们想到了什么，可以分享给小鹿.，，；(2)过点作,垂足为,,连接,自己动手试试看.为的两条角平分线,,解得,故.第102天角平分线解锁码2.已知，是平分线上一点,点在射线上,过点作,交直线于点,过点作于点.(1)如图①,若,求证:;(2)如图②,若,写出线段及之间的数量关系,并说明理由.图①图②第2题图(1证明:不就证明相等吗,简直小case,二话不说,先作垂直看看.过点作于点,∵点在的平分线上，且于点，,,ASA;(2)解:,理由如下:就算换条件,换结论,也同样小意思,不变的依然是找全等.过点作于点,同(1,可证,易证，.数学家简介毕达哥拉斯(约公元前580年～公元前年),古希腊数学家,晢学家.毕达哥拉斯在宇宙论方面,结合了米利都学派以及自己有关数的理论.他认为存在着许多但有限个世界,并坚持大地是圆形的,不过他拋弃了米利都学派的地心说.毕达哥拉斯对数学的研究还产生了后来的理念论和共相论.他还坚持数学论证必须从“假设”出发,开创演绎逻辑思想,对数学发展影响很大.第103天勾股全等齐上阵在中,和的平分线相交于点.(1)如图①,直线交于点,直线交于点,求证:；(2)如图②,把三角板上角的顶点放在点处,角的两边分别与边相交于点,连接,若,求的周长.图①图②第3题图(1)证明：看完题图，就知道一定要作辅助线，思来想去，还是作角平分线.如解图①,在上截取,连接.易证和分别是和的平分线，，，， 又，，；(2)解：如解图②，过点分别作于点，于点，在上截取，连接，则，由（1）得：，，，，即，，即，，又，，，即，。的周长,,,,在中,，,的周长.图①图②第3题解图第104天两种平分灵活用4.如图,在中,平分的垂直平分线交于点,交于点,连接(1)若,求的度数；(2)若,求点到的距离.第4题图解:这里是在座各位的主场,showtime,开始你们的才艺展示.(1)平分,,,是的垂直平分线,,;(2)如解图,过点分别作于点于点,平分,,,即点到的距离为.第4题解图第105天尺规巧做三等分 5.(1)阅读理解:我们知道,只用直尺和圆规不能解决的三个经典希腊问题之一是三等分任意角,但是这个任务可以供助如图所示的一边上有刻度的勾尺完成,勾尺的直角顶点为,"宽臂"的宽度(这个条件很重要哦!),勾尺的一边满足三点共线(所以.下面以三等分为例说明利用勾尺三等分锐角的过程：第一步:画直线使,且这两条平行线的距离等于；第二步:移动勾尺到合适位置,使其顶点落在上,使勾尺的边经过点,同时让点落在的边上;第三步:标记此时点和点所在位置,作射线和射线.请完成第三步操作,则图中的三等分线是射线_______、_________； (2)请你完成证明的过程;(3)在的条件下探究:是否成立?如果成立,请说明理由;如果不成立,请在下图中的外部画出(无需写画法,保留画图痕迹即可).有没有跟小鹿一样喜欢阅读材料的题呢,理解了，做起来简单快速，仿佛上课一样.(1)解:作射线如解图：;(2)证明:..;(3)解:在的条件下探究:不成立,在外部所画.如解图.第5题解图综合强化练211.如图,已知为平分线上一点,于点于点,点分别是射线上的点,且.(1)当点在线段上,点在线段的延长线上时,求证:;(2)在的条件下,求与之间的数量关系.第1题图如此绝好的展现机会,小鹿就留给各位宝贝们了.(1)证明:为平分线上一点,,,,;(2)解:由知,,.2.在中,为锐角,平分交于点的垂直平分线交的延长线于点,交于点,连接.(1)如图①,若,判断之间有怎样的数量关系,并加以证明;(2)如图(2),若,求的度数.图①图②第2题图解:(1);证明:寻宝游戏开始,这是小鹿的第一条线索.如解图①,在线段上截取,连接,平分,,SAS.垂直平分,又，是等边三角形,;(2)这是小鹿提供的第二条线索.如解图(2