人教版九年级数学上册期末圆动点最值问题压轴题

试卷第=page66页，共=sectionpages66页试卷第=page55页，共=sectionpages66页人教版九年级数学上册期末圆动点最值问题压轴题一、单选题1．如图，的直径，弦垂直平分半径，动点从点出发在优弧上运动到点停止，在点整个运动过程中，线段的中点的运动路径长为（）A． B． C． D．2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝9，点O是AB的三等分点，半圆O与AC相切，M，N分别是BC与半圆弧上的动点，则MN的最大值与最小值之差是（）A．5 B．6 C．7 D．83．如图，线段AB＝6，点C为线段AB外一动点，，连接BC，M，N分别为AB，BC的中点，则线段MN的最大值为（）A．3 B．4 C．3 D．3+4．如图，已知⊙O半径OA＝4，点B为圆上的一点，点C为劣弧上的一动点，CD⊥OA，CE⊥OB，连接DE，要使DE取得最大值，则∠AOB等于（）A．60° B．90° C．120° D．135°5．如图，的半径为13，弦AB的长为24，M是弦AB上的动点，则线段OM长的最小值为（）A．8 B．7 C．6 D．56．如图，在Rt中，OA＝OB＝4，⊙O的半径为2，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ（点Q为切点），则线段PQ长的最小值为（）A．2 B． C．1 D．27．如图，为半圆的直径，弦，，点、分别为和上的动点，则的最小值为（）A． B． C．3 D．8．如图，AB是⊙O的弦，AB长为8，P是⊙O上一个动点（不与A，B重合），过点O作OC⊥AP于点C，OD⊥PB于点D，则CD的长为（）．A．3 B． C． D．4二、填空题9．如图所示，是的直径，，，点为弧的中点，点是直径上的一个动点，的最小值为__________．10．如图，⊙O的半径是2，AB是⊙O的弦，P是弦AB上的动点，且1≤OP≤2，则弦AB所对的圆心角的度数是__________．11．如图，是的弦，，点是上的一个动点，且，若点，分别是，的中点，则长的最大值是______．12．如图，在扇形中，，平分交弧于点，点为半径上一动点，若，则阴影部分周长的最小值为___________．13．在中，．点D为平面上一个动点，，则线段长度的最小值为_____．14．如图，在扇形中，，点是的中点，点，分别为半径，上的动点．若，则周长的最小值为______．

15．如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝9，M是AB的中点，P是BC边上的动点，连结PM，以点P为圆心，PM长为半径作⊙P．当⊙P与矩形ABCD的边CD相切时，则BP的长为________．三、解答题16．如图，在正方形中，动点，分别在边，上移动（不与顶点重合），且满足．连接和，交于点．（1）请你写出与的数量关系和位置关系，并说明理由；（2）由于点，的移动，使得点也随之运动．①请用文字描述并且在图中画出点的运动路径；②若，请求出线段的最小值．17．如图，为的外接圆，，点D是上的动点，且点分别位于的两侧．（1）求的半径；（2）当时，求的度数；（3）设的中点为M，在点D的运动过程中，线段是否存在最大值？若存在，求出的最大值；若不存在，请说明理由．18．如图，在△ABC中，AB＝AC，AO⊥BC于点O，OE⊥AB于点E，以点O为圆心，OE的长为半径作半圆，交AO于点F．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若点F是AO的中点，OE＝3，求图中阴影部分的面积；（3）在（2）的条件下，点P是BC边上的动点，当PE＋PF取最小值时，求出BP的长．19．如图，在平行四边行ABCD中，AB＝5，BC＝8，BC边上的高AH＝3，点P是边BC上的动点，以CP为半径的⊙C与边AD交于点E，F（点E在点F的左侧）．（1）当⊙C经过点A时，求CP的长；（2）连接AP，当AP∥CE时，求⊙C的半径及弦EF的长．20．如图，在中，，，，点为边上的一个动点，以为直径的交于点，过点作，交于点，连接、．（1）当时，求的长；（2）求证：；（3）是否存在点，使得是以为底的等腰三角形，若存在，求出此时的长；若不存在，试说明理由．答案第=page1616页，共=sectionpages1717页答案第=page1717页，共=sectionpages1717页参考答案1．B解：如图，连接OC，设CD交AB于点E．∵CD垂直平分线段OA，∴CA=CO，∵OC=OA，∴AC=OC=OA，∴△AOC是等边三角形，∴∠CAE=60°，当点M与C重合时，连接PE，OP，∵PA=PM，∴OP⊥AM，∴∠APO=90°，∵AE=EO，∴EP=OA=3，∵PE=AE=3，∠PAE=60°，∴△PAE是等边三角形，∴∠AEP=60°；在点M整个运动过程中，如下图，∵点P是AM的中点，点E是AO的中点，∴，∴线段AM的中点P的运动轨迹是图中，∵，∴的圆心角，∴运动路径的长=．故选：B．2．D解：如图，设⊙O与AC相切于点D，连接OD，过点O作OP⊥BC垂足为P交⊙O于F，此时垂线段OP最短，PF最小值为OP﹣OF，∵AC＝12，BC＝9，∴AB＝＝＝15，∵∠OPB＝90°，∴OP∥AC，∵点O是AB的三等分点，∴，∴OP＝8，∵⊙O与AC相切于点D，∴OD⊥AC，∴OD∥BC，∴，∴OD＝3，∴MN最小值为OP﹣OF＝8﹣3＝5，如图，当N在AB边上时，M与B重合时，MN经过圆心，经过圆心的弦最长，MN最大值＝OB+OE＝10+3＝13，∴MN长的最大值与最小值的差是13﹣5＝8．故选：D．3．C解：由题知、、三点共圆，M，N分别为AB，BC的中点，，当过圆心即是直径时（如图所示），取得最大值，此时取的最大值，，此时是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，，，故选C．4．B解：如图，延长CD交⊙O于P，延长CE交⊙O于T，连接PT．∵OA⊥PC，OB⊥CT，∴CD＝DP，CE＝TE，∴DE＝PT，∴当PT是直径时，DE的长最大，连接OC，∵OP＝OC＝OT，OD⊥PC，OE⊥CT，∴∠COA＝∠POA，∠COB＝∠BOT，∴∠AOB＝∠COA+∠COB＝∠POT＝90°，故选：B．5．D解：过O作于，此时线段的长最短，连接OA，过点O，，，在中，由勾股定理得：．故选：D．6．A解：连接OQ．∵PQ是⊙O的切线，∴OQ⊥PQ；根据勾股定理知PQ2=OP2-OQ2，∴当PO⊥AB时，线段PQ最短，∵在Rt△AOB中，OA=OB=4，∴AB=OA=8，∴OP=，∴PQ=．故选：A．7．B解：作B点关于直径AC的对称点B′，过B′点作B′E⊥AB于E，交AC于F，如图，

则FB＝FB′，∴FB＋FE＝FB′＋FE＝B′E，此时FB＋FE的值最小，∵∠BAC＝30°，∴∠B′AC＝30°，∴∠BAB′＝60°，∵AB＝AB′，∴△ABB′为等边三角形，∵B′E⊥AB，∴AE＝BE＝，∴B′E＝AE＝，即BF＋EF的最小值为．故选：B．8．D∵过点O作OC⊥AP于点C，OD⊥PB于点D，∴AC=PC，BD=PD，∴CD∥AB，且CD=AB，∵AB=8，∴CD=AB=4．故选择：D．9．解：作出D关于AB的对称点D′，连接OC，OD′，CD′．又∵点C在⊙O上，∠CAB=30°，D为弧的中点，即，∴∠BAD′=∠CAB=15°．∴∠CAD′=45°．∴∠COD′=90°．则△COD′是等腰直角三角形．∵OC=OD′=AB=10，∴CD′=，故答案为：．10．解：作OD⊥AB，∵P是弦AB上的动点，且1≤OP≤2，∴OD=1，∵⊙O的半径是2，∴，∵OA=OB，∴，∴弦AB所对的圆心角，故答案为：．11．解：∵点M，N分别是AB，AC的中点，∴MN=BC，∵当BC最大时，线段MN长的最大，当BC为⊙O的直径时，BC的长度最大，此时，∠A=90°，∠ACB=45°，∴直径BC==5，则线段MN长的最大值为，故答案为：．12．解：如图，作点C关于AB的对称点，连接交OB于点，连接、，此时最小，即，由题意得，，∴，∴，的长，∴阴影部分周长的最小值为，故答案为：．13．如图：以为半径作圆，过圆心作，以为圆心为半径作圆，则点在圆上，,线段长度的最小值为:．故答案为：．14．解：如图，作点关于的对称点，连接，

则，的周长为，由两点之间线段最短得：当点共线时，周长最小，最小值为，，，，由同圆半径相等得：，，在中，，即周长的最小值为，故答案为：．15．4当⊙P与直线CD相切时，设PC＝PM＝x．则PB=9-x，在Rt△PBM中，∵，∴，∴x＝5，∴PC＝5，∴BP＝BC﹣PC＝9﹣5＝4．故答案为：4．16．解：（1），，理由是：∵四边形是正方形，∴，，∵，在和中，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴；（2）如图，①∵点在运动中保持，设正方形的中心为，∴得出点的运动路径是以为直径的圆的圆弧（去除端点，），②设的中点（圆心）为，连接交圆弧于点，此时线段的长度最小．在中，∴即线段的最小值是．17．（1）4；（2）15°；（3）存在，解：（1）如图1中，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∵AC＝4，BC＝4，∴AB8，∴⊙O的半径为4．（2）如图1中，连接OC，OD．∵CD＝4，OC＝OD＝4，∴CD2＝OC2+OD2，∴∠COD＝90°，∴∠OCD＝45°，∵AC＝OC＝OA，∴△AOC是等边三角形，∴∠ACO＝60°，∴∠ACD＝∠ACO﹣∠DCO＝60°﹣45°＝15°．（3）如图2中，连接OM，OC．∵AM＝MD，∴OM⊥AD，∴点M的运动轨迹以AO为直径的⊙J，连接CJ，JM．∵△AOC是等边三角形，AJ＝OJ，∴CJ⊥OA，∴CJ2，∵CM≤CJ+JM＝22，∴CM的最大值为22．18．【详解】（1）证明：如图，过O作AC的垂线OM，垂足为M．∵AB＝AC，AO⊥BC，∴AO平分∠BAC，∵OE⊥AB，OM⊥AC，∴OE＝OM，∵OE为⊙O的半径，∴OM为⊙O的半径，∴AC是⊙O的切线．（2）解：∵OM＝OE＝OF＝3．且F是OA的中点，∴AO＝6，在RtΔAEO中，AE＝，∴＝OEAE＝．∵OE⊥AB，在RtΔAEO中，∠OEA＝90°，AO＝6，AE＝，OE＝3，∴∠EOF＝60°，∴＝，∴．（3）解：如图，作点F关于BC的对称点G，连接EG交BC于P，

∵，∴，此时EP+FP最小，∵OG=OF=OE，∴，而，∴，∴，∴，即最小值为，在中，，在中，，∴，即当PE＋PF取最小值时，BP的长为．19．（1）CP＝5；（2）⊙C的半径为，EF＝．解：（1）连接AC，如图1所示：∵AH⊥BC，∴∠AHB＝∠AHC＝90°，∴BH＝，∴CH＝BC﹣BH＝4，∴CA＝，当⊙C经过点A时，CP＝CA＝5；（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，当AP∥CE时，四边形APCE是平行四边形，∵CP＝CE，∴四边形APCE是菱形，∴PA＝CP，设PA＝CP＝x，则PH＝4﹣x，在Rt△APH中，由勾股定理得：AH2+PH2＝PA2，即32+（4﹣x）2＝x2，解得：x＝，即⊙C的半径为，作CM⊥EF于M，如图2所示：则CM＝AH＝3，ME＝MF＝EF，在Rt△CEM中，由勾股定理得：ME＝，∴EF＝2ME＝．20．解：（1）∵，∴