高考数学一轮总复习 28 函数与方程题组训练 理 苏教版

第8讲函数与方程

课时•题组训练阶梯训练练出高分

基础巩固题组

(建议用时：40分钟)

一、填空题

1.(•无锡调研)函数F(x)=e*+3x的零点个数是.

解析由已知得/(力=6+3>0,所以/<¥)在R上单调递增，又f(-l)=eT—3V0,

Xl)=e+3>0,所以F(x)的零点个数是1.

答案1

2.在下列区间中，函数/5)=/+4*—3的零点所在的区间为______.

①昌0)：@(0,》③R3④&d

解析V/'(x)=eJ+4x-3,:・f(x)=e'+4>0.

・・・F(x)在其定义域上是单调递增函数.

•・・《-0=6-一4V0,A0)=e°+4X0-3=-2<0,

瑞=亚一2V0,/Qj=e1-l>0,

:.《1[,(9V0，故选③，

答案③

3.若函数/<¥)=&42一才一1有且仅有一个零点，则实数a的取值为.

解析当4=0时，函数F(X)=-X—1为一次函数，则一1是函数的零点，即函数仅有

一个零点；

当aWO时，函数为二次函数，并且仅有一个零点，则一元二次方程

国^一彳-1=0有两个相等实根.

.•・/=l+4a=0,解得a=一

综上，当a=0或a=一1时，函数仅有一个零点.

答案0或一"

2

4.(•朝阳区期末)函数f(x)=2'——a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围

X

是.

22

解析因为函数f(x)=2'-—-a在区间(1,2)上单调递增，又函数f(x)=2*——a的一

XX

f1<0,

个零点在区间(1,2)内，则有，所以0VaV3.

I乙

答案(0,3)

5.已知函数/Xx)=x+2",g(x)=x+lnx,力(*)=x—、八一1的零点分别为乂，生，照，则

X\,照，必的大小关系是.

解析依据零点的意义，转化为函数y=x分别和y=-2',y=—Inx,尸、及+1的交

点的横坐标大小问题，作出草图，易得MVOVEVIVa

答案X\<X2<X^

6.若函数f{x}=ax+6(aW0)有一个零点是2,那么函数g(x)=阮2—的零点是.

解析由已知条件2a+b=0,即b=-2a,

g{x)=-2aV-ax=-2a(x+3

则g(x)的零点是x=0,x=—

答案0,一)

7.函数f(x)=3x—7+lnx的零点位于区间(〃，〃+l)(〃£N)内，则〃=______.

解析求函数F(x)=3x—7+lnx的零点，可以大致估算两个相邻自然数的函数值，如

f(2)=-l+ln2,由于ln2Vlne=l,所以/'(2)VO,F(3)=2+ln3,由于ln3>l,

所以f(3)>0,所以函数/Xx)的零点位于区间⑵3)内，故〃=2.

答案2

2'—1,M>0,

8.已知函数f(x)=2°,八若函数g(x)=f(x)—加有3个零点，则实数次的

-x—2x>mO,

取值范围是.

2X—1,x>0,

解析画出F(x)=-J必后。的图象'如图

由函数g(x)=f(x)—勿有3个零点，结合图象得：OV*1,即勿£(o,l).

答案(0,1)

二、解答题

9.函数F(x)=f—3x+2.

(1)求F(x)的零点：

(2)求分别满足f(x)VO,f(x)=0,f(x)>0的x的取值范围.

解f[x｝=x-3x+2=x(x-\)(x+l)-2(x-l)=

(x—1)(V+x—2)=(x—1)2(1+2).

(1)令F(x)=0,函数/'(x)的零点为x=l或x=-2.

(2)令f(力V0,得xV-2；

所以满足，(¥)V0的X的取值范围是(-8,-2)；

满足f(x)=O的x的取值集合是｛1,-2｝；

令f(x)>0,得一2VxVl或必>1,满足f(x)>0的x的取值范围是(一2,1)U(1,+8).

10.若关于*的方程3V—5*+a=0的一个根在(一2,0)内，另一个根在(1,3)内，求a的取

值范围.

解设f(x)=342—5x+a,

则/'(x)为开口向上的抛物线(如图所示).

•・・f(x)=O的两根分别在区间(一2,0),(1,3)内,

(f-2>0,

|f0<0,

f1<0,

、f3>0,

px-22-5X—2+a>0,

JaVO,

即

13-5+aV0,

l3X9-5X3+a>0,

解得一12VaV0.

・・・所求&的取值范围是(一12,0).

能力提升题组

(建议用时：25分钟)

一、填空题

1.(•烟台模拟)如图是函数的图象，则函数g(x)=lnx+F⑺的零点

所在区间是.

④(2,3).

解析由F(x)的图象知OVbVl,/(I)=0,从而一2VaV—1,g(x)=lnx+2x+a,

g(x)在定义域内单调递增，jg)=lng+l+aVO,g(l)=2+a>0,(义)•g⑴VO.

答案③

2.(­连云港检测)已知函数y=f(x)(x£R)满足F(x+l)=—f(x),且当彳W[-1,1]时,

sinnx,>>0,

f(x)=|x|,函数g(x)={1则函数力(x)=F(x)—g(x)在区间

一,%<0,

X

［-5,5］上的零点的个数为.

解析函数尸F(x)(x£R)满足fj+l)=-/(*),故/.(X+2)=—/•(『H)

=—［—F(x)］=F(x),即函数f(x)的周期为2,作出工£［-1,1］时，F(x)=|x|的图象,

并利用周期性作出函数F(x)在［-5,5］上的图象，在同一坐标系内再作出g(x)在［-5,5］

上的图象，由图象可知，函数人X)与g(x)的图象有9个文点，所以函数力(*)=〃*)一

g(x)在区间［-5,5］上的零点的个数为9.

答案9

3.(•天津卷改编)设函数f(x)=e'+x—2,g(x)=lnx+f—3.若实数a,方满足f(a)=O,

g(b)=0,则g(a),0,F(b)的大小关系为.

解析由/(x)=e*+l>O知/'J)在R上单调递增，

且/'(0)=l—2V0,Al)=e-l>0,

所以f(a)=O时，ae(O,1).

又g(x)=lnx+V—3在(0,+8)上单调递增，

且g⑴=—2V0,所以g(a)V0,

由g(2)=ln2+1>0,g(8)=0,得6W(1,2).

又Al)=e-l>0,・・・尸(力)>0.故g(a)<0<AZ?).

答案g(a)V0VF(6)

二、解答题

4.(•深圳调研)已知二次函数户力的最小值为-4,且关于x的不等式/*5)W0的解集为

{4一1WXW3,x£R}.

(1)求函数代力的解析式；

(2)求函数g(x)=J一—41nx的零点个数.

X

解(1)・・•/*(>)是二次函数，且关于x的不等式F(x)《o的解集为3—1〈XW3,XER},

/.f{x)=a(x+l)(x—3)=ax~2ax—?>a