高三数学一轮复习课时作业5：抛物线

第7讲抛物线

课时作业分层训练，提升能力

基础巩固题组

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1.(2015•合肥质量检测)抛物线f=%的焦点坐标为()

A.(70)B(0,2)cQ，0)D(0,j

解析抛物线~=5的焦点坐标是(o,I).

答案D

2.(2014•西宁复习检测)已知抛物线)，2=2px(p>0)的准线与曲线X2+/-4X-5

=0相切，则〃的值为

()

A.2B.1c4D.T

解析曲线的标准方程为。-2)2+产=9,其表示圆心为(2,0),半径为3的

圆，又抛物线的准线方程为犬=一多

・•・由抛物线的准线与圆相切得2+5=3,解得p=2,故选A.

答案A

3.点M(5,3)到抛物线丁=加的准线的距离为6,那么抛物线的方程是()

22

A.y=12xB.yulZr或y=-36A2

C.y=-36X2D.产92或y=一而x2

解析分两类。>0,。<0可得y=一袅2.

答案D

4.(2014・潍坊一模)己知抛物线尸=2*(〃>0)的焦点厂与双曲线，一方=1的右焦

点重合，抛物线的准线与x轴的交点为K,点A在抛物线上且|AM=&|AF],

则A点的横坐标为）

A.2^/2B.3C.2yj3D.4

解析抛物线的焦点为（冬0）,准线为工=一§.双曲线的右焦点为（3,0）,所

以?=3,即p=6,即V=l2x过4做准线的垂线，垂足为M,则|AM=

6|AF1=V^|AM，即IKMTAM，设A（X,y）t则y=x+3,代入），2=12x,解

得x=3.

答案B

5.（2014.新课标全国II卷）设F为抛物线C：）2=34的焦点，过F且倾斜角为30°

的直线交。于4,B两点，。为坐标原点，则△OAB的面积为（）

A至

妪Rr639

解析易知抛物线中p=|,焦点噂0）,

法一直线A8的斜率2=坐，

故直线AB的方程为'=会一分，

21Q

代入抛物线方程产=3M整理得x2—俳r+■裾=0.

、21

设A（xi,yi）,Bg,y2）f则为+及=爹.

213

由抛物线的定义可得弦长|川=川+垃+〃=g+412,

3

2

法二由抛物线焦点弦的性质可得忸明=岛

=而茄丁=12

结合图象可得。到直线A3的距离d=4in30°=1,

乙O

19

所以△048的面积S=^\AB\・d=%.

答案D

二、填空题

6.（2014•北京海淀区模拟）若效物线）2=2pxS>0）的准线经过双曲线/一y=1

的左顶点，则〃=.

解析由题意知抛物线的准线为X=—多双曲线f—y2=l的左顶点为(-1,

0),所以.p=2.

答案2

7.(2014•银川质量检测)已知一条过点P(2,1)的直线与抛物线V=2x交于A,B

两点，且尸是弦AB的中点，则直线A8的方程为.

解析依题意，设点A(xi,yi),B(xi,J2),则有y?=2ri,货=2x2,两式相减

得M一渍=2(»—X2),即以二*=^^=1,直线A8的斜率为1,直线A8的

JJx\~x2y\-ryi

方程是丁一1=/一2,即x-y—1=0.

答案x-y-l=0

8.(2015・沈阳质量监测)已知抛物线尸=2内。>0)的焦点为F,/XABC的顶点都

A"111

在抛物线上，且满足阴+FB+R7=0,则直;+=+亡=_______.

KABKBCKCA

解析设点A(xi,yi),B(X2,*),C(X3,户)，展，0),则yi)+(x2—舄

+f%3—2，*)=(0,0),

故yi+y2+y3=0.

I-ri

因为—=错误！=错误！，同理可知错误！=错误！，错误！=错误！，所以

KABy2-y\

原式=?⑶节+")=0

答案0

三、解答题

9.如图，已知抛物线)a=2pxS>0)有一个内接直角三

角形，直角顶点在原点，两直角边QA与08的长

分别为1和8,求抛物线的方程.

解设直线OA的方程为y=kx,&W0,则直线OB

的方程为y=—%,

y=kx、2D

由《2ct得％=0或

[y-=2px.1c

点坐标为假芝I，同理得3点坐标为(2pd,-2pk)f

#+1①

由|。4|=1,|0用=8,可得，P心

4P23(F+1)=64,②

②彳①解方程组得依=64,即F=4.

则p2=F7P+Tr=5-

又〃>0,则〃=亭，故所求抛物线方程为产=鸣.

10.(2014・陕西卷)如图，曲线。由上半椭圆Cl：「+方

=l(a>Z?>0,y20)和部分抛物线C2：y=一炉+13W0)

连接而成，G与C2的公共点为A,B,其中G的离

心率喈,

(1)求。，♦的值;

(2)过点B的直线/与G,C2分别交于点P,。(均异

于点A,B),若AP_LA。，求直线/的方程.

解(1)在C,C2的方程中，令y=0,可得b=1,且A(—l,0),5(1,0)是

上半椭圆Ci的左、右顶点.

设Ci的半焦距为c,由'=坐及/一/=/=1得a=2.

・・・。=2,h=\.

(2)由(1)知，上半椭圆Ci的方程为:=1。，20).

易知，直线/与x轴不重合也不垂直，设其方程为

y=&(x—1)(—0),

代入Cl的方程，整理得

(3+4)/—2Fx+F—4=0.(*)

设点尸的坐标为(xp,yp),

・・,直线/过点B,・・・x=l是方程(*)的一个根.

ZQF-4..——8k

由求根公式,得门=再了从而»=再4,

.,(Ar—4—8八

二点「的坐标x为辰还，百3

y=k(x—1)(20),

同理,由<

y=—x2-~\-1(yWO)

得点Q的坐标为(一%—1,一K—2Q.

・・・AP=^T^(攵，-4),AQ=一岚1,&+2).

9：APA.AQ,・・・4尸・AQ=O,

—2k1

即^^r&-4（A+2）』=0,

o

♦・Z#0,・•/—4（%+2）=0,解得攵=—T

经检验，Z=一,符合题意，

故直线/的方程为），=一号（工一1）.

能力提升题组

（建议用时：25分钟）

11.（2015•太原模拟）已知尸是抛物线上级上动点，吗，4）,若点P到y轴的

距离为点尸到点A的距离为小，则力+刈的最小值是（）

A.4B.TC.5D.,

解析因为点P在抛物线上，所以力=|。川一/其中点尸为抛物线的焦点），

则di+d2=|PF|+|以|一拉依同一3=5—当且仅当

点P是线段AF与抛物线的交点时取等号，故选B.

答案B

12.（2014・四川卷）己知产为抛物线丁=%的焦点，点A,8在该抛物线上且位于

x轴的两侧，不­而=2（其中。为坐标原点），则△AB。与△AFO面积之和

的最小值是（）

A.2B.3C，7fD.yflO

解析如图，可设A（加2,m），B（n2,n）,其中加>0,7

«<0,则OA=（机2,加），。3=（〃2,〃），OA•OB=\/^l\

nvrr+〃7〃=2,解得加〃=1（舍）或—2.―\cJ

/.IAB：（nr—rr）（y—n）=（m—n）（x—n2）,即（m+〃）（yP\\\

B

—n）=x—n2,令y=0,解得x=-m〃=2,/.C（2,0）.

S^AOB=S^AOC~^~S^BOC=2X2XAW十]X2X（—n）—m—/?,SMO/J=]Xni—gw,

1992[929

则5MOfi+5MOF=/n—n+^/n=g/n—n=g/n4--/g/n•~=3,当且仅当针？

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=~,即机=g时等号成立.故△AB。与△AF。面积之和的最小值为3.

答案B

13.（2015・南昌模拟）抛物线C：f=8y与直线＞=2%—2相交于4,8两点，点P

是抛物线C上异于4,B的一点，若直线抬,尸8分别与直线y=2相交于点

Q,R,。为坐标原点，则奥•丽=.

解析设4错误！，8错误！，P错误！，。（右，2）,

R（X4,2）.将y=2r—2代入f=8y得x2—16.r+16=0,则xi+x2=xix2=16.

直线PA的方程为》一错误!=错误!。一刈），即y一错误！=错误!（工一刈）.

xi*)+16

令y=2,解得招=

Xi+xo

X2Xo+16

同理可得必=