专题训练十一　构造中位线解题

专题训练十一构造中位线解题连接两点构造三角形的中位线1.如图,在△ABC中,D为AB的中点,连接DC,过AC的中点E作EF∥CD,交BC的延长线于点F.求证:BC=2CF.2.如图,在四边形ABDC中,AB=AC,DB⊥AB,DC⊥AC,且E,F,G,H分别为AB,AC,CD,BD的中点.(1)求证:EH=FG.(2)连接AD,BC交于点O,则AD,BC有何位置关系?证明你的结论.利用角平分线和垂直构造三角形中位线3.如图,在△ABC中,M为BC的中点,AD为△ABC的外角平分线,且AD⊥BD,若AB=12,AC=18,求DM的长.4.(2024丹东月考)如图,已知AO是△ABC中∠BAC的平分线,BD⊥AO交AO的延长线于点D,E是BC的中点.求证:DE=12(AB-AC)已知一边中点,取另一边中点构造三角形的中位线5.如图,AD是△ABC的中线,AE是△ABD的中线,BA=BD.求证:AE=12倍长法构造三角形的中位线6.如图,在△ABC中,∠ABC=90°,BA=BC,△BEF为等腰直角三角形,∠BEF=90°,M为AF的中点.求证:ME=12CF.已知两边中点,取第三边中点构造三角形的中位线7.如图,已知:在四边形ABCD中,AD=BC,E,F分别是DC,AB的中点,直线EF分别与BC,AD的延长线相交于点G,H.求证:∠AHF=∠BGF.8.如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于点D,P是AD的中点,延长BP交AC于点N.求证:AN=13

【详解答案】1.证明:如图,连接DE,∵D,E分别为AB,AC的中点,∴DE为△ABC的中位线,∴DE∥BC,DE=12又∵EF∥CD,∴四边形CDEF为平行四边形,∴CF=DE=12BC∴BC=2CF.2.解:(1)证明:∵E,H分别为AB,BD的中点,∴EH是△BAD的中位线,∴EH=12同理,FG是△ACD的中位线,∴FG=12AD∴EH=FG.(2)AD垂直平分BC.证明如下:∵DB⊥AB,DC⊥AC,∴∠ABD=∠ACD=90°.在Rt△ABD与Rt△ACD中,AB=AC,AD=AD,∴Rt△ABD≌Rt△ACD(HL),∴∠BAD=∠CAD,∴OA⊥BC,OB=OC,∴AD垂直平分BC.3.解:如图,延长BD,CA交于点N.∵AD为△ABC的外角平分线,∴∠NAD=∠BAD.又∵AD⊥BD,∴∠ADN=∠ADB=90°.在△AND和△ABD中,∠NAD∴△AND≌△ABD(ASA),∴DN=DB,AN=AB.∵M为BC的中点,∴DM是△BCN的中位线,∴DM=12NC=12(AN+AC)=12(AB+AC)4.证明:如图,延长AC,BD交于点F,∵AO是∠BAC的平分线,∴∠BAD=∠FAD.∵BD⊥AO,∴∠ADB=∠ADF=90°.∵在△ABD和△AFD中,∠BAD∴△ABD≌△AFD(ASA),∴AB=AF,BD=DF.∵E是BC的中点,∴ED是△BCF的中位线,∴DE=12CF=12(AF-AC)=12(AB-5.证明:如图,取BA的中点F,连接DF.∵AD是△ABC的中线,∴BD=CD,∴DF为△ABC的中位线,∴DF=12∵BA=BD,AE和DF是等腰三角形BAD两腰上的中线,∴AE=DF,∴AE=126.证明:如图,延长FE至点N,使EN=EF,连接BN,AN.易得ME=12∵EF=EN,∠BEF=90°,∴BF=BN,∴∠BNF=∠BFN.∵△BEF为等腰直角三角形,∠BEF=90°,∴∠BFN=45°,∴∠BNF=45°,∴∠FBN=90°,即∠FBA+∠ABN=90°.又∵∠FBA+∠CBF=90°,∴∠CBF=∠ABN.在△BCF和△BAN中,BF=∴△BCF≌△BAN(SAS),∴CF=AN,∴ME=12AN=17.证明:如图,连接AC,作EM∥AD,交AC于点M,连接MF.∵E是CD的中点,且EM∥AD,∴EM=12AD,M是AC的中点又∵F是AB的中点,∴MF∥BC,且MF=12∵AD=BC,∴EM=MF,∴∠MEF=∠MFE.∵EM∥AH,∴∠MEF=∠AHF.∵FM∥BG,∴∠MFE=∠BGF,∴∠AHF=∠BGF.8.证明:如图,取NC的中点H,连接DH,过点H作HE∥AD,交BN的延长线于点E.∵AB=AC,AD⊥BC,∴D为BC的中点.又∵H为NC的中点,∴DH为△BNC的中位线,∴DH∥BN