2024-2025学年青海省西宁十四中高二（上）期末数学试卷（含答案）VIP

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年青海省西宁十四中高二（上）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知直线过直线x−y+2=0和2x+y+1=0的交点，且与直线x−3y+2=0垂直，则直线的方程为(

)A.3x+y+2=0 B.3x−y+2=0 C.x+3y+2=0 D.x−3y+2=02.在等比数列{an}中，若a5aA.6 B.9 C.±6 D.±93.以椭圆x28+yA.x24−y24=1 B.4.如图1所示，ABCD−A1B1C1D1为正方体，给出以下四个结论：

①AC1⊥平面CB1D1；

②直线B1C与BD所成的角为60°；

③二面角A.①②③ B.②③ C.①②④ D.①②5.已知数列{an}满足a1=2，an+1=1+A.2 B.3 C.−12 6.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左右焦点分别为F1，F2，且A.33 B.43 C.2+7.已知直线x−3y+8=0和圆x2+y2=r2(r>0)相交于A.3 B.3 C.5 D.8.已知椭圆C：x26+y2m=1(m>0且m≠6)，直线x+3y−4=0与椭圆C相交于A，B两点，若A.2 B.4 C.22 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S8>0A.a5>0 B.a4>0

C.{an}中绝对值最小的项为a5 D.10.已知抛物线C：x2=4y的焦点为F，O为坐标原点，点M(x0,y0)A.F的坐标为(1,0) B.y0=4 C.|OM|=211.已知圆C：(x+2)2+y2=4，直线lA.当m=0时，圆C上恰有三个点到直线l的距离等于1

B.对于任意实数m，直线l恒过定点(−1,1)

C.若圆C与圆x2+y2−2x+8y+a=0恰有三条公切线，则a=8

D.若动点D在圆C上，点E(2,4)，则线段三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.若5是a与b的等差中项，3是a与b的等比中项，则a2+b213.已知P为圆(x+1)2+y2=1上任意一点，A，B为直线3x+4y−7=0上的两个动点，且|AB|=214.如图，在正四面体OABC中，E，F分别为AB，OC的中点，则OE与BF的夹角的余弦值为______．四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=2，点M、N分别为AP、BC的中点．

(1)证明：直线MN//平面PCD；

(2)求点B到平面MND的距离．16.(本小题12分)

已知圆M：x2+y2−ax−2ay−40=0的圆心在直线x−y+1=0上，直线l：y=x+6．

(1)求a的值；

(2)求圆M关于直线l对称的圆M′的标准方程；

(3)过(2)中的点M′作圆M的切线17.(本小题12分)

已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)，O为坐标原点，P为椭圆上任意一点，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，且b2=a，其离心率为22，过点M(0,1)的动直线l与椭圆相交于A，B18.(本小题12分)

设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4=4S2，a2n=2an+1．

(1)求数列{an}的通项公式；

19.(本小题12分)

如图，ABCD为圆柱OO′的轴截面，EF是圆柱上异于AD，BC的母线．

(1)证明：BE⊥平面DEF；

(2)若AB=BC=6，当三棱锥B−DEF的体积最大时，求二面角B−DF−E的正弦值．

参考答案1.A

2.B

3.A

4.D

5.A

6.D

7.C

8.B

9.BCD

10.BD

11.BCD

12.82

13.[1,3]

14.−215.解：(1)证明：取PD中点Q，连接MQ、CQ，

∵△PAD中，点M、Q分别为PA、PD的中点，∴MQ//AD且MQ=12AD=1，

∵在正方形ABCD中，N为BC中点，∴NC//AD，NC=1，可得MQ//NC，MQ=NC，

∴四边形MQCN为平行四边形，可得MN//CQ，

又∵MN⊄平面PCD，CQ⊂平面PCD，∴直线MN/​/平面PCD；

(2)∵平面ABCD为正方形，且PA⊥底面ABCD，∴AB、AD、AP两两互相垂直，

分别以AB、AD、AP所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，

可得M(0,0,1)，B(2,0,0)，D(0,2,0)，N(2,1,0)，

MD=(0,2,−1),DN=(2,−1,0),BN=(0,1,0)，

设平面MND的法向量为n=(x,y,z)，

则n⋅MD=0n⋅DN=0，即2y−z=02x−y=0，取16.解：(1)由已知圆M：x2+y2−ax−2ay−40=0，则圆M(a2,a)，

又圆心M在直线x−y+1=0上，即a2−a+1=0，解得a=2；

(2)由(1)得圆M：x2+y2−2x−4y−40=0，即(x−1)2+(y−2)2=45，即M(1,2)，半径r=35，

设M′(x0,y0)，则MM′中点为(x0+12,y0+22)且kMM′=y0−2x0−1，

所以由对称可知y0+217.解：(1)由题意可得a=b2ca=22a2=b2+c2，解得a2=4，b2=2，

所以椭圆的帮助方程为x24+y22=1；

(2)当直线l的斜率不存在时，把M代入椭圆方程可得x=±2，

所以|AB|=22，不符合题意，

所以直线l的斜率存在，则可设直线l的方程为y=kx+1，代入椭圆方程可得：

(2k2+1)x2+4kx−2=0，

其判别式△=16k18.解：(1)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d．

由S4=4S2，a2n=2an+1，得

4a1+6d=8a1+4da1+(2n−1)d=2a1+2(n−1)d+1,

解得：a1=1，d=2．

因此an=2n−1；

(2)由已知b1a1+b2a2+…+bnan=1−12n，n∈N∗，

当n=119.解：(1)证明：如图，连接AE，由题意知AB为⊙O的直径，

所以AE⊥BE.因为AD，EF是圆柱的母线，

所以AD/​/EF且AD=EF，所以四边形AEFD是平行四边形．

所以AE/​/DF，所以BE⊥DF．

因为EF是圆柱的母线，所以EF⊥平面ABE，

又因为BE⊂平面ABE，所以EF⊥BE．

又因为DF∩EF=F，DF、EF⊂平面DEF，所以BE⊥平面DEF．

(2)由(1)知BE是三棱锥B−DEF底面DEF上的高，

由(1)知EF⊥AE，AE/​/DF，所以EF⊥DF，

即底面三角形DEF是直角三角形．

设DF=AE=x，BE=y，

则在Rt△ABE中有：x2+y2=6，

所以VB−DEF=13S△DEF⋅BE=13⋅(12x⋅6)⋅y=66xy≤66⋅x2+y22=62，

当且仅当x=y=3时等号成立，即点E，F分别是AEB，CFD的中点时，三棱锥B−DEF的体积最大，

下面求二面角B−DF−E的正弦值：

法一：由(1)得BE⊥平面DEF，因为DF⊂平面DEF，所以BE⊥DF．

又因为EF⊥DF，EF∩BE=E，所以DF⊥平面BEF．

因为BF