2025高考数学考点剖析精创专题卷七-空间向量与立体几何【含答案】

2025高考数学考点剖析精创专题卷七-空间向量与立体几何一、选择题1．某同学有一个形如圆台的水杯如图所示，已知圆台形水杯的母线长为，上、下底面圆的半径分别为和.为了防烫和防滑，水杯配有一个杯套，包裹水杯高度以下的外壁和杯底，如图中阴影部分所示，则杯套的表面积为（不考虑水杯材质和杯套的厚度）()A. B. C. D.2．在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑.在鳖臑中，平面，，，，则此四面体的外接球表面积为()A. B. C. D.3．已知l，m，n表示不同的直线，，，表示不同的平面，则下列四个命题正确的是()A.若，且，则 B.若，，，则C.若，且，则 D.若，，，则4．在正四棱台中，已知，，则侧棱与底面所成角的正弦值为()A. B. C. D.5．在正方体中，E，F分别为AB，BC的中点，则()A.平面平面 B.平面平面C.平面平面 D.平面平面6．如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，E是PD的中点，点F满足.若，，，则()A. B. C. D.7．已知空间向量，，，若这三个向量共面，则实数等于()A.1B.2C.3D.48．在中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体的上、下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分）.现有一个如图所示的“曲池”，它的高为4，，，，均与“曲池”的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为2和4，对应的圆心角为，则图中异面直线与所成角的余弦值为()A. B. C. D.二、多项选择题9．如图，在菱形ABCD中，，，沿对角线BD将折起，使点A，C之间的距离为.若P，Q分别为线段BD，CA上的动点，则下列说法正确的是()A.平面平面BCDB.线段PQ长度的最小值为C.当，时，点D到直线PQ的距离为D.当P，Q分别为线段BD，CA的中点时，PQ与AD所成角的余弦值为10．如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点E，F，且，则下列结论正确的有()A.当点E运动时，总成立B.当E向运动时，二面角逐渐变小C.二面角的最小值为D.三棱锥的体积为定值11．已知在直三棱柱中，底面是一个等腰直角三角形，且，E，F，G，M分别为，，，的中点，则()A.与平面夹角的余弦值为B.与的夹角为C.平面EFBD.平面平面三、填空题12．在正方体中,E是的中点,求与两条异面直线所成角的余弦值为______________.13．已知平面四边形ABCD中，点B，D在线段AC两侧，且线段AC的垂直平分线为直线BD，其中，，现沿BD进行翻折，使得点A到达点的位置，且A′到C的距离为3，连接，，，则四面体体积的最大值为_____________.14．如图，由直三棱柱和四棱锥构成的几何体中，，，，，平面平面.P为线段BC上一动点，当_________时，直线DP与平面所成角的正弦值为.四、解答题15．如图，在三棱锥中，平面平面，，O为BD的中点.（1）证明：；（2）若是边长为1的等边三角形，点E在棱AD上，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积.16．已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为AC和的中点，D为棱上的点，.（1）证明：；（2）当为何值时，面与面DFE所成的二面角的正弦值最小？17．如图，四面体ABCD中，，，，E为AC的中点.（1）证明：平面平面ACD；（2）设，，点F在BD上，当的面积最小时，求CF与平面ABD所成的角的正弦值.18．在如图所示的试验装置中，两个正方形框ABCD，ABEF的边长都是1，且平面平面ABEF，活动弹珠（大小不计）M，N，G分别在线段AC，BF，AB上移动，，平面MNG，记.（1）证明：平面ABEF；（2）当MN的长度最小时，求二面角的余弦值.19．如图①，已知三棱锥，图②是其平面展开图，四边形ABCD为正方形，和均为正三角形，O，G分别为AC，PA的中点，.（1）求证：；（2）求二面角的余弦值；（3）若点M在棱PC上，满足，，点N在棱BP上，且，求的取值范围.参考答案与详细解析一、选择题1．答案：C解析：根据题意，杯套的形状可看作一个圆台，且该圆台的母线长是圆台形水杯的母线长的，即，下底面圆的半径为圆台形水杯的下底面圆的半径，即，上底面圆的半径是，所以杯套的表面积.故选C.2．答案：B解析：根据题意，平面，平面，所以，又，，平面，所以平面，将鳖臑补全成长方体，如图，则此四面体的外接球的半径为，其外接球的表面积为.故选：B.3．答案：C解析：若，且，则l与m可能平行，可能相交，可能异面，A选项错误；若，，，则m与n可能平行，可能相交，可能异面，B选项错误；两条平行直线，其中一条与平面垂直，则另一条也与平面垂直，C选项正确；若，，，则与可能平行可能相交，D选项错误.故选：C4．答案：B解析：由题意可得正四棱台的截面图，如图所示，且为等腰梯形，过点做，过点做，由线面角的定义可知，侧棱与底面所成角即为，由条件可得，，,，则，,则，所以为等腰直角三角形，所以，即.故选：B.5．答案：A解析：对于A选项：在正方体中，因为E，F分别为AB，BC的中点，所以，则有，又由正方体的性质可得，又，从而平面.又因为平面，所以平面平面，所以A选项正确.对于B选项：因为平面平面，由选项A知平面平面，若平面平面，则平面，显然不成立，所以B选项错误.对于C选项：由题意知直线与直线必相交，故平面与平面有公共点，所以C选项错误.对于D选项：如图，连接，，，易知平面平面，又因为平面与平面有公共点，故平面与平面不平行，所以D选项错误.故选A.6．答案：C解析：由题意知.故选C.7．答案：A解析：由题意得，存在实数x，y，满足，即，所以解得故实数等于1.8．答案：A解析：设上底面圆心为，下底面圆心为O，连接，，，，，以O为原点，分别以，，所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则，，，，则，.所以，又异面直线所成角的范围为，故异面直线与所成角的余弦值为.故选A.二、多项选择题9．答案：ABD解析：取BD的中点O，连接OA，OC.在菱形ABCD中，，，所以.因为，所以，所以.又因为，O为BD的中点，所以，同理可得，因为，，，平面BCD，所以平面BCD.因为平面ABD，所以平面平面BCD，故A正确.又，，，故以O为原点，OB，OC，OA所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，.当，时，，，，，所以点D到直线PQ的距离为，故C错误.设，，设，，得，，当且时，，故B正确.当P，Q分别为线段BD，CA的中点时，，，，，设PQ与AD所成的角为，则，所以PQ与AD所成角的余弦值为，故D正确.故选ABD.10．答案：ACD解析：对于A，连接，，.因为四边形为正方形，所以，因为平面，平面，所以，又，平面，所以平面.又因为平面，所以，同理可证.又因为，平面，所以平面，又因为平面，所以总成立，故A正确.对于B，连接BD，平面EFB即平面，平面EFA即平面，所以当E向运动时，二面角的大小不变，故B错误.对于C，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，所以，因为E，F在上，且，故可设，，，则，由题易知平面ABC的一个法向量为，设平面ABE的法向量为，则取，则，，故，设二面角的平面角为，则为锐角，所以，又，所以当时，取得最大值，取得最小值，故C正确.对于D，因为，点A到平面EFB的距离即为点A到平面的距离，为，所以，为定值，故D正确.故选ACD.11．答案：BCD解析：如图①，以B为原点，BC，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，设，则有，，，，，，，，，，.设平面的法向量为，则有令，可得平面的一个法向量为，则，与平面夹角的正弦值为，则余弦值为，A错误.，与的夹角的余弦值为，则其夹角为，B正确.如图②，连接，，设，连接，，M分别为，的中点，且，为平行四边形，则O为的中点.又为的中点，，又平面，平面，平面，C正确.连接，如图②，由题可知平面即为平面，且，，又，平面，平面，又平面，则，又四边形为正方形，则，又，平面，所以平面，又平面，平面平面，即平面平面，D正确.故选BCD.三、填空题12．答案：解析：如图,取的中点,连接,,,则,,所以,且,故四边形是平行四边形,则,故即为与所成角（或其补角）,设正方体的棱长为2,由勾股定理得,,在中,由余弦定理得,故与两条异面直线所成角的余弦值为.故答案为：.13．答案：解析：如图，，，所以A点在以B，D为焦点，长轴长为15的椭圆上，该椭圆中：，，即，，因此，由椭圆性质知A点到直线的距离的最大值为，设与交于点O，因为，即，，又，，平面，所以面，，，因此，而，因此，，所以时，取得最大值，即取得最大值.故答案为：.14．答案：1解析：以A为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系.则，，，，，所以，.设平面的法向量，所以所以取，可得平面的一个法向量，设，，所以，所以解得或（舍去），所以.因为，所以.四、解答题15．答案：（1）证明见解析（2）解析：（1）证明：因为，O为BD的中点，所以.又平面平面，平面ABD，平面平面，所以平面BCD.又平面BCD，所以.（2）如图，取OD的中点F，连接CF，则.过点O作交BC于点G，则.所以OG，OD，OA两两垂直.以点O为坐标原点，分别以OG，OD，OA所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系Oxyz，如图所示，则，，，.设，，又，则，所以，.设平面BCE的法向量为，则令，则，，所以.易知平面BCD的一个法向量为，因为二面角的大小为，所以.又，得，即，所以16．答案：（1）证明见解析（2）解析：（1）因为E，F分别是AC和的中点，且，所以，.连接AF，由，，得，于是，所以.由，得，故以B为坐标原点，以，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则，，，.设，则，于是.所以，所以.（2）平面的一个法向量为.设面DFE的一个法向量为，，，则，所以，令，得，，所以，所以.设面与面DFE所成的二面角为，则，故当时，面与面DFE所成的二面角的正弦值最小，为，即当时，面与面DFE所成的二面角的正弦值最小.17．答案：（1）证明见解析（2）解析：（1）证明：因为在和中，，，，所以，所以.又因为E为AC的中点，所以.因为，E为AC的中点，所以.又，所以平面BED.又因为平面ACD，所以平面平面ACD.（2）由（1）得，又，所以为等边三角形.因为，所以，.因为，，所以是等腰直角三角形，所以，.因为，所以，于是在中，设h为的边BD的高，则由等面积可得，即.连接EF，由（1）知平面BED，又平面BED，所以，于是当时，的面积最小，此时，，，所以此时F为线段BD上靠近点D的四等分点.以E为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，所以，，.设平面ABD的法向量为，则即，令，则.所以，故直线CF与平面ABD所成的角的正弦值为.18．答案：（1）证明见解析（2）解析：（1）证明：因为平面MNG，且平面ABEF，平面平面，所以.因为，所以，则，，即，所以.因为，所以，又平面平面ABEF，平面平面，平面ABCD，所以平面ABEF.（2）由（1）知，平面ABEF，因为平面ABEF，所以，所以，当且仅当时，等号成立.所以当MN的长度最小时，，G为AB中点.以点B为坐标原点，BA，BE，BC所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，则，，.设平面AMN的法向量为，则取，可得.设平面BMN的