第一讲-代数系统

离散数学（二）李翠敏cmli@1代数结构（系统）抽象代数（abstractalgebra

）在抽象代数学中，由对象集合及运算组成的数学结构被称为代数结构（algebrastructures），或代数系统不管对象集合的具体特性和对象集合上运算的具体意义，抽象的研究这些数学结构的一般特性，及运算所遵循的一般定律（如结合律、交换律、分配律等）、对这些数学结构进行分类研究。2代数系统代数的定义一个非空集合A，连同若干个定义在该集合上的运算f1,f2,…,fn，所组成的系统称为一个代数系统，简称代数。代数系统常用一个多元序组<A，D，*，…>来表示，其中A是载体，D，*，…为各种运算。代数系统的组成载体(非空集合A)定义在载体A上的若干运算(f1,f2,…,fn)代数常元第一讲6.1代数结构36.1代数结构【例题1】(a)整数集合I，以及定义在该集合上的普通加法运算“+”组成一个代数系统，可记作<I,+,0>载体I定义在I上的运算+常数0(b)一个有限集合S，由S的幂集ρ(S)，及定义在ρ(S)上的交、并、补运算组成一个代数系统。46.1代数结构代数结构的研究对象：不是单个具体的代数，而是一种类。那么，什么样的两个代数是同一种类的？1.要有相同的构成成分2.要有一组相同的称为公理的规则【例题2】考虑<I,·,1>、<ρ(S),∪,Φ>是否与<N,+,0>具有相同形式的构成成分且也具有下述公理？a+b=b+a(a+b)+c=a+(b+c)a+0=0+a

56.1代数结构n元代数运算

设A1,A2,…,An,A是非空集合，

f是从A1×A2×…×An

到A的一个映射，则称f为从集合A1×A2×…×An到A的一个n元代数运算，简称运算，n称为代数运算的阶。xnx3fx2x1y…66.1代数结构 n元代数运算的封闭性设f是从An到B的一个映射，f被称为集合An上的一个n元代数运算。若B⊆A，则称该n元运算在集合A上是封闭的。

特别地，设f是从A到A的映射，则称f是一个在A上封闭的一元运算。设f是从A2到A的映射，则称f是一个在A上的封闭的二元运算。76.1代数结构 定义：运算表

当集合A是有限集时，例如A={a1,a2,…,an}，则A上一元代数运算和二元代数运算分别用如表(a)和(b)所示的运算表来表示。

a1a2…ana1a2…an

a1a1

a1

a2…

a1ana2a1a2

a2

…

a2an………ana1ana2…

an

an△△(ai)a1a2…an△(a1)△(a2)…△(an)(a)(b)运算符集合A运算结果86.1代数结构【例题3】

一台自动售货机能接受五角和一元的硬币。当人们投入任意两枚上述硬币时，自动售货机将供应出相应的饮料，如下表设集合A＝{5角，1元}，集合B＝{雪碧，可乐，酷儿}，则上表其实是一个从A×A到B的一个映射，也即一个从A2到B的一个二元运算。问运算☆在A上是否封闭？答：不封闭☆5角1元5角雪碧可乐1元可乐酷儿96.1代数结构【例题4】

设有正整数集I+，“+”是I+上的普通加法运算。在I+上定义二元运算*为：任取x,y∈I+,x*y=x+y。令

S={2k|k∈I+}={2,4,6,8,…}

T={n|n

∈I+,n能整30}={1,2,3,5,6,10,15,30}问运算*在S和T上是否封闭?解：在S上封闭，在T上不封闭。

106.1代数结构—代数运算性质代数运算性质性质一交换律设*是定义在集合A上的一个二元运算，如果任取x,y∈A，都有

x*y=y*x，则称该二元运算是可交换的。【例题5】

设Q是有理数集合，☆是Q上的二元运算，对任意a,b∈Q,a☆b=a+b-a﹡b,其中+和﹡是普通的加法、乘法运算，问☆是否是可交换的？116.1代数结构—代数运算性质性质二结合律设*是定义在集合A上的一个二元运算，如果对于任意x,y,z∈A

，都有

x*(y*z)=(x*y)*z

则称该二元运算是可结合的。【例题6】

设A是一个非空集合，*是A上的一个二元运算，对于任意a,b∈A,有a*b=b,证明运算*是可结合的。

证明思路：任取a,b,c∈A,证明a*(b*c)=c,(a*b)*c=c

所以，a*(b*c)=(a*b)*c，*运算是可结合的。126.1代数结构—代数运算性质性质三分配律设*和○是定义在集合A上的二元运算，如果对任意的a,b,c∈A，都有

*对○左可分配

*对○右可分配则称*对○是可分配的。136.1代数结构—代数运算性质【例题7】

设集合A={α,β},在A上定义两个二元运算*和○，如下表(a)和(b)所示。运算○对运算*可分配吗？运算*对运算○呢？只能用穷举的方法来计算：左右都可分配才是可分配；答：○对*是可分配的；*对○不可分配：β*(α○

β)*α

βαβα

ββ

α○α

βα

βα

αα

β(a)(b)146.1代数结构—代数运算性质性质四吸收律设*和○是定义在集合A上的两个可交换的二元运算，如果对于任意的x,y∈A,都有

x*(x○

y)=x,x○(x*y)=x

则称运算*和○满足吸收律。156.1代数结构—代数运算性质【例题8】

设集合N是自然数全体，在N上定义两个二元运算*与○，对于任意x,y∈N，有

x*y=max(x,y),x○y=min(x,y)

验证运算*与○满足吸收律。解：对于任意a,b∈N，

a*(a○b)=max(a,min(a,b))=a

a○(a*b)=min(a,max(a,b))=a

因此，*与○满足吸收律。161/22/20256.1代数结构—代数运算性质性质五等幂律设*是定义在集合A上的一个二元运算，如果对于任意x∈A,都有

x*x=x,

则称运算*满足等幂律。176.1代数结构—代数运算性质【例题9】

设ρ(S)是集合S上的幂集，在ρ(S)上定义两个二元运算：集合的并运算∪和集合的交运算∩，验证∪和∩满足吸收律和等幂律。解答：∪和∩运算是可交换的。A,B∈ρ(S),有

A∩(A∪B)=AA∪(A∩B)=A所以∪和∩满足吸收律。又有

A∩A=AA∪A=A所以∪和∩满足等幂律。181/22/20256.1代数结构—代数运算性质性质六可约律(消去律)

设*是定义在集合上的一个二元运算，元素a∈A,如果对于任意x,y∈A,都有

a*x=a*yx=y

a是左可约的

x*a=y*ax=ya是右可约的则称a关于运算*是可约的。若A中的所有元素都是可约的，则称运算*满足可约律。196.1代数结构---代数常元代数常元代数系统中，针对某一代数运算表现出具有某些特殊性质的元素称为代数常元，常见的有：幺元、零元、逆元、等幂元等。206.1代数结构幺元左幺元：设*是定义在集合A上的一个二元运算，若存在元素el，对于A中的每一个元素x，都有

el*x=x

则称el为A中关于运算*的左幺元。右幺元：设*是定义在集合A上的一个二元运算，若存在元素er，对于A中每一个元素x,都有

x*er=x

则称er为A中关于运算*的右幺元。幺元：设*是定义在集合A上一个二元运算，若A中有一个运算e,它既是左幺元，又是右幺元，则称e为A中关于运算*的幺元，亦称作单位元。

e*x=x*e=x216.1代数结构【例题9】

设集合S={a,b,c,d},

S上定义的两个二元运算*和★的运算表如下表所示，试求出其中的左幺元和右幺元。

解：b,d都是S中关于运算*的左幺元，a是S中关于★运算的右幺元。*abcdabcddabcabcdabccabcd★abcdabcdabdcbacdcdabddbc(a)(b)226.1代数结构『定理1』设*是定义在集合A上的一个二元运算，且在A中有关于运算*的左幺元el和右幺元er,则el=er=e,且A中的幺元是唯一的。

证明思路：先证el=er=e，再证e的唯一性。证明：设el和er分别是A中关于运算*的左幺元和右幺元，则有

el=el

*er=er=e

假设另有幺元e’∈A,则有e’=e’*e=e,结论得证。236.1代数结构零元左零元：设*是定义在集合A上的一个二元运算，如果有一个元素θl∈A,对于任意的元素x∈A都有θl*x=θl，则称θl为A中关于运算*的左零元。右零元：如果有一个元素θr∈A,对于任意的元素x∈A都有x*θr=θr，则称θr为A中关于运算*的右零元。零元：如果A中的一个元素θ，它既是左零元，又是右零元，则称θ为A中关于运算*的零元。

θ*x=x*θ=θ246.1代数结构【例题10】

设“浅”表示不易褪色的浅色衣服，“深”表示易褪色的深色衣服，集合S={浅，深}，定义S的一个二元运算“混洗”，记为“*”，则*的运算表如下表所示。求S中关于*运算的幺元和零元。

解：浅色是S中关于*运算的么元；深色是S中关于*运算的零元。*

浅色

深色浅色深色

浅色深色深色深色256.1代数结构『定理2』设*是定义在集合A上一个二元运算，且在A中有关于运算*的左零元θl和右零元θr,那么θl=θr=θ，且A中的零元是唯一的。

证明：设θl和θr分别是A中关于运算*的左零元和右零元，则有θl=θl*θr=θr=θ

假设另有零元θ’∈A,则有θ’=θ’*θ=θ,结论得证。『定理3』设<A,*>是一个代数系统，且|A|>1。如果该代数系统中存在幺元e和零元θ，则e≠θ。

证明：|A|>1时，假设e=θ，则A中必存在元素a，满足

a≠e，a≠θ--------------(1)

且有

a*e=a，a*θ=θ--------------(2)

由假设e=θ，(2)可得a=θ，这与(1)矛盾，所以假设不成立，结论得证。266.1代数结构逆元设<A,*>是一个代数系统，*是定义在集合A上的一个二元运算，e是A中关于运算*的幺元。x,y∈A，如果x*y=e，那么关于运算*，x是y的左逆元，y是x的右逆元。如果一个元素b即是a的左逆元又是a的右逆元，那么称b是a的一个逆元。如果x*y=y*x=e，那么关于运算*，x与y互为逆元。运算x的逆元记为x-1。

※

一般的，元素的左逆元不一定等于其右逆元。一个元素可以有左逆元而没有右逆元，甚至左(右)逆元可以不唯一。276.1代数结构【例题11】

设集合S=｛a,b,c,d,e｝，定义在S上的二元运算*如表所示，指出代数系统<S,*>中各元素的左、右逆元情况。解：a是幺元；b的左逆元和右逆元都是c，即b和c互为逆元；d的左逆元是c而右逆元是b；b有两个左逆元c和d；e的右逆元是c，但e没有左逆元。*abcdeaabcdebbdacdccababddacdceedace286.1代数结构『定理4』设<A,*>是一个代数系统，*是定义在集合A上的一个二元运算，e是A中关于运算*的幺元。若运算*是可结合的，且元素x有左逆元l和右逆元r，则l=r。

证明：因为e是A中关于运算*的幺元且x有左逆元l和右逆元r,则有

l*x=x*r=e又运算是可结合的，所以

l=l*e=l*(x*r)=(l*x)*r=e*r=r296.1代数结构等幂元等幂元：设代数系统<A,*>,*是定义在集合A上的一个二元运算，如果存在元素a∈A,

且有a*a=a，则称a为A中关于运算*的等幂元。306.1习题【习题12】

设<A,*>为代数系统，其中A={1,2,3,4},“*”定义如下表所示：

(a)运算*是可交换的吗？为什么？

(b)运算*是可结合的吗？为什么？

(c)求A中关于运算*的幺元，并给出每个元素的逆元。

(d)A中有关于运算*的零元吗？*12341234123423413