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第八章

无穷级数1先看一下下列函数的幂级数展开函数的幂级数展开为研究函数的性质和数值计算开辟了一条重要的途径。但是上面的等式成立要取决于右边的幂级数是否收敛。为此我们先要研究数项级数的收敛性。2

无穷级数是高等数学的一个重要组成部分,它是表示函数、研究函数的性质以及进行数值计算的一种工具.

一、级数的基本概念

第一节级数的概念和性质回顾：数列的例子(1)(2)3定义8.3(级数的收敛与发散)5解收敛发散例1讨论等比级数(几何级数)

的收敛性.

6

发散发散综上所述,7例判断下列级数的敛散性.解8问题：当一个级数的和无法求出的时候，我们如何来判断它的收敛性呢？9二、级数的重要性质性质1(级数收敛的必要条件)证明10说明：1、如果级数的一般项不趋于零,则级数发散；

级数发散；112、此条件非充分条件.但级数发散.

满足12例3判断下列级数的敛散性.13由级数收敛的定义，以及极限的性质，不难证明。也收敛,且有性质2线性运算性质14注:证矛盾.15例判断下列级数的敛散性.解16去掉、添加或改变级数中的有限项,不会影响性质4它的敛散性(但收敛级数的和可能要改变).

例4判断下列级数的敛散性：

收敛

17性质3收敛级数任意加括号后仍收敛,且其和不变.证略。例如，则级数

且和不变.18级数顺向加括弧得到新的级数,比如(1)顺向加不同的括弧会得到不同的级数两个新的级数都是收敛的.思考题:19例5判断下列级数的敛散性.

推论如果加括弧后所成的级数发散,则原级数也发散.

调和级数20解将级数按如下方法加括弧21于是所以加括弧之后的级数发散，从而原级数发散。22解例6由性质3，23由性质

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