福建省南平市新光中学2021年高三数学理联考试卷含解析

福建省南平市新光中学2021年高三数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知定义在实数集R上的函数f（x）满足下列三个条件①对任意的x∈R，都有f（x+4）=f（x）．②对于任意的x1，x2∈[0，2]，x1＜x2，都有f（x1）＜f（x2）．③函数f（x+2）的图象关于y轴对称．则下列结论中，正确的是（）A．f（4.5）＜f（6.5）＜f（7） B．f（4.5）＜f（7）＜f（6.5） C．f（7）＜f（6.5）＜f（4.5） D．f（7）＜f（4.5）＜f（6.5）参考答案：B【考点】抽象函数及其应用；函数的图象．【分析】判断函数的周期性，单调性，对称轴，然后判断函数值的大小．【解答】解：定义在实数集R上的函数f（x）满足：①对任意的x∈R，都有f（x+4）=f（x）．函数是周期函数，周期为4；②对于任意的x1，x2∈[0，2]，x1＜x2，都有f（x1）＜f（x2）．说明函数在x∈[0，2]，函数是增函数；③函数f（x+2）的图象关于y轴对称．函数的对称轴x=2．则函数在x∈[2，4]，函数是增函数；f（7）=f（3）=f（1）；f（6.5）=f（2.5）=f（1.5）；f（4.5）=f（0.5）；f（1.5）＞f（1）＞f（0.5）．可得f（4.5）＜f（7）＜f（6.5）．故选：B．2.若则“”是“”

A．必要不充分条件

B．充分不必要条件

C．充要条件

D．既不充分与不必要条件参考答案：A略3.已知复数，则其共轭复数的虚部为（

）A.－1 B.1 C.－2 D.2参考答案：B【分析】利用复数乘法、除法运算化简，由此求得的共轭复数，进而求得的虚部.【详解】依题意，故，其虚部为1.故选：B.【点睛】本小题主要考查复数乘法、除法的运算，考查共轭复数的概念，考查复数虚部，属于基础题.4.函数的值域是（

）A．(－∞,－1]

B．[3,+∞)C．[－1,3]

D．(－∞,－1]∪[3,+∞)参考答案：D5.如图所示的程序框图，其功能是输入x的值，输出相应的y值．若要使输入的x值与输出的y值相等，则这样的x值有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个参考答案：A【考点】程序框图．【分析】由已知的程序框图，我们可得该程序的功能是计算并输出分段函数y=的值，结合输入的x值与输出的y值相等，我们分类讨论后，即可得到结论．【解答】解：由题意得该程序的功能是：计算并输出分段函数y=的值，又∵输入的x值与输出的y值相等，当|x|≤1时，x=x2，解得x=0，或x=1，当|x|＞1时，x=ln|x|，无解．故满足条件的x值共有2个．故选：A．6.如图，

ABCD中，AB⊥BD，沿BD将△ABD折起，使面ABD⊥面BCD，连结AC，则在四面体ABCD的四个面中，互相垂直的平面有（

）对

（

）

A．1 B．2

C．3 D．4

参考答案：答案:C7.用数学归纳法证明时，由的假设到证明时，等式左边应添加的式子是（

）A、

B、

C、

D、参考答案：B略8.如图，在平面直角坐标系xOy中，角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，它们的终边分别与单位圆相交于A,B两点,若点A,B的坐标为和，则的值为

参考答案：A略9.（5分）（2015?青岛一模）函数y=4cosx﹣e|x|（e为自然对数的底数）的图象可能是（）A．B．C．D．参考答案：A【考点】：函数的图象．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：先验证函数y=4cosx﹣e|x|是否具备奇偶性，排除一些选项，在取特殊值x=0时代入函数验证即可得到答案．解：∵函数y=4cosx﹣e|x|，∴f（﹣x）=4cos（﹣x）﹣e|﹣x|=4cosx﹣e|x|=f（x），函数y=4cosx﹣e|x|为偶函数，图象关于y轴对称，排除BD，又f（0）=y=4cos0﹣e|0|=4﹣1=3，只有A适合，故选：A．【点评】：本题主要考查函数的图象，关于函数图象的选择题，通常先验证奇偶性，排除一些选项，再代特殊值验证，属于中档题．10.已知U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，A＝{1,3,5,7}，B＝{2,4,5}，则CU(A∪B)等于A{6,8}

B{5,7}

C{4,6,7}

D{1,3,5,6,8}参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知三棱锥，两两垂直且长度均为6，

长为2的线段的一个端点在棱上运动，另一个端点在内运动（含边界），则的中点的轨迹与三棱锥的面围成的几何体的体积为

．

参考答案：略12.若是纯虚数（是虚数单位），则实数的值为

．参考答案：

13.已知，则

参考答案：，，，，，故答案为：．

14.

设函数f(x)＝若f(α)＝4，则实数α为________．参考答案：－4或215.已知数列{an}的前n项和为Sn，且，则数列的前6项和为_____.参考答案：由题意得，因为数列{}的前6项和为.16.如右上图，如果执行它的程序框图，输入正整数，那么输出的等于

．参考答案：168017.设,集合则的值是

参考答案：-1三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设数列的前项和为，且，在正项等比数列中，，.求和的通项公式；设，求数列的前项和.参考答案：，当时，，，，.又数列为等比数列，，，又，.由得：设数列的前项和为当时，，.当时，，又当时，，综上，.19.已知数列{an}和{bn}满足：a1=λ，，其中λ为实数，n为正整数．（Ⅰ）对任意实数λ，证明数列{an}不是等比数列；（Ⅱ）试判断数列{bn}是否为等比数列，并证明你的结论；（Ⅲ）设0＜a＜b，Sn为数列{bn}的前n项和．是否存在实数λ，使得对任意正整数n，都有a＜Sn＜b？若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由．参考答案：解：（Ⅰ）证明：假设存在一个实数λ，使{an}是等比数列，则有a22=a1a3，即，矛盾．所以{an}不是等比数列．（Ⅱ）解：因为bn+1=（﹣1）n+1[an+1﹣3（n+1）+21]=（﹣1）n+1（an﹣2n+14）=（﹣1）n?（an﹣3n+21）=﹣bn又b1=﹣（λ+18），所以当λ=﹣18，bn=0（n∈N+），此时{bn}不是等比数列：当λ≠﹣18时，b1=（λ+18）≠0，由上可知bn≠0，∴（n∈N+）．故当λ≠﹣18时，数列{bn}是以﹣（λ+18）为首项，﹣为公比的等比数列．（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当λ=﹣18，bn=0，Sn=0，不满足题目要求．∴λ≠﹣18，故知bn=﹣（λ+18）?（﹣）n﹣1，于是可得Sn=﹣，要使a＜Sn＜b对任意正整数n成立，即a＜﹣（λ+18）?[1﹣（﹣）n]＜b（n∈N+）得①当n为正奇数时，1＜f（n）≤；当n为正偶数时，，∴f（n）的最大值为f（1）=，f（n）的最小值为f（2）=，．于是，由①式得a＜﹣（λ+18）＜．当a＜b≤3a时，由﹣b﹣18≥=﹣3a﹣18，不存在实数满足题目要求；当b＞3a存在实数λ，使得对任意正整数n，都有a＜Sn＜b，且λ的取值范围是（﹣b﹣18，﹣3a﹣18）略20.已知函数f（x）=lnx﹣ax2+x，a∈R．（1）当a=0时，求函数f（x）在（1，f（1））处的切线方程；（2）令g（x）=f（x）﹣（ax﹣1），求函数g（x）的极值．参考答案：【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出函数的导数，计算f（1），f′（1），求出切线方程即可；（2）求出函数g（x）的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，求出函数的极值即可．【解答】解：（1）当a=0时，f（x）=lnx+x，则f（1）=1，所以切点为（1，1），又f′（x）=+1，则切线斜率k=f′（1）=2，故切线方程为：y﹣1=2（x﹣1），即2x﹣y﹣1=0；（2）g（x）=f（x）﹣（ax﹣1）=lnx﹣ax2+（1﹣a）x+1，所以g′（x）=﹣ax+（1﹣a）=，当a≤0时，因为x＞0，所以g′（x）＞0．所以g（x）在（0，+∞）上是递增函数，无极值；当a＞0时，g′（x）=，令g′（x）=0，得x=，所以当x∈（0，）时，g′（x）＞0；当x∈（，+∞）时，g′（x）＜0，因此函数g（x）在x∈（0，）是增函数，在（，+∞）是减函数，当a＞0时，函数g（x）的递增区间是（0，），递减区间是（，+∞），∴x=时，g（x）有极大值g（）=﹣lna，综上，当a≤0时，函数g（x）无极值；当a＞0时，函数g（x）有极大值﹣lna，无极小值．【点评】本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道综合题．21.某保险公司针对一个拥有20000人的企业推出一款意外险产品，每年每位职工只需要交少量保费，发生意外后可一次性获得若干赔偿金.保险公司把企业的所有岗位共分为A、B、C三类工种，从事这三类工种的人数分别为12000、6000、2000，由历史数据统计出三类工种的赔付频率如下表（并以此估计赔付概率）：工种类别ABC赔付频率

已知A、B、C三类工种职工每人每年保费分别为25元、25元、40元，出险后的赔偿金额分别为100万元、100万元、50万元，保险公司在开展此业务的过程中固定支出每年10万元.（1）求保险公司在该业务所获利润的期望值；（2）现有如下两个方案供企业选择：方案1：企业不与保险公司合作，职工不交保险，出意外企业自行拿出与保险公司提供的等额赔偿金赔偿付给出意外的职工，企业开展这项工作的固定支出为每年12万元；方案2：企业与保险公司合作，企业负责职工保费的70%，职工个人负责30%，出险后赔偿金由保险公司赔付，企业无额外专项开支.根据企业成本差异给出选择合适方案的建议.参考答案：(1)详见解析；(2)方案2．试题分析：（1）设工种职工的每份保单保险公司的收益为随机变量，可得其分布列，分别求解数学期望，即可得到该工资的期望值；（2）分别求出方案1和方案2中企业每年安全支出与固定开支，即可作出比较得到结论．试题解析：（1）设工种A、B、C职工的每份保单保险公司的收益为随机变量X、Y、Z，则X、Y、Z的分布列为X25PY25PZ40

P

保险公司的期望收益为；；；保险公司的利润的期望值为，保险公司在该业务所获利润的期望值为9万元．（2）方案1：企业不与保险公司合作，则企业每年安全支出与固定开支共为：，方案2：企业与保险公司合作，则企业支出保险金额为：，，故建议企业选择方案2．22.如图，在四棱锥A﹣BCDE中，侧面ABC为正三角形，DC=BC=2BE，BE∥CD，DC⊥BC，且侧面ABC⊥底面BCDE，P为AD的中点．（Ⅰ）证明：PE∥平面ABC；（Ⅱ）证明：平面ADE⊥平面ACD；（Ⅲ）求二面角P﹣CE﹣B的正弦值．参考答案：【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）取AC中点O，推导出四边形OPEB是平行四边形，从而PE∥OB，由此能证明PE∥平面ABC．（Ⅱ）推导出DC⊥OB，OB⊥AC，从而OB⊥面ACD，进而PE⊥面ACD，由此能证明平面ADE⊥平面ACD．（Ⅲ）以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角P﹣CE﹣B的正弦值．【解答】证明：（Ⅰ）取AC中点O，OP∥CD，OP=，∵OP∥BE，OP=BE，∴四边形OPEB是平行四边形，∴PE∥OB，∵PE?平面平面ABC，OB?平面ABC，∴PE∥平面ABC．（Ⅱ）∵DC⊥BC，且面ABC⊥面BCDE，∴DC⊥面ABC，∵BO?面ABC，∴DC⊥OB，∵OB⊥AC，又AC∩DC=C，∴OB⊥面