福建省南平市下沙中学高三数学理模拟试题含解析

福建省南平市下沙中学高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.如图，地在地的正东方向处，地在地的北偏东30°方向处，河流的没岸（曲线）上任意一点到的距离比到的距离远现要在曲线上选一处建一座码头，向、C两地转运货物.经测算，从到、到修建公路的费用分别是万元/km、万元/km，那么修建这两条公路的总费用最低是（

） A．(2－2)a万

B．5a万元 C．(2+1)a万元 D.(2+3)a万元参考答案：【知识点】双曲线的几何性质

H6Ｂ依题意知曲线是以、为焦点、实轴长为2的双曲线的一支（以为焦点），此双曲线的离心率为2，以直线为轴、的中点为原点建立平面直角坐标系，则该双曲线的方程为，点的坐标为，则修建这条公路的总费用设点、在右准线上射影分别为点，根据双曲线的定义有，所以，当且仅当点在线段上时取等号，故的最小值是.故选择Ｂ.【思路点拨】依题意知曲线是双曲线的方程为的一支，点的坐标为，则修建这条公路的总费用根据双曲线的定义有，所以.2.设f（x）﹣x2=g（x），x∈R，若函数f（x）为偶函数，则g（x）的解析式可以为（）A．x3 B．cosx C．1+x D．xex参考答案：B【考点】函数解析式的求解及常用方法；函数奇偶性的性质．【分析】根据偶函数与偶函数的和为偶函数，只要g（x）为偶函数即可．【解答】解：由题意，只要g（x）为偶函数即可，由选项可知，只有选项B的函数为偶函数；故选：B．3.已知f（x）在R上是奇函数，且满足f（x+4）=f（x），当x∈（0，2）时，f（x）=2x2，则f（7）=（）A．2 B．﹣2 C．﹣98 D．98参考答案：B【考点】函数的值．【分析】利用函数的周期性、奇偶性求解．【解答】解：∵f（x）在R上是奇函数，且满足f（x+4）=f（x），当x∈（0，2）时，f（x）=2x2，∴f（7）=f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2．故选：B．4.已知α、β均为锐角，且的值为（）A．﹣1 B．1 C． D．不存在参考答案：B【考点】两角和与差的正切函数；同角三角函数间的基本关系．【分析】由条件化简可得tanβ=tan（﹣α），再由α、β均为锐角，可得β=﹣α，即α+β=，故可求tan（α+β）的值．【解答】解：∵tanβ===tan（﹣α），又∵α、β均为锐角，∴β=﹣α，即α+β=，∴tan（α+β）=tan=1，故选B．5.已知复数为纯虚数，则m=A.

0

B.

3

C.

0或3

D.

4参考答案：B

.故选B.6.定义在R上的函数既是偶函数又是周期函数.若的最小正周期是，且当时，，则的值为A.

B.

C.

D.参考答案：答案:C7.△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，.且，则△ABC的面积为（

）A.2 B.3 C.4 D.参考答案：A【分析】根据余弦定理构造方程可求得，从而得到，根据同角三角函数求得，代入三角形面积公式可求得结果.【详解】由余弦定理得：，即解得：

本题正确选项：【点睛】本题考查余弦定理解三角形、同角三角函数值求解、三角形面积公式的应用，关键是能够利用余弦定理解得边长和角度.

8.设集合，则集合（

）

参考答案：B略9.已知函数y=f（x）是R上的可导函数，当x≠0时，有，则函数的零点个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3参考答案：B【考点】利用导数研究函数的单调性；根的存在性及根的个数判断．【专题】数形结合；转化思想；综合法；函数的性质及应用；导数的综合应用．【分析】构造函数，利用函数的导数判断函数的单调性，通过函数的图象求解函数的零点个数．【解答】解：由，可得F（x）=xf（x）﹣=0，得xf（x）=，设g（x）=xf（x），则g′（x）=f（x）+xf′（x），∵x≠0时，有，即当x＞0时，g'（x）=f（x）+xf'（x）＞0，此时函数g（x）单调递增，此时g（x）＞g（0）=0，当x＜0时，g'（x）=f（x）+xf'（x）＜0，此时函数g（x）单调递减，此时g（x）＞g（0）=0，作出函数g（x）和函数y=的图象，（直线只代表单调性和取值范围），由图象可知函数F（x）=xf（x）﹣的零点个数为1个．故选：B．【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的图象的应用，考查转化思想以及数形结合思想的应用．10.一个机器零件的三视图如图所示，其中俯视图是一个半圆内切于边长为2的正方形，则该机器零件的体积为A．8+

B．8+C．8+

D．8+参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如图，在等腰梯形ABCD中，AD=BC=AB-DC=2,点E，F分别为线段AB，BC的三等分点，0为DC的中点，则=

.

参考答案：如图，以O为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，连BO，可得为等边三角形，所以，则。所以，，故。

12.一个几何体的三视图如右图所示（单位：），则该几何体的体积为__________。参考答案：略13.展开式中，形如的项称为同序项，形如

的项称为次序项，如q是一个同序项，是一个次序项。从展开式中任取两项，恰有一个同序项和一个次序项的概率为

。参考答案：14.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，过双曲线（）的右顶点P作射线与双曲线C的两条渐近线分别交于第一象限的点M和第二象限的点N，且，的面积为，则a=________．参考答案：由等轴双曲线可设，，，，由，得，整理得，解得，，，解得，即．15.已知实数、满足不等式组，则的最大值是________。参考答案：略16..“克拉茨猜想”又称“猜想”，是德国数学家洛萨?克拉茨在1950年世界数学家大会上公布的一个猜想：任给一个正整数n，如果n是偶数，就将它减半；如果n为奇数就将它乘3加1,不断重复这样的运算，经过有限步后，最终都能够得到1.己知正整数m经过6次运算后得到1，则m的值为__________．参考答案：10或64.【分析】从第六项为1出发，按照规则逐步进行逆向分析，可求出m的所有可能的取值．【详解】如果正整数m按照上述规则经过6次运算得到1，则经过5次运算后得到的一定是2；经过4次运算后得到的一定是4；经过3次运算后得到的为8或1（不合题意）；经过2次运算后得到的是16；经过1次运算后得到的是5或32；所以开始时的数为10或64．所以正整数m的值为10或64．故答案为：10或64．【点睛】本题考查推理的应用，解题的关键是按照逆向思维的方式进行求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中档题．

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17.若函数(其中为常数且)，满足，则的解集是

.

参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）

在数列中，已知.

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）求证：数列是等差数列；

（Ⅲ)设数列满足，求的前n项和.参考答案：解：（Ⅰ）∵∴数列｛｝是首项为，公比为的等比数列，∴.………………3分（Ⅱ）∵…………………4分∴.……

5分∴，公差d=3∴数列是首项，公差的等差数列.……7分（Ⅲ）由（Ⅰ）知，，（n）∴.………8分∴，

①于是

②……9分两式①-②相减得=.………11分

∴.………12分.略19.设函数f（x）=x+ax2+blnx，曲线y=f（x）过P（1，0），且在P点处的切线斜率为2．（1）求a，b的值；（2）当x∈[1，e]时，求f（x）的最值；（3）证明：f（x）≤2x﹣2．参考答案：解：（1）函数f（x）=x+ax2+blnx的导数为．由已知条件得，解得a=﹣1，b=3．（2）f（x）的定义域为（0，+∞），由（1）知f（x）=x﹣x2+3lnx．令f′（x）=0解得．xf′（x）+0﹣f（x）增

减当x=时，取得最大值；当x=e时，取得最小值f（e）=e﹣e2+3．（3）设g（x）=f（x）﹣（2x﹣2）=2﹣x﹣x2+3lnx，，当0＜x＜1时，g′（x）＞0，当x＞1时，g′（x）＜0，则g（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减．即有x=1处取得极大值，且为最大值0故当x＞0时，g（x）≤0，即f（x）≤2x﹣2．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：方程思想；构造法；导数的综合应用；不等式的解法及应用．分析：（1）求得函数的导数，由题意可得f（1）=0，f′（1）=2，解方程可得a，b的值；（2）求得导数，求得极值点，求出端点处的函数值，可得最值；（3）构造函数g（x）=f（x）﹣（2x﹣2）=2﹣x﹣x2+3lnx，求出导数和单调区间，可得极值和最值，即可证得不等式．解答：解：（1）函数f（x）=x+ax2+blnx的导数为．由已知条件得，解得a=﹣1，b=3．（2）f（x）的定义域为（0，+∞），由（1）知f（x）=x﹣x2+3lnx．令f′（x）=0解得．xf′（x）+0﹣f（x）增

减当x=时，取得最大值；当x=e时，取得最小值f（e）=e﹣e2+3．（3）设g（x）=f（x）﹣（2x﹣2）=2﹣x﹣x2+3lnx，，当0＜x＜1时，g′（x）＞0，当x＞1时，g′（x）＜0，则g（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减．即有x=1处取得极大值，且为最大值0故当x＞0时，g（x）≤0，即f（x）≤2x﹣2．点评：本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值和最值，考查构造函数的思想方法证明不等式，属于中档题20.(12分)已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)满足f＝f(x1)－f(x2)，且当x>1时，f(x)<0.(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的单调性；(3)若f(3)＝－1，求f(x)在[2,9]上的最小值．参考答案：解(1)令x1＝x2>0，代入得f(1)＝f(x1)－f(x1)＝0，故f(1)＝0.(2)任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1>x2，则>1，由于当x>1时，f(x)<0，所以f<0，即f(x1)－f(x2)<0，因此f(x1)<f(x2)，所以函数f(x)在区间(0，＋∞)上是单调递减函数．(3)∵f(x)在[0，＋∞)上是单调递减函数，∴f(x)在[2,9]上的最小值为f(9)．由f＝f(x1)－f(x2)得f＝f(9)－f(3)，而f(3)＝－1，所以f(9)＝－2.∴f(x)在[2,9]上的最小值为－2.

略21.（本小题满分12分）记函数的定义域为集合，函数的定义域为集合.(1)求和；(2)若,求