不确定度培训(应用3412)讲解

1测量不确定度培训陈秀主讲人：2主要内容一、测量不确定度的相关定义二、测量不确定度的评定程序二、测量不确定度的结果报告三、测量不确定度的实例一、测量不确定度的相关定义掌握测量不确定的结果表述：测量结果的质量测量不确定度的相关定义测量给出关于某事物的属性，它可以告诉我们某物体有多重，或多长，或多热。测量总是通过某种仪器或器具来实现的，尺子、秒表、称秤、温度计等都是测量器具。被测量的测量结果通常由两部分组成：一个数和一个测量单位。例如人体温度37.2℃，人体温度是被测量，37.2是数，℃是单位。对于比较复杂的测量，通过实际测量获得被测量的测量数据后，通常需要对这些数据进行计算、分析、整理，有时还要将数据归纳成相应的表示式或绘制成表格、曲线等，亦即要进行数据处理，然后给出测量结果。测量不确定度用于衡量测量结果的质量。

学习和应用测量不确定度知识时要有两个非常清楚的意识：①单个随机变量是没有规律的，但是大量的随机变量的集合是有规律的——统计规律。反映随机变量统计规律的值——特征值；②人们希望通过样本的统计特征值来反映总体的特征值，但是必须注意：样本的统计特征值只是总体特征值的近似估计，而不能完全代替。例如样本的平均值不等于总体的平均值，样本的合格率不能代替总体的合格率等等。抽样只能得到总体特征值的估计范围，而不能得到确定的值。第6页测量不确定度的相关定义基本统计计算：

通过多次重复测量并进行某些统计计算，可增加测量得到的信息量。

有两项最基本的统计计算：求一组数据的平均值或算术平均值（数学期望），以及求单次测量或算术平均值的标准偏差（方差）。测量不确定度的相关定义最佳估值┈多次测量的平均值由于各种原因，例如由于环境条件的变化、测量器具没有工作在完全稳定的状态、测量人员的读数误差等，使测量的读数有变化，通常人们通过多次测量并取其读数的算术平均值给出测量结果。平均值给出的是被测量“真值”的最佳估值。一般而言，测量数值越多，得到的“真值”的估计值就越好。理想的估计值应当用无穷多数值集来求平均值。但是增加读数要做额外的工作，并增大测量成本，且会产生“缩小回报”的效果。什么是合理的次数呢？10次是普遍选择的，因为这能使计算容易。20次读数只比10次给出稍好的估计值，50次只比20次稍好。根据经验通常取6～10次读数就足够了。测量不确定度的相关定义分散范围(区间)－标准偏差测量结果的分散范围告诉了我们关于测量不确定度的情况。通过了解读数分散范围有多大，就能着手判断这次测量或这组测量的质量如何。定量给出分散范围的常见形式是标准偏差。一个数集的标准偏差给出了各个读数与该组读数平均值之差的典型值。根据“经验”，全部读数大概有三分之二（68.27％）会落在平均值的正负（±）1倍标准偏差范围内，大概有全部读数的95％会落在正负2倍标准偏差范围内。由有限个数的读数所求得的只是标准偏差的估计值，称为实验标准偏差或估计的标准偏差，用符号s表示。测量不确定度的相关定义

对同一被测量X作n次测量，表征每次测量结果分散性的量s(xi)可按下式算出：式中xi为第i次测量的结果;为所考虑的n次测量结果的算术平均值；称为残差。上式称作贝塞尔公式，它描述了各个测量值的分散度。有时将s(xi)称作单次测量结果的标准偏差，或称为实验标准差。实验标准（偏）差——贝塞尔公式测量不确定度的相关定义

用下式计算平均值的标准偏差：

需要指出，单次测量的实验标准差随着测量次数的增加而趋于一个稳定的数值；平均值的标准偏差则将随着测量次数的增加而减小，

平均值的标准（偏）差测量不确定度的相关定义标准偏差的特性10标准偏差测量次数n平均值标准差单次测量标准差

在方差计算中，自由度为和的项数减去和的限制数，记为

。在重复条件下对被测量做n次独立测量，其样本方差为:式中vi为残差。所以在方差的计算式中，和的项数即为残差vi的个数n。而且残差之和为零，即

i=0

是限制条件，故限制数为1，因此可得自由度

＝n－1。自由度

测量不确定度的相关定义14不确定度的类型——随机效应和系统效应

在测量中产生不确定度的效应有两类：（1）随机效应：重复测量给出随机的不同结果。如前所述，通过多次测量然后取平均值，可以期望获得较佳的估计值。由这种方法求取测量不确定度，称为A类不确定度评定方法。（2）系统效应：对重复测量的每一个结果都有相同的影响。在这种情况下，只靠重复测量得不到附加信息。要估计系统效应产生的测量不确定度，需要采用其他方法，如不同的测量方法或不同的计算方法。由这种方法求取测量不确定度，称为B类不确定度评定方法。测量不确定度的相关定义

A类标准不确定度标准不确定度合成标准不确定度

B类标准不确定度测量不确定度

U（当无需给出Up时,k=2~3）

扩展不确定度

Up（p为置信概率）

标准不确定度：小写英文字母u(斜体)表示扩展不确定度：大写英文字母U(斜体)表示测量不确定度的结构：合成标准不确定度影响测量结果不确定度的因素很多，为了计算总不确定度，需要将各不确定度分量进行合成。在计算合成标准不确定度之前，需要确定各输入量的标准不确定度是否彼此相关。对于大多数情况，输入量的标准不确定度是彼此互不相关的。。由A类和B类评定所计算得到的多个标准不确定度可以用“方和根（RSS）方法”有效地进行合成。这样合成的结果称为合成标准不确定度，用uc（下角标c是合成combined的词头）或uc（y）（y的合成标准不确定度）来表示。测量不确定度的相关定义定义：确定测量结果区间的量，合理赋予被测量之值分布的大部分可望含于此区间。

注：扩展不确定度有时也称展伸不确定度或范围不确定度。扩展不确定度通常用斜体大写英文字母U表示。

扩展不确定度测量不确定度的相关定义包含因子k定义：为求得扩展不确定度，对合成标准不确定度所乘之数字因子。

注：1.包含因子等于扩展不确定度与合成标准不确定度之比。

2.包含因子有时也称覆盖因子。

3.根据其含义可分为两种：

k=U/uc；kp=U/uc。

4.

一般在2~3之间。5.下脚标p为置信概率，即置信区间所需之概率。测量不确定度的相关定义二、测量不确定度的评定程序掌握20测量不确定度的评定程序1确定被测量和测量方法

包括测量原理、环境条件、所用仪器设备、测量程序和数据处理等。2建立数学模型

确定被测量与各输入量之间的函数关系。如果对被测量不确定度有贡献的分量未包括在数学模型中，应特别加以说明，如环境因素的影响3求被测量的最佳估值不确定度评定是对测量结果的不确定度评定，而测量结果应理解为被测量之值的最佳估计。测量不确定度评定步骤4确定各输入量的标准不确定度确定不确定度的各种来源。包括不确定度的A类评定和B类评定。5确定各个输入分量标准不确定度对输出量的标准不确定度的贡献由数学模型对各输入量求偏导数确定灵敏系数，然后由输入量的标准不确定度分量求输出量对应的标准不确定度分量。6求合成标准不确定度利用不确定度传播率，对输出量的标准不确定度分量进行合成。测量不确定度评定步骤（续）测量不确定度的评定程序7求扩展不确定度

根据被测量的概率分布和所需的置信水准，确定包含因子，由合成标准不确定度计算扩展不确定度。8报告测量结果的不确定度测量不确定度评定步骤（续）测量不确定度的评定程序23测量不确定度评定步骤开始建立数学模型，确定被测量Y与输入量X1、X2、…Xn的关系求最佳估值，由Xi的最佳值xi求得Y的最佳值y列出测量不确定度来源不确定度分量评定A类评定B类评定标准不确定度评定是否完成计算合成标准不确定度评定扩展不确定度不确定度报告结束确定被测量和测量方法测量不确定度的评定程序24建立测量不确定度物理模型的关键环节：

评定之前，评定人员首先应当对测量过程及其物理模型有详尽和充分地了解。也就是说，要知道我们需要测量什么？如何测量？为什么这样测量？

不确定度评定最重要的观念之一是：要理解对测量过程，从而对测量不确定度主要来源有详尽的了解。对不确定度来源的识别，要从仔细分析测量过程开始。这要求测量系统的设计人员和试验人员，需要采用各种方法对测量程序和测量系统做详细研究，所以一般要求：尽可能的画出测量系统原理或测量方法和测量流程图。某些检测领域，特别是化学样品分析，不确定度来源不易量化，有时测量不确定度只与特定的检测方法有关。测量不确定度的评定程序25建立物理模型(续)

对于初学者，通过对测量过程和测量系统的深入分析研究，列出不确定度评定所需的信息，包括：首先必须确定你需要测量什么，如何进行测量。也就是说，确定被测量和描述测量过程：

①给出测量原理框图，明确测量参数；②给出测量仪器/测量标准技术指标，并列出其计量特性；③描述被测物品技术指标；④列出测量依据的技术标准/规范/规程；⑤描述测量方法；⑥说明测量过程和环境；⑦不确定度评定中需要说明的其他信息。测量不确定度的评定程序测量不确定度的评定程序测量过程流程图测试目的：使用萃取和GC法测定面包中有机农药的残留量27建立物理模型(续)建立数学模型：根据被测量的定义和物理模型（测量方案），用一个函数关系将测量过程模型化，以确定被测量与有关量之间的函数关系。一个被测量可能依赖若干个有关量，为此，先要识别出所有被测的输入量，然后通过数学模型（函数关系），用所有的已知输入量计算输出量（最终的待测量）。

只有评定了所有各输入量的不确定度，才能给出被测量值（输出量）的不确定度。建立物理模型和相应的数学模型，实际上就给出了被测量值的不确定度主要来源。

测量不确定度的评定程序28建立数学模型(续)在多数情况下，被测量Y（输出量）不能直接测得，而是由N个其他量X1，X2，

，XN通过函数关系f来确定：Y=f(X1，X2，

，XN)式中Xi是对Y的测量结果y产生影响的影响量（即输入量）。上式称为测量模型或数学模型，或称为测量过程数学模型。

输出量Y的输入量X1，X2，

，XN本身可看作被测量，也可取决于其他量，甚至包括具有系统效应的修正值，从而可能导出一个十分复杂的函数关系式，以至函数f不能用显式表示。Y也可以用实验的方法确定，甚至只用数值方程给出。上式也可能简单到Y=X1+X2，甚至Y=X。测量不确定度的评定程序数学模型往往不是惟一的，通常取决于测量方法、测量仪器、环境条件等。数学模型在建立之初，可能不够完善，通过长期测量实践，可对数学模型进行修正，使其不断完善。数据模型与测量程序有关测量不确定度的评定程序数学模型的理解一个好的数学模型应满足下列条件：测量不确定度的评定程序31

注意，所谓最佳估值是指被测量（输出量）Y的估计值y。方法1）式中y是取

Y的n次独立观测值yk的算术平均值，其中每一个观测值yk的不确定度相同，且每一个yk都是依据同时获得的N个输入量X1一组完整的观测值求得的。方法2）式中，

是n次独立观测值xik的算术平均值，这一方法的实质：先求xi

的最佳估计值，再通过函数关系得出y。

当y是xi的线性函数时，两种方法的结果相同。当y是xi的非线性函数时，建议采用方法1）求取被测量Y的最佳估值y。测量不确定度的评定程序

利用不确定度传播率可列出各标准不确定度分量的表示式。

若被测量（输出量）Y=f(X1，X2，

，XN)的估计值为

y＝f(x1，x2，

，xN)，则y的合成标准不确定度uc(y)由相关输入量X1，X2，

，XN)的估计值x1，x2，

，xN的标准不确定度所决定：不确定度传播率测量不确定度的评定程序相关系数估计值的范围为。

由上述分析可知，被测量之值的测量结果的总不确定度，可以通过合成所有有贡献的分量的不确定度求出。因为每一次独立的仪器读数或测量值都可能受若干因素的影响，因此，对检测/校准中所包含的每一项测量都要仔细考虑，以识别出所有对不确定度有贡献的因素。这要求不确定度评定人员对测量原理、测量设备和环境条件有良好的理解，这是不确定度评定至关重要的第一步。

不确定度传播率(续)测量不确定度的评定方法（13-77）

在识别了各个分量的不确定度后，下一步必须做的是，由适当的方法对各个不确定度分量定量。根据上述分析，首先必须列出各个输出量不确定度分量的表示式：

式中传播系数或灵敏系数的含义是：等于输入量xi变化单位引起的输出量y的变化量，即起到了不确定度的传播作用。灵敏系数反映了该输入量的标准不确定度对输出量的不确定度的贡献的灵敏程度，而且标准不确定度只有乘了灵敏系数才能构成一个不确定度分量，即和输出量具有相同的单位。标准不确定度分量测量不确定度的评定程序35标准不确定度A类评定

基本方法：对观测列进行统计分析所作的评估1）在重复性条件下得出n个观测结果xi，则n次独立观测结果的算术平均值就是被测量的最佳估值，其标准偏差sest即表示被测量分散性的一个量。表6.1给出了平均值和标准偏差的估算步骤。

测量不确定度的评定程序36测量不确定度的评定程序

表6.1标准不确定度A类评定：运算说明数学公式1计算测量结果的平均值，即测量结果之和除以测量次数n

2求测量结果的残差3对每一个残差求平方和，再求残差平方和除以（n－1），其结果称为方差V

4计算单次测量测量结果的估计标准偏差（实验标准偏差，贝塞耳公式）5求单次测量的标准不确定度6求平均值的标准偏差7求平均值的标准不确定度A类不确定度分量的评估

2）进行A类不确定度评估时，重复测量次数应足够多，但有些样品只能承受一次检测（如破坏检测）或随着检测次数的增加其参数逐次变化，还有有些检测或校准因难度较大费用太高不宜作多次重复测量，这时，应采用基于t分布确定的包含因子。即用：（也叫极差法）测量不确定度的评定程序

标准不确定度A类评定的一般流程：测量不确定度的评定程序39

【实例1】

某实验室事先对某一电流量进行n＝10次重复测量，具体见表一：标准不确定度A类评定案例：测量不确定度的评定程序次数i

12345测量值mA46.446.546.446.346.5次数i

678910测量值mA46.346.346.446.446.4平均值46.39mA单次测量的标准偏差s(x)0.074mA。在同一系统中在以后做单次（n′＝1）测量，测量值x＝46.3mA，求这次测量的标准不确定度u（x）。【解】①对于单次测量，则其标准不确定度等于1倍单次测量的标准偏差：按表6.1中5x＝46.3mA，u(x)=s(x)=0.074mA。测量不确定度的评定程序②在同一系统中在以后做3（n′＝3）次测量，mA，求这次测量的标准不确定度

【解】

②对于n′＝3测量，测量结果为：

按表6.1中6和7的标准不确定度为测量不确定度的评定程序标准不确定度A类评定的两种方式：直接测量间接测量测量不确定度的评定程序43直接测量

例1：用游标卡尺测直径，重复测量九次，数据见表1，求测量结果（P＝95％）

表1序号1234567895.35.55.25.35.15.45.35.45.2测量不确定度的评定程序解:①计算测量结果的平均值：

=5.3cm②计算s=0.1225cm44③计算的标准差

标准不确定度④计算的扩展不确定度以自由度，置信概率P＝95％，查t分布表（见附表）得k＝2.31⑤测量结果报告测量结果为5.3±0.1cm，其中k＝2.31，P＝0.95测量不确定度的评定程序45间接测量实际测量中，许多量不能直接测量，或直接测量难以保证精度，需采用间接测量。●例:面积测量M=L×W●间接测量中需考虑各被测量的相关关系。相关性检验用于判断两个随机变量之间是否存在相关关系。

测量不确定度的评定程序46例：已知长方形面积的长与宽的测量结果如下：L：3.5,3.4,3.3cmW：6.3,6.5,6.5cm求面积步骤1：建立数学模型面积M=L×W步骤2：确定输入量的最佳估计值

测量不确定度的评定程序47步骤3：评估输入量的标准不确定度长度标准偏差：

长度的标准不确定度

长度自由度宽度的标准偏差：

宽度的自由度

48步骤4：评估输入量的相关关系无相关关系步骤5：计算测量结果A==3.4cm6.43cm=21.86cm²步骤6：计算合成不确定度U==+

==测量不确定度的评定程序49步骤7：评估扩展不确定度有效自由度:

=3.3

置信水平95%时，查T表可得自由度为3的包含因子K为3.18扩展不确定度=0.436cm²

×3.18=1.39cm²=1.4cm²步骤8.结果报告结果报告为：21.9±1.4；置信水平为95%，自由度为3.3测量不确定度的评定程序标准不确定度B类评定的介绍51标准不确定度B类评定

不同于A类对观测列进行统计分析的方法来评定标准不确定度，称为不确定度B类的评定，有时也称B类不确定度评定。

B类不确定度是由于系统效应导致的，因此B类不确定度评定是根据经验和资料及假设的概率分布估计的标准（偏）差表征，也就是说其原始数据并非来自观测列的数据处理，而是基于实验或其他信息来估计，含有主观鉴别的成分。B类不确定度的信息来源一般有：

测量不确定度的评定程序521.以前的观测数据；2.对测量仪器特性的了解和经验；3.生产企业提供的技术说明文件；4.校准证书（检定证书）或其他文件提供的数据、准确度的等级或级别，包括目前仍在使用的极限误差、最大允许误差等；5.手册或资料给出的参考数据及不确定度；6.规定试验方法的国家标准或类似技术文件中给出的重复性限或复现性。标准不确定度B类评定(续)测量不确定度的评定程序537.测量仪器的示值不够准确；8.标准物质的标准值不够准确；9.引用的数据或其它参量的不够准确；10.取样的代表性不够，即被测样本不能完全代表所定义的被测量；11.化学分析中的基体效应，分析空白，干扰影响，回收率及反映效率等系统影响；12.测量方法和测量程序的近似和假设；13.其他因素……标准不确定度B类评定(续)测量不确定度的评定程序标准不确定度的B类评定一般流程：测量不确定度的评定程序55B类不确定度的评定方法:B类评定的标准不确定度可以用下述五种方法得到：（Ⅰ）已知扩展不确定度和包含因子k若有关资料（如：计量校准/检定证书，仪器说明书等）给出估计值xi的扩展不确定度U(xi)为其估计值标准不确定度u(xi)的ki倍，则标准不确定度：

标准不确定度B类评定(续)测量不确定度的评定程序56（Ⅱ）已知扩展不确定度和置信概率水平：如估计值xi的扩展不确定度U(xi)不是按标准不确定度u(xi)的倍数给出，而是给出了置信概率P为90%、95%、99%的置信区间的半宽度U90、U95、U99，除非另有说明，一般按照正态分布考虑评定其标准不确定度u(xi)。对应于上述三种置信概率的包含因子kp分别为1.64、1.96或2.58，即：标准不确定度为:标准不确定度B类评定(续)测量不确定度的评定程序p(%)5068.27909595.459999.73kp0.6711.6451.96022.5763正态分布情况下置信概率p与包含因子之间的关系

表一：

57标准不确定度B类评定(续)（Ⅲ）几种常见的分布：若已知Xi估计值xi分散区间的半宽为a，且落在a－至a＋范围内的,一般采用假设Xi估计值的概率分布，可以得出xi的标准不确定度为：

几种非正态分布其包含因子为：测量不确定度的评定程序测量不确定度的评定程序（Ⅳ）数字显示式测量仪器：若数字式显示器的分辨率为：，由分辨率区间的半宽为a=/2,假设可能值在区间内为均匀分布，则标准不确定度为：

（Ⅴ）由重复性限或再现性限求测量不确定度：当明确指出输入量的两次测得之差的重复性r或再现性R时，如无特殊说明，则输入估计值的标准不确定度为：

测量不确定度的评定程序

=r/2.83

或=R/2.8360

用于测量的某台设备的校准证书中说明，在它的校准范围内的测量不确定度为U(x)＝0.12％，置信概率p＝95％。由置信概率95％，可以假定等效于用包含因子k＝2来表示该不确定度的。因此，在其校准范围内，由该设备引起的标准不确定度u(x)为：（方法Ⅱ）【例1】由校准证书数据确定标准不确定度

标准不确定度B类评定(续)测量不确定度的评定程序61【例2】校准证书给出电流表1A档的不确定度为满偏转的1.0％，置信概率95％。

由证书可知，在该档，不确定度U是1A的1.0％，k＝2。所以，应当注意，当采用这一档时，由电流表的校准引起的标准不确定度不是与读数成正比的，而是一个固定值：测量不确定度的评定程序标准不确定度B类评定(续)62检定证书判断合格的数据的应用：

对于检定证书判断合格的数据，应仔细阅读检定证书。（1）当检定证书给出准确度等级：

可以依据国家检定系统表或检定规程所规定的该等级的测量不确定度的大小进行评定，计算相应分量的标准不确定度。诸如量块、天平、砝码、标准温度计的检定证书。

测量不确定度的评定程序标准不确定度B类评定(续)63

【例3】《二等标准铂铑10-铂热电偶检定证书》给出热点偶在300℃～1100℃范围内检定合格。

由《JJG2003-1987铂铑10-铂热电偶计量器具检定系统框图(1)》可知，二等标准铂铑10-铂热电偶总不确定度为

＝1.0℃，(k=3)。所以，由二等标准铂铑10-铂热电偶引入的标准不确定度分量为：

测量不确定度的评定程序标准不确定度B类评定(续)64【例4】《1000gF1等砝码检定证书》给出检定合格。

由《JJG2053-1990质量计量器具检定系统框图》可知，1000gF1等砝码的质量总不确定度（置信概率99.73%）

z＝20mg。因此，包含因子k＝3。所以，由1000gF1等砝码引入的标准不确定度分量为：标准不确定度B类评定(续)测量不确定度的评定程序65检定证书判断合格的数据(续)

（2）没有说明级别的检定证书：当检定证书给未给出准确度级别时，可以依据国家检定系统表或检定规程所规定的该级别的最大允许误差（示值允差）进行评定假定最大允许误差为±A，则区间半宽度为a=A，服从矩形分布，包含因子为。仪器最大允许误差（示值允差）引起的标准不确定度为：测量不确定度的评定程序标准不确定度B类评定(续)66【例5】《0.2级三相标准电能表检定证书》给出检定合格，符合A型技术指标要求的结论。

查《JJG596-1999电子式电能表》检定规程，0.2级A型三相（平衡负载）标准电能表，负载电流为0.1Ib～Imax，功率因数cos

=1时，基本误差限为

0.2％。则区间半宽度为a=0.2％，服从矩形分布，包含因子。由此引起的标准不确定度为：

测量不确定度的评定程序标准不确定度B类评定(续)67【例6】仪器制造厂的说明书给出仪器的准确度（或误差）为

1%。

我们就可以假定这是对仪器最大误差限值的说明，而且所有测量值的误差值是等概率地（矩形分布）处于该限值范围[

0.01，

0.01]内。（因为大于

1%误差限的仪器，属于不合格品，制造厂不准出厂；或者检定不合格，不准投入使用。）矩形分布的包含因子，仪器误差的区间半宽度a=0.01(1%)。因此，标准不确定度为：

标准不确定度B类评定(续)测量不确定度的评定程序68【例7】制造商给出A级100mL单标线容量瓶的允差为

0.1mL。

欧洲分析化学中心(EURACHEM)认为其服从三角分布，则区间半宽度为a=0.1mL，包含因子。由此引起的引起的标准不确定度为：

测量不确定度的评定程序标准不确定度B类评定(续)69【例8】查2003年国际理论和应有化学联合会原子量和同位素丰度委员会发布的“相对原子质量表”，氧原子O的相对质量为15.9994(3)g/mol，括号内的数字“3”是指，氧原子的相对质量15.9994g/mol的最后一位数字“4”的最大允许误差为

0.0003g/mol，估计其可能概率分布为均匀分布，故包含因子k(O)=，区间半宽度a(0)=0.0003g/mol，其标准不确定度u(O)为：

测量不确定度的评定程序标准不确定度B类评定(续)70【例9】查物理手册得到黄铜在20℃时的线膨胀系数

a＝16.52×10－6℃－1，但指明最小可能值为16.40×10－6℃－1，最大可能值为16.92×10－6℃－1。

由给出的信息知道是不对称分布，这时有：a－=(16.40－16.52)×10－6℃－1＝－0.12×10－6℃－1，a＋=(16.92－16.52)×10－6℃－1＝0.40×10－6℃－1。

因此，区间半宽度a＝(a＋－a－)/2＝(0.40－0.12)/2×10－6℃－1＝0.26×10－6℃－1，假设为均匀分布，包含因子。其标准不确定度为：

标准不确定度B类评定(续)测量不确定度的评定程序71B类标准不确定度的自由度

自由度可用来衡量不确定度的可靠程度。

B类评定标准不确定度的自由度

与所得到的标准不确定度u(xi)的相对标准不确定度有关，其关系为：

式中是标准不确定度的标准差，即是标准差的标准差，不确定度的不确定度。标准不确定度B类评定(续)测量不确定度的评定程序72

当根据有关信息对所测量的输入量Xi做出某种先验概率分布的判断时，则在一定的置信概率下，所评定的标准不确定度便具有与置信概率相应的可信度，即可估计出标准不确定度的不确定度的相对标准不确定度，从而可用式(6.29)求出标准不确定度B类评定的自由度。按式(6.29)计算出的某些自由度列出于下表。自由度

i自由度

i0

0.3060.10500.4030.20120.5020.258对于检测实验室，通常可以选择B类评定的自由度

。测量不确定度的评定程序标准不确定度B类评定(续)73求各个输入分量标准不确定度对输出量y的标准不确定度的贡献

在求出各个输入量的不确定度分量ui(x)之后，还需要计算传播系数（灵敏系数）ci，最后计算由此引起的被测输出量y的标准不确定度分量：

式中传播系数或灵敏系数的含义是，输入量的估计值xi的单位变化引起的输出量的估计值y的变化量，即起到了不确定度的传播作用。

输入量标准不确定度输出量标准不确定度标准不确定度B类评定(续)测量不确定度的评定程序74（1）输出量正比于或反比于输入量的情况

直流功率P通过电压U和电流I测量确定，其数学模型为P＝U×I，单位W。如果电压测量引起标准不确定度分量为u(U)，单位V，由此引起的直流功率测量的标准不确定度用下式计算：u(P)=常数×u(U)＝cU×u(U)（W）

式中，灵敏系数（传播系数），单位A。

注意，在考虑电压U的测量不确定度时，应当将电流I视为常数。此外，必须注意灵敏系数是电流单位A。测量不确定度的评定程序标准不确定度B类评定(续)75（2）输出量正比于输入量幂次方的情况

直流功率P通过电流I和电阻R测量，其数学模型为P＝I2R，单位W。测量电流I的不确定度为，单位A。由电流测量不确定度引起的直流功率测量不确定度用下式计算：

u(P)=常数×u(I)＝cI×u(I)（W）

式中，灵敏系数（传播系数），单位A·

。

注意，在考虑电流I的测量不确定度时，应当将电阻R视为常数。此外，必须注意灵敏系数的单位是A·

。

标准不确定度B类评定(续)测量不确定度的评定程序76合成标准不确定度

得到各标准不确定度分量u(y)后，需要将各分量合成给出被测量Y的合成标准不确定度uc(y)。下标c是“combined”(合成)的第一个字母。合成之前必须将所有的不确定度分量都换算为标准不确定度。合成时，需要考虑各输入量之间的相关性。前面已经介绍了不确定度传播率。现在讨论经常遇到的标准不确定度的合成。测量不确定度的评定程序77直接测量

直接测量的量，其各分量的标准不确定度互不相关，采用方和根方法合成。例如在比较仪校准量块，直接测量被校量块与标准量块的长度差；在校验台上用标准电能表校准被校电能表的示值误差。示值误差的校准属于此类。【例】电能表示值误差不确定度评定数学模型：。

H是被检表的相对误差，

WO是三相电能表标准装置上测得的相对误差。输入量

WO的不确定度的来源主要有如下方面：①在重复条件下测量结果不重复引起的标准不确定度分量uA；②标准电能表的误差引起的标准不确定度分量uB1；③标准电能表检定装置读数分辨力引入的标准不确定度分量uB2。uA、uB1和uB1互不相关，采用方和根方法计算输入量

WO的合成标准不确定度：

合成标准不确定度(续)测量不确定度的评定程序78间接测量

间接测量是指最终的测量结果需要由多个被测量值计算给出。如果被测量Y的估计值为y，输入量Xi的估计值为xi，则有y＝f(x1，x2，

，xN)对于间接测量，首先必须求出各个输入量估计值xi的各项标准不确定度分量，然后按照直接测量的方法求出各输入量估计值xi的合成标准不确定度uc(xi)。最后再对各输入量估计值xi的合成标准不确定度uc(xi)进行合成，求出输出量估计值y的合成标准不确定度uc(y)。

测量不确定度的评定程序合成标准不确定度(续)79不相关输入量的合成

由前述不确定度传播率可知，对于输入量互不相关（彼此独立）的情况，可认为相关系数=0，有

对于大多数情况，输入量是互不相关的，这时采用上式合成，称为用方和根（RSS）方法合成。测量不确定度的评定程序合成标准不确定度(续)下列几种情况可认为量输入量Xi互不相关，即相关系数r(xi，xj)＝0：①输入量Xi互不相关；②输入量Xi属于不同体系的分量，如人员引起的不确定度分量、温度影响的不确定度分量、由上一级标准校准证书确定的不确定度分量；③r(xi，xj)在[

1,1]上对称分布；④输入量Xi弱相关等。

测量不确定度的评定程序合成标准不确定度(续)相关系数的运用--------不相关81相关输入量的合成

由不确定度传播率可知，对于输入量相关的情况，这时有协方差函数项u(xi,xj)=u(xj,xi):

下列几种情况可认为量输入Xi完全正相关，即相关系数r(xi，xj)＝＋1：①输入量Xi呈线形或近似线形关系；②输入量Xi属于同一体系的分量，如用同一米基线尺测量两个1m的长度，则各米分量之间完全相关；③若一个分量增大或减小，引起其他分量增大或减小；④如果知道量输入Xi相关，可近似取相关系数r(xi，xj)＝＋1。相关系数估计值的范围为

测量不确定度的评定程序合成标准不确定度(续)相关系数的运用--------完全正相关82相关系数=＋1

即输入量的估计值xi和xj正相关时，输出量的合成标准不确定度用下式表示：

(1)

当＝1时，合成标准不确定度为：

这种情况属于强相关。测量不确定度的评定程序合成标准不确定度(续)83(2)

对于Y=X1－X2的情况，如果相关系数r(x1，x2)＝r(x2，x1)=+1，且当时，则合成标准不确定度可用方和根（RSS）方法合成。

【例】采用配恒体称量法，第一次称得m1，加入被测物品m(

m1)后，用同一台天平第二次称得m2，则被测物品质量为：m=m2

m1。显然相关系数r(m1，m2)+1，

。可认为输入量m2和m1是弱相关的，此时测量被测物品m的合成标准不确定度可采用方和根方法计算：。因此，如果使用同一台仪器测量不同的两个量，而在数学模型中，这两个量是相减的或者是相除的（商），则它们是负相关的。这种情况可以认为是不相关的，依然可以采用方和根（RSS）方法合成。

合成标准不确定度(续)测量不确定度的评定程序84合成不确定度表达的简化有时，在输入量彼此独立的线性模型的情况下，合成不确定度的表达可以采用更为简单的形式。合成标准不确定度的三个简单规则如下：【规则1】只涉及量的和或差的线性模型，例如:。则合成标准不确定度如下：

此时，有，所以可以将上式写作：测量不确定度的评定程序合成标准不确定度(续)—几种合成方式85【例】

y=(p-q+r)，其中p=6.02，q=6.45，r=9.04；标准不确定度u(p)=0.13，u(q)=0.05，u(r)=0.22。将p，q，r代入y

，有：

y=6.02-6.45+9.04=7.61

应用规则1，有：合成标准不确定度(续)—几种合成方式测量不确定度的评定程序86【规则2】只涉及积或商的模型，如果函数f的表现形式为：,合成标准不确定度有：式中，式中，m是常数，指数pi可以是正数、负数或分数(pi的不确定度可以忽略不计)，urel(xi)＝u(xi)/xi是相对标准不确定度。其灵敏系数

ci

pi

。上式给出的是相对合成标准不确定度，对于线函数的形式，采用相对标准不确定度进行评定比较方便。

测量不确定度的评定程序合成标准不确定度(续)—几种合成方式87【例】y=x1x2

(1)x1和x2不相关

①应用规则2，采用相对标准不确定度，用方和根方法合成，输出量y的相对合成标准不确定度为：②直接应用不确定度传播率，，(2)x1和x2相关，且相关系数r(x1，x2)=1应用规则2，并考虑协方差项，输出量y的相对合成标准不确定度为：测量不确定度的评定程序合成标准不确定度(续)—几种合成方式88【例】y=(op/qr)，其中o=2.46，p=4.32，q=6.38，r=2.99，标准不确定度u(o)=0.02，u(p)=0.13，u(q)=0.11，u(r)=0.07。计算可得：y=(2.46×4.32)/(6.38×2.99)=0.56应用规则2可计算出y的相对标准不确定度：y的标准不确定度为：测量不确定度的评定程序合成标准不确定度(续)—几种合成方式89【例】y=x1/x2①x1和x2不相关。②x1和x2用同一台仪器的相同量程测量。①应用规则2，采用相对标准不确定度，用方和根方法合成，输出量y的相对合成标准不确定度为：②x1和x2是相关项，相关系数r(x1，x2)=1，但是灵敏系数分别为：和，所以输出量y的相对合成标准不确定度为：为提高可靠性，ucrel(y)可以采用方和根方法合成。测量不确定度的评定程序90【例】园形截面积试棒抗拉强度

的计算公式为，式中F是拉力，由万能试验机读数，d是用园形截面积试棒的直径，不考虑温度效应和应变率效应，求抗拉强度测量结果

的合成标准不确定度。分析可知，输入量F和d互不相关，相关函数r(F，d)＝0，应用规则2，相对合成标准不确定度为：

测量不确定度的评定程序合成标准不确定度(续)—几种合成方式91【例】，且各输入量相互独立无关。已知：x1=80，x2=20，x3=40；

u(x1)=2，u(x2)=1，u(x3)=1。求合成标准不确定度uc(y)。

【解】测量不确定度的评定程序合成标准不确定度(续)—几种合成方式92【规则3】在进行不确定度分量合成时，为方便起见，可将原始的数学模型分解，将其变为只包括上述原则之一所覆盖的形式。例如：表达式（x1＋x2）/(x3+x4)应分解成两个部分：（x1＋x2）和(x3+x4)。每个部分的临时不确定度用规则1计算，然后将这些临时不确定度用规则2合成为合成标准不确定度。

测量不确定度的评定程序合成标准不确定度(续)—几种合成方式93各不确定度分量的汇总

对于初学者而言，列表给出不确定度分量的汇总是不确定度评定必不可少的一个步骤，该步骤可以使评定人员检查所完成的不确定度评定，是否识别了对总不确定度有贡献的所有来源。也可以使评定人员进一步检查，对不确定度有贡献的所有来源是否都以足够的准确度换算成了标准不确定度。通过不确定度分量汇总，可使评定人员进一步理清思路，明确哪一个不确定度来源对测量结果的质量影响较大，从而在测量过程中重点可知该因素的影响。

表6.6是推荐给初学者的一种不确定度分量汇总表格式。

合成标准不确定度(续)----运用技巧测量不确定度的评定程序94表6.6推荐给初学者的不确定度评定汇总表不确定度来源输入量输出量数值评定类型概率分布包含因子标准不确定度灵敏系数自由度标准不确定度符号数值符号数值合成标准不确定度uc(y)扩展不确定度U(y)(取包含因子＝k2，p95%)测量不确定度的评定程序合成标准不确定度(续)----运用技巧95扩展不确定度

输出量的分布特征前面介绍了合成标准不确定度的评定，其方法是首先确定输出量的各个标准不确定度分量，然后通过计算，求出合成标准不确定度uc(y)。●为了表征每一个输入量Xi的测量不确定度，我们需要确定3个参量，即标准不确定度u(xi)、自由度

i以及其分布特征。●同样地，为了表征输出量（被测量）Y的测量不确定度，也需要确定3个参量，即合成标准不确定度uc(y)、有效自由度

eff以及其分布特征。测量不确定度的评定程序96测量不确定度可以用两个数来表示：一个是测量不确定度的大小，即置信区间；一个是置信概率（或称置信水准）；表明测量结果落在该区间有多大把握。到目前我们仅给出了标准不确定度分量和合成标准不确定度的评定方法，标准不确定度分量的置信概率都比较低。例如服从正态分布的合成标准不确定度的置信概率p

68％左右。为了提高测量的可靠性，需要将置信区间进行扩大，以提供一个较高的置信概率。因此，可将合成标准不确定度uc(y)乘以包含因子（覆盖因子、扩展因子、范围因子）k，以给出扩展不确定度。

测量不确定度的评定程序扩展不确定度----含义97

用包含因子k乘以合成标准不确定度uc所给出的结果称为扩展不确定度，通常用表示U，即U＝kuc。

扩展不确定度有两种表示形式，一种与测量结果y有相同的计量单位：

U（y）=kuc(y)另一种是相对扩展不确定度，通常用％表示：

测量不确定度的评定程序扩展不确定度----含义98包含因子k的选择

包含因子k的确定，有以下3种情况：

(1)

当给出或能够求出各输入分量不确定度的自由度

i，并可以据此求出有效自由度

eff时，如果自由度

eff的值较小，则需要根据

eff和设定的置信水准（置信概率）p查t分布表，查得的临界值tp(

eff)就是所需的包含因子kp值。

有时将给定k值的扩展不确定度表示为U或U(y)；

或将通过给定置信水准（置信概率）p求出的包含因子k表示为kp，对应的扩展不确定度表示为Up或Up(y)，如U95或U95(y)。扩展不确定度测量不确定度的评定程序99包含因子k的选择

(2)

当被测量的Y可能值y及其合成标准不确定度uc(y)的概率分布近似为正态分布，且uc(y)的有效自由度

eff较大（

eff

50）时，在合成标准不确定度uc(y)确定后，直接给出相应的包含因子k即可，通常取k=2~3。k=2时，对应的置信概率p

95%；k=3时，置信概率p

99.73%。

测量不确定度的评定程序扩展不确定度100【例7.1】一个被测量Y的可能值y的分布特征由一个占主导作用的输入分量决定，并具有半宽度为a的均匀分布（y的所有值以等概率落在y

a和y

a的区间内），其标准不确定度，若取k＝2，则对应的扩展不确定度，这就比已知的可能误差限大15％。均匀分布的kp与Up(y)之间的关系如下：U95(y)，kp＝1.65U99(y)，

kp＝1.71对于普通的检测和校准实验室，如果没有特殊的要求，通常取包含因子k=2。测量不确定度的评定程序(3)如果可以确定被测量Y的可能值y及其合成标准不确定度uc(y)的概率分布不是正态分布，而是接近于其他分布，这时绝对不能按k＝2~3，或kp＝tp（

eff）计算U(y)或Up(y)。

测量结果最后报告三个方面的应用：测量不确定度报告内容测量不确定度的有效位数报告不确定度的报告形式测量不确定度报告103测量结果最后报告测量结果及其不确定度报告的有效位数●报告测量不确定度首先必须报告测量结果。●最后结论的合成标准不确定度或扩展不确定度，其有效数字很少超过2位数（中间计算过程的不确定度，可以多取一位）。●带低位数的扩展不确定度不按数据修约规则舍取，而是直接进位。●测量不确定度的有效位取到测量结果相应的有效位数。

则测量结果的报告可以有以下四种形式：（1）ms=100.02147g，U＝2×0.35=0.70mg，k＝2；（2）ms=（100.02147g

0.00070g），k＝2。测量结果最后报告U=kuc(y)的报告常采用以下四种形式之一【例8.1】

如果测量某物品质量，测量值为：ms=100.02147g，其测量不确定度评定结果为：uc(y)＝0.35mg，取包含因子k

＝2，U＝kuc(y)＝2×0.35=0.70mg，105U=kpuc(y