2025年人教版（2024）高三数学下册月考试卷含答案

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年人教版（2024）高三数学下册月考试卷含答案考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五总分得分评卷人得分一、选择题(共7题，共14分)1、在复平面内，复数z=所对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2、已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1=AB=2，若棱AB上存在点P，使得D1P⊥PC，则AD的取值范围是（）A.[1，2）B.C.（0，1]D.（0，2）3、函数y=的定义域是（）

A.（-3；2）∪（2，3）

B.[-3；2）∪（2，3]

C.[-3；3]

D.（-3；3）

4、直线y=x+3与曲线-+=1交点的个数是（）

A.0

B.1

C.2

D.3

5、两个正数a、b的等差中项是2，一个等比中项是则双曲线的离心率是（）

A.

B.

C.

D.或

6、已知E，F，G，H是空间四点，命题甲：E，F，G，H四点不共面，命题乙：直线EF和GH不相交，则甲是乙的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7、【题文】已知～且则等于()A.B.C.D.评卷人得分二、填空题(共5题，共10分)8、若正方体ABCD-A1B1C1D1的外接球O的体积为4π，则球心0到正方体的一个面ABCD的距离为____．9、定义在R上的函数，则Sn=____．10、在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为____．11、【题文】所有真约数（除本身之外的正约数）的和等于它本身的正整数叫做完全数．

如：

．

已经证明：若是质数，则是完全数，请写出一个四位完全数____；又所以的所有正约数之和可表示为

所以的所有正约数之和可表示为

按此规律，的所有正约数之和可表示为____．12、已知抛物线C：y2=8x，O为坐标原点，直线x=m与抛物线C交于A，B两点，若△OAB的重心为抛物线C的焦点F，则|AF|=______．评卷人得分三、判断题(共9题，共18分)13、判断集合A是否为集合B的子集；若是打“√”，若不是打“×”．

（1）A={1，3，5}，B={1，2，3，4，5，6}．____；

（2）A={1，3，5}，B={1，3，6，9}．____；

（3）A={0}，B={x|x2+1=0}．____；

（4）A={a，b，c，d}，B={d，b，c，a}．____．14、函数y=sinx，x∈[0，2π]是奇函数．____（判断对错）15、已知函数f（x）=4+ax-1的图象恒过定点p，则点p的坐标是（1，5）____．（判断对错）16、判断集合A是否为集合B的子集；若是打“√”，若不是打“×”．

（1）A={1，3，5}，B={1，2，3，4，5，6}．____；

（2）A={1，3，5}，B={1，3，6，9}．____；

（3）A={0}，B={x|x2+1=0}．____；

（4）A={a，b，c，d}，B={d，b，c，a}．____．17、函数y=sinx，x∈[0，2π]是奇函数．____（判断对错）18、已知A={x|x=3k-2，k∈Z}，则5∈A．____．19、空集没有子集．____．20、任一集合必有两个或两个以上子集．____．21、若b=0，则函数f（x）=（2k+1）x+b在R上必为奇函数____．评卷人得分四、解答题(共1题，共6分)22、【题文】如图所示，在正三棱柱中，底面边长为侧棱长为是棱的中点.

。

。

(Ⅰ)求证:平面（Ⅱ）求二面角的大小；

（Ⅲ）求点到平面的距离.

评卷人得分五、证明题(共3题，共6分)23、已知a＞0，b∈R，函数f（x）=4ax2-2bx-a+b；x∈[0，1]．

（Ⅰ）当a=b=2时；求函数f（x）的最大值；

（Ⅱ）证明：函数f（x）的最大值|2a-b|+a；

（Ⅲ）证明：f（x）+|2a-b|+a≥0．24、用数学归纳法证明+++=，n是正整数，假设n=k时，等式成立，则当n=k+1时，应推证的目标等式是____．25、若正整数数列1，2，3，，2n（n∈N*）中各项的最大奇数因子的和为an﹒求证：参考答案一、选择题(共7题，共14分)1、D【分析】【分析】化简复数为a+bi的形式，即可判断对应点所在象限．【解析】【解答】解：复数z==（1-i）-i=-i；

复数对应点为（，-）在第四象限．

故选：D．2、C【分析】【分析】建立空间直角坐标系，设AD=a，求出、，利用•=0求出a的范围．【解析】【解答】解：如图建立坐标系；

设AD=a（a＞0）；AP=x（0＜x＜2）；

则P（a；x，2），C（0，2，2）；

∴=（a，x，2），=（a；x-2，0）；

∵D1P⊥PC；

∴•=0；

即a2+x（x-2）=0，a==；

当0＜x＜2时；a∈（0，1]．

故选：C．3、B【分析】

要使函数有意义，则有

所以-3≤x≤3且x≠2；所以函数的定义域为[-3，2）∪（2，3]．

故选B．

【解析】【答案】利用函数的性质确定函数的定义域；分母不等于0，偶次根式大于0，然后求交集．

4、C【分析】

当x≥0时，曲线方程是．

这是焦点在y轴上的双曲线的右边的一半；

当x≤0时，曲线方程是．

这是焦点在y轴上的椭圆在y轴的左边的一半；

直线y=x+3是经过点（0，3）（双曲线和椭圆的共同顶点）斜率是的直线；

由此直线和曲线有三个不同的交点（其中一个是顶点对应x=0）．

故选C．

【解析】【答案】当x≥0时，曲线方程是．这是焦点在y轴上的双曲线的右边的一半；当x≤0时，曲线方程是．这是焦点在y轴上的椭圆在y轴的左边的一半；直线y=x+3是经过点（0，3）（双曲线和椭圆的共同顶点）斜率是的直线；由此能得到直线和曲线有不同的交点的个数．

5、D【分析】

∵两个正数a、b的等差中项是2，一个等比中项是

∴∴a=1，b=3或a=3，b=1．

当a=1，b=3时，双曲线方程是

当a=3，b=1时，双曲线方程是．

故选D．

【解析】【答案】由两个正数a、b的等差中项是2，一个等比中项是知所以a=1，b=3或a=3，b=1．由此能求出答案．

6、A【分析】【解析】试题分析：由命题甲：E，F，G，H四点不共面可得到命题乙：直线EF和GH不相交成立，可用反证法证明；当命题乙：直线EF和GH不相交时命题甲：E，F，G，H四点不共面不成立，例如EF∥GH考点：充分条件与必要条件【解析】【答案】A7、A【分析】【解析】

试题分析：∵～∴∴故选A

考点：本题考查了二项分布。

点评：熟练掌握二项分布列的期望、方差公式是解决此类问题的关键，属基础题【解析】【答案】A二、填空题(共5题，共10分)8、略

【分析】【分析】根据球的体积公式算出球的半径R=，从而得到正方体的对角线长为2，可得正方体的棱长为2．再由球心O是正方体ABCD-A1B1C1D1的中心，得到点O到正方体的一个面的距离等于正方体棱长的一半，从而算出答案．【解析】【解答】解设球O的半径为R，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a；

∵正方体ABCD-A1B1C1D1内接于球O；

∴正方体的对角线长等于球O的直径，可得2R=a．

又∵球O的体积为4π；

∴V=•R3=4π，解得R=；

由此可得a=2R=2；解得a=2．

∵球O是正方体ABCD-A1B1C1D1的外接球；

∴点O是正方体ABCD-A1B1C1D1的中心；

可得点O到正方体的一个面的距离等于正方体棱长的一半，即d=a=1．

因此；球心O到正方体的一个面ABCD的距离等于1．

故答案为：1．9、略

【分析】【分析】由已知条件推导出f（x）=1-，f（）+f（）=1，由此能求出结果．【解析】【解答】解：在R上的函数；

∴f（x）=1-；

∴f（）+f（）=1；当n为奇数时，即总共有n-1项，项数为偶数；

则sn=；

而当n为偶数时；即项数为奇数；

那么我们知道两边相加共可以产生个1．

中间项是f（）=f（）；

∴Sn=1•+=．

综上所述，即无论n为奇数还是偶数，．

故答案为：．10、略

【分析】

平面上；若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4；

类似地；由平面图形面积类比立体图形的体积，得出：

在空间内；若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为1：8

故答案为：1：8．

【解析】【答案】根据平面与空间之间的类比推理；由点类比点或直线，由直线类比直线或平面，由平面图形面积类比立体图形的体积，结合三角形的面积比的方法类比求四面体的体积比即可．

11、略

【分析】【解析】

试题分析：（1）由若是质数，则是完全数可知，是质数，所以是完全数。（2）因为所以的所有正约数之和可表示为

考点：合情推理。【解析】【答案】12、略

【分析】解：由题意可知：抛物线C：y2=8x；焦点坐标为F（2，0）；

由△OAB的重心为抛物线C的焦点F；

则丨OD丨=3，丨DF丨=1，A点纵坐标y=2

则丨AF丨===5；

故答案为：5．

由三角形的重心公式及抛物线的焦点坐标；求得丨OF丨及丨DF丨，代入抛物线方程求得丨AD丨，利用勾股定理即可求得|AF|．

本题考查抛物线的性质及三角形重心的应用，考查计算能力，属于基础题．【解析】5三、判断题(共9题，共18分)13、√【分析】【分析】根据子集的概念，判断A的所有元素是否为B的元素，是便说明A是B的子集，否则A不是B的子集．【解析】【解答】解：（1）1；3，5∈B，∴集合A是集合B的子集；

（2）5∈A；而5∉B，∴A不是B的子集；

（3）B=∅；∴A不是B的子集；

（4）A；B两集合的元素相同，A=B，∴A是B的子集．

故答案为：√，×，×，√．14、×【分析】【分析】根据奇函数的定义进行判断即可得到答案．【解析】【解答】解：∵x∈[0；2π]，定义域不关于原点对称；

故函数y=sinx不是奇函数；

故答案为：×15、√【分析】【分析】已知函数f（x）=ax-1+4，根据指数函数的性质，求出其过的定点．【解析】【解答】解：∵函数f（x）=ax-1+4；其中a＞0，a≠1；

令x-1=0，可得x=1，ax-1=1；

∴f（x）=1+4=5；

∴点P的坐标为（1；5）；

故答案为：√16、√【分析】【分析】根据子集的概念，判断A的所有元素是否为B的元素，是便说明A是B的子集，否则A不是B的子集．【解析】【解答】解：（1）1；3，5∈B，∴集合A是集合B的子集；

（2）5∈A；而5∉B，∴A不是B的子集；

（3）B=∅；∴A不是B的子集；

（4）A；B两集合的元素相同，A=B，∴A是B的子集．

故答案为：√，×，×，√．17、×【分析】【分析】根据奇函数的定义进行判断即可得到答案．【解析】【解答】解：∵x∈[0；2π]，定义域不关于原点对称；

故函数y=sinx不是奇函数；

故答案为：×18、×【分析】【分析】判断5与集合A的关系即可．【解析】【解答】解：由3k-2=5得，3k=7，解得k=；

所以5∉Z；所以5∈A错误．

故答案为：×19、×【分析】【分析】根据空集的性质，分析可得空集是其本身的子集，即可得答案．【解析】【解答】解：根据题意；空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集；

即空集是其本身的子集；则原命题错误；

故答案为：×．20、×【分析】【分析】特殊集合∅只有一个子集，故任一集合必有两个或两个以上子集错误．【解析】【解答】解：∅表示不含任何元素；∅只有本身一个子集，故错误．

故答案为：×．21、√【分析】【分析】根据奇函数的定义即可作出判断．【解析】【解答】解：当b=0时；f（x）=（2k+1）x；

定义域为R关于原点对称；

且f（-x）=-（2k+1）x=-f（x）；

所以函数f（x）为R上的奇函数．

故答案为：√．四、解答题(共1题，共6分)22、略

【分析】【解析】本试题主要考查了立体几何中的线面平行和二面角的求解以及点面距离的求解运算。

证明：(Ⅰ)连结与交于

则为的中点，为的中点，为的中位线，//又平面平面//平面

（Ⅱ）(解法1)过作于由正三棱柱的性质可知；

平面连结在正中，

在直角三角形中，

由三垂线定理的逆定理可得则为二面角的平面角；

又得

∴故所求二面角的大小为【解析】【答案】（1）见解析；（2）五、证明题(共3题，共6分)23、略

【分析】【分析】（Ⅰ）求出当a=b=2时；f（x）的解析式，求出对称轴，求得端点的函数值，可得f（x）的最大值；

（Ⅱ）求出对称轴；讨论区间和对称轴的关系，结合单调性，可得最大值；

（Ⅲ）要证f（x）+|2a-b|+a≥0恒成立，只需证f（x）min+|2a-b|+a≥0，设f（x）的最小值为m，最大值为M，由（Ⅱ）得M=|2a-b|+a，求出对称轴，讨论对称轴和区间[0，1]的关系，可得最值，即可证明M+m＞0．【解析】【解答】解：（Ⅰ）当a=b=2时，f（x）=8x2-4x；x∈[0，1]．

对称轴为x=；f（0）=0，f（1）=4；

可得f（x）的最大值为4；

（Ⅱ）证明：f（x）的对称轴为x=；

当＞1时；区间[0，1]为减区间；

可得f（x）的最大值为f（0）=b-a；

由b＞4a＞2a，可得|2a-b|+a=b-2a+a=b-a；

则f（0）=|2a-b|+a；

当＜0时；区间[0，1]为增区间；

可得最大值为f（1）=3a-b；

由b＜0，可得|2a-b|+a=2a-b+a=3a-b=f（1）；

当0≤≤1时，区间[0，]为减区间，[；1]为增区间；

若f（0）≤f（1），即b≤2a，可得最大值为f（1）=3a-b=|2a-b|+a；

若f（0）＞f（1），即2a＜b≤4a，可得最大值为f（0）=b-a=|2a-b|+a．

综上可得函数f（x）的最大值|2a-b|+a；

（Ⅲ）证明：要证f（x）+|2a-b|+a≥0恒成立；

只需证f（x）min+|2a-b|+a≥0；

设f（x）的最小值为m，最大值为M，由（Ⅱ）得M=|2a-b|+a；

由f（x）的对称轴为x=；

当＞1时，区间[0，1]为减区间，可得m=f（1）=3a-b；

则M+m=b-2a+a+3a-b=2a＞0；

当＜0时，区间[0，1]为增区间，可得m=f（0）=b-a；

M=f（1）=3a-b；则M+m=2a＞0；

当0≤≤1时，区间[0，]为减区间，[