2025年仁爱科普版高三数学上册阶段测试试卷含答案

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年仁爱科普版高三数学上册阶段测试试卷含答案考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共5题，共10分)1、已知双曲线的左右焦点分别为F1，F2，以|F1F2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为（1，2），则此双曲线方程为（）A.B.C.D.2、已知函数f（x）=，若f（x0）＞4，则x0的取值范围（）A.（-2，2）B.（-∞，-2）∪（2，+∞）C.（-，2）D.（-∞，-）∪（2，+∞）3、用数学归纳法证明1++（n∈N且n＞1），第二步证明中从“k到k+1”时，左端增加的项数是（）A.2k+1B.2k-1C.2kD.2k-14、不论a为何值时，函数恒过一定点，这个定点坐标是（）A.（1，）B.（1，）C.（-1，）D.（-1，）5、【题文】设是椭圆上的点．若是椭圆的两个焦点，则等于（）A.4B.5C.8D.10评卷人得分二、填空题(共8题，共16分)6、实数x，y满足条件，则2x+5y的最大值是____．7、与圆C：（x-2）2+（y+1）2=4相切于点（4，-1）且半径为1的圆的方程是____．8、已知点P（x，y）的坐标满足条件则x2+y2的最大值为____．9、函数f（x）=，则f（x+3）=____．10、若，则=____．11、下列命题：

①“全等三角形的面积相等”的逆命题；

②“若ab=0；则a=0”的否命题；

③“正三角形的三个角均为60°”的逆否命题．

其中真命题的序号是____（把所有真命题的序号填在横线上）．12、已知向量的夹角为且则向量在向量方向上的投影是________．13、【题文】命题“x∈R，”的否定是____评卷人得分三、判断题(共8题，共16分)14、判断集合A是否为集合B的子集；若是打“√”，若不是打“×”．

（1）A={1，3，5}，B={1，2，3，4，5，6}．____；

（2）A={1，3，5}，B={1，3，6，9}．____；

（3）A={0}，B={x|x2+1=0}．____；

（4）A={a，b，c，d}，B={d，b，c，a}．____．15、已知函数f（x）=4+ax-1的图象恒过定点p，则点p的坐标是（1，5）____．（判断对错）16、判断集合A是否为集合B的子集；若是打“√”，若不是打“×”．

（1）A={1，3，5}，B={1，2，3，4，5，6}．____；

（2）A={1，3，5}，B={1，3，6，9}．____；

（3）A={0}，B={x|x2+1=0}．____；

（4）A={a，b，c，d}，B={d，b，c，a}．____．17、函数y=sinx，x∈[0，2π]是奇函数．____（判断对错）18、已知函数f（x）=4+ax-1的图象恒过定点p，则点p的坐标是（1，5）____．（判断对错）19、空集没有子集．____．20、任一集合必有两个或两个以上子集．____．21、若b=0，则函数f（x）=（2k+1）x+b在R上必为奇函数____．评卷人得分四、简答题(共1题，共9分)22、如图，在直角梯形ABCD中，AD//BC，当E、F分别在线段AD、BC上，且AD=4，CB=6，AE=2，现将梯形ABCD沿EF折叠，使平面ABFE与平面EFCD垂直。1.判断直线AD与BC是否共面，并证明你的结论；2.当直线AC与平面EFCD所成角为多少时，二面角A—DC—E的大小是60°。评卷人得分五、证明题(共2题，共10分)23、如图；在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AB=AD=2，CD=4，将三角形ABD沿BD翻折，使面ABD⊥面BCD．

（Ⅰ）求线段AC的长度；

（Ⅱ）求证：AD⊥平面ABC．24、如图所示，在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，D是B的中点，E是AB上一点，且AE=2EB，求证：AD⊥CE．评卷人得分六、综合题(共4题，共40分)25、已知△ABC的三边长分别为AB=5；BC=4，AC=3，M是AB边上的点，P是平面ABC外一点，给出下列四个命题：

①若PA⊥平面ABC；则三棱锥P-ABC的四个面都是直角三角形；

②若PM⊥平面ABC；且M是AB边的中点，则有PA=PB=PC；

③若PC=5，PC⊥平面ABC，则△PCM面积的最小值为；

④若PB=5，PB⊥平面ABC，则三棱锥P-ABC的外接球体积为；

其中正确命题是____．26、如图所示的图形为一隧道的截面，其中ABCD是矩形，CED是抛物线的一段，在工程的设计中，要注意开凿隧道所需挖掘的土石方量，这就需要计算这个截面的面积，试根据图中所给出的数据计算这个截面的面积．27、如图1；在直角梯形ABCD中，∠ABC=∠DAB=90°，∠CAB=30°，BC=2，AD=4．把△DAC沿对角线AC折起到△PAC的位置，如图2所示，使得点P在平面ABC上的正投影H恰好落在线段AC上，连接PB，点E，F分别为线段PA，PB的中点．

（Ⅰ）求证：平面EFH∥平面PBC；

（Ⅱ）求直线HE与平面PHB所成角的正弦值；

（Ⅲ）在棱PA上是否存在一点M，使得M到P，H，A，F四点的距离相等？请说明理由．28、已知函数f（x）=x+

（1）判断函数的奇偶性；并加以证明；

（2）用定义证明f（x）在（0，1）是减函数．参考答案一、选择题(共5题，共10分)1、C【分析】【分析】由题意知c==，点（1，2）在y=x上，由此能求出双曲线的方程．【解析】【解答】解：∵双曲线的左右焦点分别为F1，F2；

以|F1F2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为（1；2）；

∴由题意知c==；

∴a2+b2=5；①

又点（1，2）在y=x上，∴；②

由①②解得a=1，b=2；

∴双曲线的方程为=1．

故选：C．2、B【分析】【分析】根据已知中函数f（x）=，分类讨论满足f（x0）＞4的x0的取值范围，最后综合讨论结果，可得答案．【解析】【解答】解：∵函数f（x）=；

当x0＞0时，f（x0）＞4可化为：x02＞4，解得x0∈（2；+∞）；

当x0≤0时，f（x0）＞4可化为：＞4=，解得x0∈（（-∞；-2）；

综上所述，若f（x0）＞4，则x0的取值范围为（-∞；-2）∪（2，+∞）；

故选：B3、C【分析】【分析】当n=k时，写出左端，并当n=k+1时，写出左端，两者比较，关键是最后一项和增加的第一项的关系．【解析】【解答】解：当n=k时，左端=1++；

那么当n=k+1时左端=1+++++=1+++++；

∴左端增加的项为+++，所以项数为：2k．

故选：C．4、C【分析】【分析】由已知中，不论a为何值时，函数恒过一定点，我们可将函数的解析式变形为（）a-（2x+y）=0的形式，则根据=0，2x-y=0，构造一个关于x，y的方程，解方程即可求出定点坐标．【解析】【解答】解：函数的解析式可化为。

（）a-（2x+y）=0

若不论a为何值时，函数恒过一定点；

即不论a为何值时，（）a-（2x+y）=0恒成立。

则=0，2x+y=0

解得x=-1，y=-，即恒过的定点坐标是（-1，）

故选C．5、D【分析】【解析】由椭圆的第一定义知【解析】【答案】D二、填空题(共8题，共16分)6、略

【分析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义进行求解即可．【解析】【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：

由z=2x+5y，得y=x+表示；

平移直线y=x+，当直线y=x+经过点B时，直线y=x+的截距最大；此时z最大；

由，即；即B（2，3）；

此时zmax=2×2+5×3=19．

故答案为：19．7、略

【分析】【分析】设所求的圆的圆心为A（a，b），则由题意可得A、C（2，-1）和点B（4，-1）在同一条直线上，根据它们的斜率相等以及AB=1，求得a和b的值，从而求得圆的方程．【解析】【解答】解：设所求的圆的圆心为A（a，b）；由于C（2，-1）；

则由题意可得A；C（2；-1）和点B（4，-1）在同一条直线上；

故有=，求得b=-1．

再结合AB=1；可得a=5或a=3，即圆心A（5，-1），或A（3，-1）；

故所求圆的方程为（x-5）2+（y+1）2=1，或（x-3）2+（y+1）2=1；

故答案为：（x-5）2+（y+1）2=1，或（x-3）2+（y+1）2=1．8、略

【分析】【分析】先画出满足约束条件件的平面区域，z=x2+y2表示动点到原点的距离的平方，只需求出可行域内的动点到原点的距离最大值即可．【解析】【解答】解：满足约束条件件的平面区域如下图所示：

因为目标函数所表示的几何意义是动点到原点的距离的平方；

由图得当为A点时取得目标函数的最大值；

可知A点的坐标为（1；3）；

代入目标函数中，可得zmax=32+12=10．

故答案为：10．9、略

【分析】【分析】利用函数的性质求解．【解析】【解答】解：∵f（x）=；

∴f（x+3）=．

故答案为：．10、略

【分析】【分析】利用二倍角的余弦公式、正切公式化简，再利用条件，即可得出结论．【解析】【解答】解：∵；

∴=+tan2α====．

故答案为：．11、略

【分析】

①“全等三角形的面积相等”的逆命题是“面积相等的三角形是全等三角形”；因为三角形的面积相等，但三角形的形状不一定相同，所以①错误．

②“若ab=0，则a=0”的否命题是“若ab≠0，则a≠0”，当ab≠0时，则a≠0且b≠0；所以②正确．

③因为正三角形的三个角均为60°；所以原命题正确．因为原命题和逆否命题互为等价命题，所以原命题的逆否命题也正确．所以③正确．

故答案为：②③．

【解析】【答案】①写出逆命题；进行判断．②写出否命题进行判断．③写出逆否命题或者利用等价命题进行判断．

12、略

【分析】试题分析：：向量在向量方向上的投影：故答案为：0．考点：平面向量数量积的运算．【解析】【答案】13、略

【分析】【解析】

试题分析：因为，存在性命题的否定是全称命题，所以，命题“x∈R，”的否定是

考点：全称命题与存在性命题的关系。

点评：简单题，存在性命题的否定是全称命题，全称命题的否定是存在性命题。【解析】【答案】三、判断题(共8题，共16分)14、√【分析】【分析】根据子集的概念，判断A的所有元素是否为B的元素，是便说明A是B的子集，否则A不是B的子集．【解析】【解答】解：（1）1；3，5∈B，∴集合A是集合B的子集；

（2）5∈A；而5∉B，∴A不是B的子集；

（3）B=∅；∴A不是B的子集；

（4）A；B两集合的元素相同，A=B，∴A是B的子集．

故答案为：√，×，×，√．15、√【分析】【分析】已知函数f（x）=ax-1+4，根据指数函数的性质，求出其过的定点．【解析】【解答】解：∵函数f（x）=ax-1+4；其中a＞0，a≠1；

令x-1=0，可得x=1，ax-1=1；

∴f（x）=1+4=5；

∴点P的坐标为（1；5）；

故答案为：√16、√【分析】【分析】根据子集的概念，判断A的所有元素是否为B的元素，是便说明A是B的子集，否则A不是B的子集．【解析】【解答】解：（1）1；3，5∈B，∴集合A是集合B的子集；

（2）5∈A；而5∉B，∴A不是B的子集；

（3）B=∅；∴A不是B的子集；

（4）A；B两集合的元素相同，A=B，∴A是B的子集．

故答案为：√，×，×，√．17、×【分析】【分析】根据奇函数的定义进行判断即可得到答案．【解析】【解答】解：∵x∈[0；2π]，定义域不关于原点对称；

故函数y=sinx不是奇函数；

故答案为：×18、√【分析】【分析】已知函数f（x）=ax-1+4，根据指数函数的性质，求出其过的定点．【解析】【解答】解：∵函数f（x）=ax-1+4；其中a＞0，a≠1；

令x-1=0，可得x=1，ax-1=1；

∴f（x）=1+4=5；

∴点P的坐标为（1；5）；

故答案为：√19、×【分析】【分析】根据空集的性质，分析可得空集是其本身的子集，即可得答案．【解析】【解答】解：根据题意；空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集；

即空集是其本身的子集；则原命题错误；

故答案为：×．20、×【分析】【分析】特殊集合∅只有一个子集，故任一集合必有两个或两个以上子集错误．【解析】【解答】解：∅表示不含任何元素；∅只有本身一个子集，故错误．

故答案为：×．21、√【分析】【分析】根据奇函数的定义即可作出判断．【解析】【解答】解：当b=0时；f（x）=（2k+1）x；

定义域为R关于原点对称；

且f（-x）=-（2k+1）x=-f（x）；

所以函数f（x）为R上的奇函数．

故答案为：√．四、简答题(共1题，共9分)22、略

【分析】

1.是异面直线，（1分）法一（反证法）假设共面为．．又．这与为梯形矛盾．故假设不成立．即是异面直线．（5分）法二：在取一点M，使又是平行四边形．则确定平面与是异面直线．2.法一:延长相交于N，AE=2，AD=4，BC=6，设则△NDE中，平面平面平面．过E作于H，连结AH，则．是二面角的平面角，则．（8分）此时在△EFC中，．（10分）又平面是直线与平面所成的角,．（12分）即当直线与平面所成角为时，二面角的大小为法二：面面平面．又．故可以以E为原点，为x轴，为轴，为Z轴建立空间直角坐标系，可求设．则得平面的法向量则有可取．平面的法向量．．（8分）此时，．设与平面所成角为则．即当直线AC与平面EFCD所成角的大小为时，二面角的大小为．（12分）【解析】略【解析】【答案】五、证明题(共2题，共10分)23、略

【分析】【分析】法一：

（Ⅰ）取CD中点E；连接BE，推导出四边形ABDE为正方形，BD⊥BC，从而BC⊥面ABD，由此能求出线段AC的长度．

（Ⅱ）由BC⊥面ABD；得BC⊥AD，又AB⊥AD，由此能证明AD⊥平面ABC．

法二：

（Ⅰ）取CD中点E；连接BE，推导出四边形ABDE为正方形，BD⊥BC，取BD中点F，连接AF，CF，则AF⊥面BCD，由此能求出线段AC的长度．

（Ⅱ）由勾股定理得AD⊥AC，又AB⊥AD，由此能证明AD⊥平面ABC．【解析】【解答】解法一：

解：（Ⅰ）在梯形ABCD中；

取CD中点E；连接BE，因为AB⊥AD，AB=AD=2；

所以，又，

所以四边形ABDE为正方形；即有BE=2，BE⊥CD；

所以（2分）

在△BCD中，；所以BD⊥BC；

翻折之后；仍有BD⊥BC（3分）

又面ABD⊥面BCD；面ABD∩面BCD=BD，BC⊂面BCD，所以BC⊥面ABD（6分）

又AB⊂面ABD；所以BC⊥AB（7分）

所以（8分）

证明：（Ⅱ）由（Ⅰ）知BC⊥面ABD；又AD⊂面ABD，所以BC⊥AD，（10分）

又AB⊥AD；AB∩BC=B，所以AD⊥平面ABC．（12分）

解法二：

解：（Ⅰ）在梯形ABCD中；取CD中点E，连接BE；

因为AB⊥AD，AB=AD=2，所以

又；所以四边形ABDE为正方形；

即有BE=2，BE⊥CD，所以（2分）

在△BCD中，；所以BD⊥BC；

翻折之后；仍有BD⊥BC（3分）

取BD中点F，连接AF，CF，则有BD⊥AF，

因为面ABD⊥面BCD；面ABD∩面BCD=BD，BD⊥AF，AF⊂面ABD；

所以AF⊥面BCD（6分）

又CF⊂面BCD；AF⊥CF（7分）

因为，；

所以．（8分）

证明：（Ⅱ）在△ACD中，；CD=4，AD=2；

AD2+AC2=CD2；

所以AD⊥AC（10分）

又AB⊥AD；AB∩AC=A；

所以AD⊥平面ABC．（12分）24、略

【分析】【分析】由题意，表示出，，再由数量积可得•=（-）•（+）=2-•+•-2；从而判断垂直．【解析】【解答】证明：∵在等腰直角三角形ABC中；∠C=90°；

∴|AC|=|BC|=|AB|；

=-=-；

=+

=+

=+（-）

=+；

故•=（-）•（+）

=2-•+•-2；

∵CB⊥CA；

∴•=0；

故2-•+•-2

=2-2

=0；

故AD⊥CE．六、综合题(共4题，共40分)25、略

【分析】【分析】①根据空间中的垂直关系；推出三棱锥P-ABC的四个面都是直角三角形；

②根据空间中的垂直关系与三角形全等；证出PA=PB=PC；

③根据图形求出△PCM面积的最小值为6；

④利用直三棱锥P-ABC的外接球是以AC、BC、PB为棱长的长方体的外接球，求出球的半径即可．【解析】【解答】解：对于①，如图0所示；

PA⊥平面ABC；

AC⊂平面ABC；∴PA⊥AC，∴△PAC是直角三角形；

同理；△PAB是直角三角形；

又△ABC的三边长分别为AB=5；BC=4，AC=3；

∴AB2=AC2+BC2；

∴AC⊥BC，△ABC是直角三角形；

又PA⊥BC；PA∩AC=A；

∴BC⊥平面PAC；

∴BC⊥PC；∴△PBC是直角三角形；

即三棱锥P-ABC的四个面都是直角三角形；

①正确；

对于②；如图1所示；

∵△ABC是直角三角形；且M是AB的中点；

∴MA=MB=MC；

又PM丄平面ABC；

∴Rt△PMA≌Rt△PMB≌Rt△PMC；

∴PA=PB=PC；②正确；

对于③，如图2所示，

当PC⊥面ABC时，△PCM的面积为×PC×CM=×5×CM；

又∵CM作为垂线段时最短．为=；

∴△PCM面积的最小值为×5×=6；③不正确；

对于④，如图3所示，

当PB=5；PB⊥平面ABC时；

AB=5；BC=4，AC=3；

∴直三棱锥P-ABC的外接球可以看做是。

AC=3；BC=4，PB=5为棱长的长方体的外接球；

∴2R=PA=5；

∴R=；

其体积为•=；④正确．

综上；正确的命题为①②④．

故答案为：①②④．26、略

【分析】【分析】建立如图所示的坐标系，求出抛物线的方程，利用定积分求面积，即可得出结论．【解析】【解答】解：建立如图所示的坐标系，则C（4，-2），代入x2=-2py；

可得16=4p，∴p=4，∴y=-x2；

∴截面的面积为8×6-2（x2）dx=48-x3=．27、略

【分析】【分析】（Ⅰ）依题意；可证得△ADC（即△PDC）是等边三角形⇒H是AC的中点，从而可知HE∥PC，可知同理EF∥PB，利用面面平行的判断定理即可证得结论；

（Ⅱ）在平面ABC内过H作AC的垂线，以H为坐标原点建立空间直角坐标系，继而可求得A，P，B，E的坐标，设平面PHB的法向量=（x，y，z），由可求得，通过对x赋值，可求得=（，-3，0），利用向量的数量积即