人教版九年级数学下册课时教学课件合集共28套

人教版九年级数学下册课时教学课件合集共28套第二十七章

相似第58课时

图形的相似

完全重合大小形状12______相同的图形叫做相似图形.判断两个图形是否相似，就是看两个图形是不是形状相同，与图形的______、______无关.知识点一：图形相似的概念形状大小位置3.观察下列每组图形，相似图形是()

C

知识点二：成比例线段相等4.下列各组线段，成比例的是()A.4cm，6cm，6cm，6cmB.2cm，4cm，4cm，8cmC.4cm，8cm，12cm，16cmD.3cm，6cm，9cm，12cmB比例尺＝____________，在“比例尺”“图上距离”“实际距离”三个量中，知道其中任意两个量，就可以求出第三个量，但应注意单位的统一.知识点三：比例尺的计算

5.在比例尺是110000的地图上，量得两地之间的距离是15cm，这两地的实际距离是______km.1.5设⊙O的半径为r，点O到直线l的距离为d，则有：知识点一：直线和圆的位置关系【例1】在下面的图形中，相似的一组是()思路点拨：根据相似图形的定义对各选项分析判断后利用排除法求解即可．C6.在如图27－58－1所示的各组图形中，属于相似图形的是()A.①②B.①③C.②③D.②④C【例2】下列各组的四条线段中，不是成比例线段的是()A.a＝4，b＝8，c＝5，d＝10B.a＝1.1，b＝2.2，c＝3.3，d＝4.4C.a＝2，b＝215,c＝5，d＝53D.a＝0.8，b＝3，c＝0.64，d＝2.4思路点拨：根据比例线段的定义，分别计算各选项中最小的数与最大的数的积是否等于另外两个数的积即可判断四条线段是否成比例.B7.下列各组线段，成比例的是()A.1cm，2cm，3cm，4cmB.5cm，10cm，15cm，20cmC.2cm，5cm，8cm，12cmD.4cm，8cm，8cm，16cmD

第二十七章

相似第59课时

相似多边形的性质及判定1.观察下列每组图形，相似图形是()

D2.下列三角形与图27－59－1全等的三角形是(

)

C相似多边形的对应角______，对应边________.相似多边形_________的比叫做相似比.知识点一：相似多边形的性质相等成比例对应边3.如图27－59－2，四边形ABCD与四边形A′B′C′D′相似.若∠B＝55°，∠C＝80°，∠A′＝110°，则∠D＝______.

115°判断两个多边形相似，必须同时具备：对应角______，对应边_________.知识点二：相似多边形的判定相等成比例4.如图27－59－3，有甲、乙和丙三个矩形，其中相似的是()A.甲和丙B.甲和乙C.乙和丙D.三个矩形都不相似A将一个图形放大或缩小后所得到的图形，与原图形是______的.我们可以综合运用相似多边形的概念及其性质等知识画图，并判定画出的图形是否与原图形相似.知识点三：在网格(格点)中画相似图形相似5.小聪在图27－59－4的格点图中，画了两个矩形，这两个矩形之间的关系是______.相似【例1】(RJ九下P26例题)如图27－59－5，四边形ABCD和EFGH相似，求角α，β的大小和EH的长度x.思路点拨：观察图形，根据相似多边形的对应角相等可得出α，∠A，再根据四边形的内角和等于360°可计算求出β的大小，然后根据相似多边形的对应边成比例即可求出EH的长度x.解：∵四边形ABCD与四边形EFGH相似，∴α＝∠C＝83°，∠A＝∠E＝118°，EH∶AD＝EF∶AB,即x∶21＝24∶18.解得x＝28.在四边形ABCD中，β＝360°－83°－78°－118°＝81°.∴α＝83°，β＝81°，x＝28.6.如图27－59－6，四边形ABCD与四边形EFGH相似，∠A＝70°，∠B＝80°，∠H＝150°，AD＝8，EF＝5，EH＝6，求∠G和AB的长.

【例2】两个矩形的边长如图27－59－7所示.求证：矩形ABCD和矩形A′B′C′D′相似.思路点拨：根据对应角相等，对应边成比例证明即可.

7.试判断如图27－59－8所示的两个矩形是否相似.

【例3】(RJ九下P27习题4改编)在如图27－59－9所示的网格中画出与原图形相似的图形.(要求：与原图形大小不相同)思路点拨：结合所给的网格得到图形的各边长与相似的性质，将图形各边按照比例放大或者缩小一定的倍数即可得到对应边的边长，进而作图即可.解：如答图27－59－1(答案不唯一).8.如图27－59－10的左边格点图中有一个四边形，请在右边的格点图中画出一个与该四边形相似的图形，使新图形的各顶点仍在格点上.解：如答图27－59－2.第二十七章

相似第60课时

相似三角形的简单性质1.a，b，c，d是成比例线段，其中a＝6cm，b＝4cm，c＝12cm，则线段d＝______cm．82.如图27－60－1，△ABC≌△CDA，若∠BAC＝94°，∠B＝55°，则∠CAD的度数为______．31°相似三角形的三个对应角分别______，三组对应边__________，相似比一般用k表示.相似用符号“∽”表示，读作“相似于”.找相似三角形对应元素的方法技巧：相似三角形中，公共角、______角是对应角，最大(小)的角对应___________的角，最长(短)的边对应_________的边；对应角所对的边是对应边.知识点一：相似三角形的简单性质相等成比例对顶最大(小)最长(短)3.如图27－60－2，已知△ADE∽△ABC，若∠B＝∠ADE，则对应角∠C＝∠______，对应边的比例式为______________________.AED

先利用相似三角形的性质得到_________的比相等或_________相等，再借助方程思想、勾股定理或三角形内角和等知识，求出其他的边、角或证出线段垂直、平行等结论.知识点二：相似三角形简单性质的综合运用对应边对应角4.如图27－60－3，△ABO∽△CDO，若BO＝10，DO＝5，CD＝4，则AB的长是______.8【例1】如图27－60－4，已知△OAB∽△OCD，且DC∥AB，请写出这对相似三角形的对应角和对应边的比例式.思路点拨：根据找相似三角形对应元素的方法技巧解题即可.

5.如图27－60－5，已知△ADE∽△ABC，请写出这对相似三角形的对应角和对应边的比例式.

【例2】（RJ九下P27习题3）如图27－60－6，已知△ABC∽△DEF，求未知边x，y的长度．思路点拨：直接根据相似三角形的性质进行解答即可．

6.（原创题）如图27－60－7，已知△DEF∽△ABC，求∠D和∠E的度数以及DF的长．

思路点拨：首先利用相似三角形的对应边的比相等，求得AB的长，然后利用勾股定理求出BC的长即可.

7.如图27－60－9，△ABC∽△DAC，AC＝4，BC＝6，∠B＝36°，∠D＝117°.求：(1)CD的长；(2)∠BAD的度数.

(2)∵△ABC∽△DAC，∴∠DAC＝∠B＝36°，∠BAC＝∠D＝117°.∴∠BAD＝∠BAC＋∠DAC＝153°.第二十七章

相似第61课时

相似三角形的判定(一)1.若两个三角形的角分别______，边________，则这两个三角形叫做相似三角形.2.全等三角形的判定方法有______________________________________.相等成比例SSS，SAS，ASA，AAS，HL两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段__________；平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的__________)，所得的对应线段__________.知识点一：平行线分线段成比例定理成比例延长线成比例3.如图27－61－1，l1∥l2∥l3，已知AB＝6cm，BC＝3cm，A1B1＝4cm，则线段B1C1的长为_____cm.

2平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形______.几何语言：如图27－61－2，∵_________，∴△ADF∽△ABC.知识点二：相似三角形的判定定理——平行线法相似DF∥BC4.如图27－61－3，E为平行四边形ABCD的边BC延长线上一点，连接AE，交边CD于点F.在不添加辅助线的情况下，请写出图中一对相似三角形：______________________________________________________.△AFD∽△EFC(或△EFC∽△EAB或△EAB∽△AFD）方法：先由已知条件判定两个三角形______，再运用相似三角形的简单性质得到对应角______或对应边__________，后进行相关计算或证明.知识点三：利用相似三角形进行简单的计算相似相等成比例5.如图27－61－4，在△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，DE∥AC，且BD＝6cm，DA＝3cm，BE＝4cm，则BC＝______cm.6

15【例2】(RJ九下P31练习2)如图27－61－7，在△ABC中，DE∥BC，且AD＝3，DB＝2.写出图中的相似三角形，并指出其相似比.思路点拨：利用平行线判定三角形相似的方法，易得图中的相似三角形，然后根据相似比的定义求这两个三角形的相似比.

7.(创新题)如图27－61－8，在□ABCD中，M是边BC上的一点，AM与BD相交于点N，且AM∶MN＝4∶1.写出图中的相似三角形及它们的相似比.

【例3】如图27－61－9，DE∥BC，且AD＝3，AB＝5，CE＝3，求AC的长.思路点拨：根据平行得出三角形相似，再根据相似三角形对应边成比例求出AC的长.

8.如图27－61－10，已知AB∥CD，OA＝2，AD＝9，OB＝5，DC＝12，∠A＝108°，求AB，OC的长和∠D的度数.

第二十七章

相似第62课时

相似三角形的判定(二)1.如图27－62－1，已知AB＝AC，BD＝CD，则直接能使△ABD≌△ACD的根据是()A．SASB.ASAC．AASD.SSSD2.如图27－62－2，设AD与BC相交于点O，已知OA＝OD.下面条件中，并不能判断△AOB≌△DOC的条件是()A．∠A＝∠DB.∠B＝∠CC．OB＝OCD.AB＝CDD三边__________的两个三角形相似.几何语言:如图27－62－3，∵___________________________，∴△ABC∽△A′B′C′.知识点一：相似三角形的判定定理——三边法

成比例3.△ABC的三边长AB＝5，BC＝4，AC＝3，△A′B′C′的三边长A′B′＝10，B′C′＝8，A′C′＝6，则△ABC与△A′B′C′______.(填“相似”或“不相似”)相似两边_________且__________的两个三角形相似.几何语言:如图27－62－4，∵____________，___________,∴△ABC∽△A′B′C′.知识点二：相似三角形的判定定理——两边及

其夹角法成比例夹角相等

∠A＝∠A′4.已知⊙O的半径为5，圆心O到直线l的距离为d，若⊙O与直线l有公共点，则d的取值范围为__________________.判断直线与圆的位置关系的两种方法：(1)定性描述：根据直线和圆的________的个数判断；知识点三：直线和圆的位置关系的综合运用

思路点拨：根据三边对应成比例的两三角形相似进行判断.

5.一个三角形三边的长分别为6cm，9cm，7.5cm，另一个三角形三边的长分别为8cm，10cm，12cm，这两个三角形相似吗？为什么？解：这两个三角形相似.理由如下：∵∴∴这两个三角形相似.【例2】(RJ九下P34练习2改编)如图27－62－6，△AEB和△FEC是否相似？为什么？思路点拨：根据对顶角的两边对应成比例即可判断.

6.在△ABC与△A′B′C′中，∠A＝45°，AB＝12cm，AC＝15cm，∠A′＝45°，A′B′＝16cm，A′C′＝20cm，判定△ABC与△A′B′C′是否相似，并说明理由.解：△ABC与△A′B′C′相似.理由如下：∵AB＝12cm，AC＝15cm，A′B′＝16cm，A′C′＝20cm，∴∴又∵∠A＝∠A′＝45°，∴△ABC∽△A′B′C′.第二十七章

相似第63课时

相似三角形的判定(三)

C2.如图27－63－1，已知AC，BD相交于点O，若补充一个条件后，便可得到△AOB∽△DOC，则要补充的条件可以是________________________.（填写一个条件即可）

两角____________的两个三角形相似.几何语言:如图27－63－2，∵__________,___________,∴△ABC∽△A′B′C′.知识点一：相似三角形的判定定理——两角法分别相等∠A＝∠A′∠B＝∠B′3.∠1＝∠2是下列四个图形的共同条件，则四个图中不一定有相似三角形的是()D方法步骤：(1)先判定两个三角形______.根据已知条件，在“平行线法”“两角法”“两边及其夹角法”“三边法”中灵活选用适当的判定方法进行判定；(2)再运用相似三角形的简单性质得到对应角______或对应边__________，后进行相关计算或证明.知识点二：相似三角形性质和判定的简单运用相似相等成比例4.如图27－63－3，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，且DE∥BC.若AD＝2，AB＝3，DE＝4，则BC的长为______.

6【例1】(RJ九下P35例2改编)如图27－63－4，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，E是AC上一点，AE＝5，ED⊥AB于点D.(1)△ACB与△ADE相似吗？请说明理由；(2)求AD的长度.思路点拨：(1)易发现直角相等、公共角相等，用“两角法”判定三角形相似；(2)根据相似得出比例式，代入数据得方程，计算即可.解：(1)△ACB∽△ADE.理由如下：∵DE⊥AB，∠C＝90°，∴∠EDA＝∠C＝90°.∵∠A＝∠A，∴△ACB∽△ADE.

5.如图27－63－5，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的高.求证：(1)Rt△ADC∽Rt△CDB；(2)Rt△ADC∽Rt△ACB.证明：(1)∵CD为AB边上的高，∴∠ADC＝∠CDB＝90°.∵∠ACB＝90°，∴∠A＋∠ACD＝90°，∠ACD＋∠BCD＝90°.∴∠A＝∠BCD.∴Rt△ADC∽Rt△CDB.(2)∵∠A＝∠A，∠ADC＝∠ACB＝90°，∴Rt△ADC∽Rt△ACB.【例2】如图27－63－6，在△ABC中，点D在边AC上，∠ABD＝∠C.(1)求证：△ADB∽△ABC；(2)若AB＝6，AD＝4，求AC的长.思路点拨：(1)从图中易发现两个三角形的公共角相等,用“两角法”判定三角形相似；(2)根据相似三角形的性质列出比例式，代入数据得方程，计算即可.(1)证明：∵∠ABD＝∠C，∠A＝∠A，∴△ADB∽△ABC.

6.如图27－63－7，在正方形ABCD中，M为BC上一点，MN⊥AM，MN交CD于点N.(1)求证：△ABM∽△MCN；(2)若AB＝6，BM＝2，求DN的长.(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝∠C＝90°.∴∠CMN＋∠MNC＝90°.∵MN⊥AM，∴∠AMN＝90°.∴∠AMB＋∠CMN＝90°.∴∠AMB＝∠MNC.∴△ABM∽△MCN.

第二十七章

相似第64课时

相似三角形的性质和判定的综合1.如图27－64－1，在△ABC中，DE∥BC，若AD∶DB＝3∶2，AE＝6cm，则EC的长为______cm．42.如图27－64－2，四边形ABCD是正方形，点E是CD的中点，点P是BC上一动点，要使以点A，B，P为顶点的三角形与△ECP相似，还需具备一个条件是______________________．（填写一个条件即可）BP＝2CP(答案不唯一)综合运用相似三角形的性质和判定，计算线段的长时，需要先找到图中的______三角形，利用相似三角形对应边的比相等得出________，再进一步求出线段的长度.知识点一：相似三角形的性质和判定的综合计算相似比例式3.如图27－64－3，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠AED＝∠B，如果AD＝2，AE＝3，CE＝1，那么BD的长为______.4方法：若要证明等积式ad＝bc,则转化为比例式__________________________，再观察a，b(或a，c)与c，d(或b，d)是否分别在两个三角形中，如果在两个三角形中，可证明这两个三角形______，否则可转化其中的某条线段，再证明三角形相似.知识点二：利用相似三角形证明等比式或等积式

相似4.如图27－64－4，在△ABC中，DE∥BC，DF∥AC，AD＝3，BD＝2，那么BF∶DE的值是______．

在圆中证明三角形相似时，要善于利用“圆心角定理”“圆周角定理”及其推论和“圆内接四边形的对角互补”等性质，寻找到相等的______角或______角，为三角形相似创造条件.知识点三：圆中的相似三角形圆心圆周5.如图27－64－5，在⊙O中，弦AB与弦CD交于点M，且CM∶BM＝3∶2，则DM∶AM＝______.2∶3【例1】如图27－64－6，在△ABC中，点D在线段BC上，∠B＝∠DAC，AC＝8，BC＝16，那么CD的长为______.思路点拨：先证明△ABC∽△DAC，得出比例式，代入数据即可求出CD的长.46.如图27－64－7，在□ABCD中，AB＝3，AD＝5，AF分别交BC于点E，交DC的延长线于点F，且CF＝1，则CE的长为______.

思路点拨：(1)根据直角三角形的性质和相似三角形的判定和性质定理即可得到结论；(2)用“两角法”判断△BCA∽△BDC，根据相似三角形的性质即可得到等积式.

思路点拨：(1)连接AC，BC，易证Rt△APC∽Rt△CPB，根据相似三角形的性质，可以证得；(2)设PA＝x，则PB＝AB－PA＝16－x，代入(1)的结论即可求得.(1)证明：如答图27－64－1，连接AC，BC.∵AB是直径，CD⊥AB于点P，∴BC＝BD.∵∠CAB，∠BCP所对的圆弧相等，∴∠CAB＝∠BCP.∴Rt△APC∽Rt△CPB.∴

∴PC2＝PA·PB.

8.(创新题)如图27－64－11，CD是⊙O的弦，AB是直径，CD⊥AB于点P.(1)若P为OB的中点，求∠A的度数；(2)若AB＝10，CD＝8，求BP的长.

【例4】如图27－64－12，AB是⊙O的直径，AC是弦，OD⊥AC于点D，过点A作⊙O的切线AP，与OD的延长线交于点P，连接CP，与AB的延长线交于点E.求证：(1)PC是⊙O的切线；(2)EC2＝EA·EB.思路点拨：(1)连接OC，由“垂径定理”和线段垂直平分线的性质可证明△OAP≌△OCP，结合切线的性质可知∠OCP＝90°，进而得出结论；(2)连接BC，根据直径所对的圆周角是直角可得∠ACB＝90°，再证△ECB∽△EAC，利用相似三角形的性质可得结论.

(2)如答图27－64－2，连接BC.∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°＝∠ECO.∴∠ECB＋∠BCO＝∠BCO＋∠ACO.∴∠ECB＝∠ACO.∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠ACO＝∠ECB.∵∠E＝∠E，∴△ECB∽△EAC.∴∴EC2＝EA·EB.

第二十七章

相似第65课时

相似三角形的周长和面积

2.如图27－65－2，在边长为1的正方形网格中，A，B，C，D，E各点均为格点，则图中△______（用字母表示）∽△ABC．

DEB相似三角形对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的比都等于_________.一般地，相似三角形对应线段的比等于________.知识点一：相似三角形对应线段的性质相似比相似比3.如果两个三角形相似且相似比为9∶16，那么这两个三角形对应边上的高的比是()A．81∶256

B.9∶16C．3∶4

D.16∶9B相似三角形周长的比等于____________.知识点二：相似三角形周长的性质相似比4.如果两个相似三角形的相似比为1∶3，那么它们的周长比为______.1∶3相似三角形面积的比等于__________________.知识点三：相似三角形面积的性质相似比的平方5.若△ABC∽△DEF，相似比为3∶2，则对应面积的比为(

)A.3∶2

B.3∶5C.9∶4

D.4∶9C综合运用相似三角形的性质时，一要找准______关系，找准__________；二要熟记相似三角形对应线段的比和周长的比都等于_________，面积的比等于____________________.知识点四：相似三角形性质的综合运用对应相似比相似比相似比的平方6.已知两个相似三角形的面积比是4∶25，其中较小的三角形的周长为18cm，则较大的三角形的周长为______cm.45【例1】如果两个相似三角形对应边之比为1∶9，那么它们的对应中线之比是(

)A．1∶2

B.1∶3

C．1∶9

D.1∶81思路点拨：根据相似三角形的对应中线的比等于相似比解答即可．C7.如果两个相似三角形对应边之比是1∶2，那么它们的对应高之比是()A.1∶2

B.1∶4C.1∶6

D.1∶8A

D8.若△ABC与△DEF相似，且相似比为3∶1，△ABC的周长为18，则△DEF的周长为()A.54

B.6C.3

D.2B【例3】如果两个相似三角形对应高的比是1∶2，其中较小三角形面积是12，那么另一个三角形面积是______.思路点拨：设另一个三角形面积为x，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方列出比例式，计算得到答案.489.若两个相似三角形的面积的比是9∶25，则对应边上的中线的比为______.3∶5

思路点拨：证明△ABC∽△DEF，借助相似三角形的性质即可解决问题.

10.(创新题)如图27－65－4，在△ABC和△DEF中，AB＝2DE，AC＝2DF，∠A＝∠D.若△ABC的边BC上的高是6，周长为36，求△DEF的边EF上的高和周长.

第二十七章

相似第66课时

相似三角形的应用(一)1.如图27－66－1，A,B在河的两侧，若BC＝CD，AB⊥MN于点B，ED⊥MN于点D，DE＝100m，河宽AB＝______m．1002.如图27－66－2，A，B两处被池塘隔开，为了测量A，B两处的距离，在AB外选一适当的点C，连接AC，BC，并分别取线段AC，BC的中点E，F，测得EF＝22m，则AB＝______m．44先从实际问题中构造出______三角形模型，然后利用相似三角形对应边的比______求解.常见模型如图27－66－3.知识点一：利用三角形的相似测量物体高度相似相等3.如图27－66－4，身高为1.8m的某学生想测量学校旗杆的高度，当他站在B处时，他头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合，并测得AB＝3m，AC＝10m，则旗杆CD的高度是______m.6一般步骤：(1)______：将实际问题抽象为数学问题，并画出平面图形；(2)______：根据已知条件，证明两个三角形相似；知识点二：利用三角形的相似测量河宽(距离)建模证明(3)______：利用相似三角形的性质，求出边长，得到数学问题的答案；(4)作答：得到实际问题的答案.常见模型如图27－66－5.计算4.如图27－66－6，A,B两点被一条河隔开，为了测量A，B两点间的距离，小明过点B作BF⊥AB，在BF上取两点C，D，使BC＝2CD，过点D作DE⊥BF且使点A，C，E在同一条直线上.随后测得DE＝20m，则A，B两点间的距离是()A.60m

B.50mC.40m

D.30mC【例1】（RJ九下P43习题10改编）小明想用镜子测量校园内一棵松树的高度，如图27－66－7所示，他把镜子放在水平地面上的点C，沿着直线BC后退到点F，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A的像，量得BC＝10m，CF＝2m．已知EF，AB均与地面BF垂直，小明的眼睛距离地面1.5m（即EF＝1.5m），请你求出松树AB的高．思路点拨：根据镜面反射的性质得出△CFE∽△CBA，再根据其相似比解答．

5.如图27－66－8，小强在地面E处放一面镜子，刚好能从镜子中看到教学楼的顶端B，此时EA＝21m，CE＝2.5m.已知眼睛距离地面的高度DC＝1.6m，请计算出教学楼的高度.

【例2】（RJ九下P40例5改编）某校九年级数学研学小组为了估计澧水河某段水域的宽度.如图27－66－9，在河的对岸选定一个目标点A，在近岸分别取点B，D，E，C，使点A，B，D在一条直线上，且AD⊥DE，点A，C，E也在一条直线上，且DE∥BC．经测量BC＝25m，BD＝12m，DE＝35m，求河的宽度AB.思路点拨：先证明△ABC∽△ADE，然后根据对应边的比相等求AB的长度．解：∵BC∥DE，∴△ABC∽△ADE.∴即

解得AB＝30．答：河的宽度AB为30m．6.如图27－66－10，为了计算河两岸间的宽度，小明在河对岸的岸边选定一个目标作为点A，再在河岸的另一边选点B和点C，使AB⊥BC，然后再选点E，使EC⊥BC，BC与AE的交点为点D.测得BD＝120m，DC＝60m，EC＝50m，请求出两岸之间AB的距离.

第二十七章

相似第67课时

相似三角形的应用(二)1.如图27－67－1，小芳和爸爸一起散步，爸爸的身高是1.8m，他在地上的影子长2.1m.若小芳的身高只有1.2m，则她的影长为()A.1.2m

B.1.4mC.1.6m

D.1.8mB2.如图27－67－2，为了测量河宽AB，小明将一根标尺CD横放，使CD∥AB，并使点O,D,B和点O,C,A分别在同一条直线上.量得CD＝10m，OC＝15m，OA＝45m，则河宽AB为______m.30利用相似三角形的性质解决实际问题的核心是构造______三角形(必要时可以作辅助线)，在构造的三角形中，被测物体一般是其中的一边，而其余的边容易测量.常见模型如图27－67－3.知识点一：作辅助线构造相似三角形解决实际问题相似3.如图27－67－4，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上.已知纸板的两条直角边DE＝40cm，EF＝20cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝8m，则树高AB＝______m.5.5像物理学中有关“小孔成像”的问题，我们可以构造相似三角形，再运用“相似三角形对应高的比等于_________”进行求值.常见模型如图27－67－5.知识点二：利用“相似三角形对应高的比等于相

似比”解决实际问题相似比4.我军边防部队发现河对岸我方领土上有Y国军队在活动，为了估算其与我军距离，侦察员手臂向前伸，将食指竖直，通过前后移动，使食指恰好将对岸我方树立的旗杆遮住，如图27－67－6所示.若此时眼睛到食指距离l约为70cm，食指AB长约为7cm，旗杆CD高度为28m，则对方与我军距离d约为______m.280【例1】（RJ九下P40例6改编）如图27－67－7，为了测量古塔的高度，小红将标杆CD竖直插在地面上，然后自己往后退，使眼睛通过杆的顶端C刚好看到塔顶A.已知小红眼睛到地面高度EF＝1.5m，标杆CD＝2.4m，测得DF＝2m，DB＝32m，E，G，H在同一直线上且EH⊥AB.求古塔的高AB.思路点拨：根据给出的条件,得到△EGC∽△EHA，再根据相似三角形的对应边成比例可求出AH的长，进而得出AB的长．

【例2】如图27－67－9，小强自制了一个小孔成像装置，其中纸筒的长度为15cm，他准备了一支长为20cm的蜡烛，想要得到高度为5cm的像，则蜡烛应放在距离纸筒多远的地方？思路点拨：先根据题意得出△OAB∽△ODC，再利用相似三角形的性质得到相似比，计算即可得出答案.

5.如图27－67－8，直立在B处的标杆AB＝2.9m，小爱站在F处，其中眼睛E，标杆顶A，树顶C在同一条直线上(人、标杆和树在同一平面内，且点F，B，D在同一条直线上).已知BD＝6m，FB＝2m，EF＝1.6m，求树高CD.

6.如图27－67－10，一架投影机插入胶片后图像可投到屏幕上.已知胶片与屏幕平行，A点为光源，与胶片BC的距离为0.1m，胶片的高BC为0.038m.若需要投影后的图像DE高为1.9m，则投影机光源离屏幕大约为多少米？

第二十七章

相似第68课时

位似(一)1.下列每个选项的两个图形，不是相似图形的是()

D2.如果两个相似三角形的周长的比为1∶4，那么这两个三角形的对应角的平分线的比为()A．1∶2

B.1∶4C．1∶8

D.1∶16B如果两个图形不仅是______图形，而且对应顶点的连线______________，对应边_________或在同一条直线上，那么像这样的两个图形叫做位似图形，这点叫做___________.这时这两个图形关于这点______.知识点一：位似图形相似相交于一点互相平行位似中心位似3.下列图形中，不是位似图形的是()

C(1)位似图形的对应角______，对应边_________；(2)位似图形的对应点的连线相交于一点，即经过______________；(3)位似图形的对应边__________或在同一条直线上；(4)位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于________.知识点二：位似图形的性质相等成比例位似中心互相平行相似比4.如图27－68－1，△DEF与△ABC位似，点O为位似中心，已知OF∶OC＝1∶2，则△DEF与△ABC的周长之比是_________,面积之比是_________.1∶21∶4一般步骤：(1)确定____________；(2)分别连接位似中心和能代表原图的________并延长；(3)根据________，确定能代表所作的位似图形的关键点；(4)顺次连接上述各点，即可得到放大或缩小后的图形.知识点三：位似图形的画法位似中心关键点相似比5.如图27－68－2是△ABC位似图形的几种画法，其中正确的个数是(

)A.1个B.2个C.3个D.4个D【例1】如图27－68－3，图形中是位似图形的有()A.0个

B.1个C.2个

D.3个思路点拨：根据位似图形的概念直接判断.C6.已知△ABC∽△A′B′C′，下列图形中，△ABC与△A′B′C′不存在位似关系的是()

D【例2】如图27－68－4，以点O为位似中心，把△ABC放大2倍得到△A′B′C′，则以下说法错误的是()A.AB∥A′B′B.△ABC∽△A′B′C′C.AO∶AA′＝1∶2D.直线CC′经过点O思路点拨：根据位似图形的性质判断即可.C7.如图27－68－5，以点O为位似中心，把△ABC放大得到△A′B′C′，且相似比为2∶5，以下说法中错误的是()A.△ABC∽△A′B′C′B.AO∶AA′＝2∶5C.AB∶A′B′＝2∶5D.AC∥A′C′B【例3】（RJ九下P48练习2改编）画图：在图27－68－6中，以点O为位似中心，把△ABC放大到原来的2倍.思路点拨：连接OA并延长，使OA′＝2OA，则A′就是A的对应点，同理可以作出B，C的对应点，顺次连接A′，B′，C′，△A′B′C′就是所求三角形；但要注意位似图形一般有两个,在OA延长线上和OA反向延长线上均有A的对应点．解：如答图27－68－1，△A′B′C′与△A″B″C″即为所求.8.在如图27－68－7所示的方格纸中(每个小方格的边长都是1个单位长度)有一点O和△ABC.(1)画图：以点O为位似中心，把△ABC缩小为原来的一半(不改变方向)，得到△A′B′C′；(2)△ABC与△A′B′C′的相似比为______.解：(1)如答图27－68－2,△A′B′C′即为所求.2∶1第二十七章

相似第69课时

位似(二)1.在平面直角坐标系中，将点A（－2，1）向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度得到点A′，则点A′的坐标为__________．（2，－2）2.如图27－69－1，四边形EFGH与四边形ABCD关于点O位似，且OE＝2AE，则四边形EFGH与四边形ABCD的面积比为_________．4∶9一般地，在平面直角坐标系中,如果以原点为位似中心,画出一个与原图形位似的新图形，使它与原图形的相似比为k,那么与原图形上的点(x,y)对应的位似图形上的点的坐标为__________或_______________.知识点一：位似变换中对应点的坐标变化规律—

—位似中心是原点(kx，ky)(－kx，－ky)3.如图27－69－2，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（－3，2），（－2，3），以原点O为位似中心，在原点的异侧按1∶3的相似比将△OAB放大，则点B的对应点B′的坐标为()A．（6，－9）B.（9，－6）C．（6，－4）D.（4，－6）A(1)弄清楚____________及位似变换是放大还是缩小；(2)可以先作位似图形，后写对应关键点的坐标；也可以利用位似变换中对应点的坐标变化规律，先计算对应点的坐标，后描点连线画图；(3)以原点为位似中心的位似图形的坐标变化，一定要注意______的变化，简要地说，若两图形在原点同侧，则符号不变；若在原点异侧，则符号相反.知识点二：位似变换与坐标变换的综合运用位似中心符号

(1，2)或(－1，－2)【例1】（RJ九下P50练习2改编）在△ABO中，点A（－6，0），点B（－4，－2），O为坐标原点，以点O为位似中心，按相似比1∶2把△ABO放大，则点B的对应点B′的坐标为______________________．思路点拨：根据位似变换的性质计算即可得出答案,要注意答案有两种情况．（－8，－4）或（8，4）5.在平面直角坐标系中，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，点O为位似中心，相似比为2∶3，点B，E在第一象限.若点A的坐标为(1，0)，则点E的坐标是______________.

【例2】如图27－69－4，已知△ABC在平面直角坐标系内，三个顶点的坐标分别为A(0，3)，B(3，4)，C(2，2)(正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度).(1)画出△ABC向下平移4个单位长度后得到的△A1B1C1，点C1的坐标是___________；(2)以点B为位似中心，在网格内画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且相似比为2∶1；(3)四边形AA2C2C的面积是______平方单位.思路点拨：(1)先画图，再根据图象找出所求点的坐标即可；(2)根据相似比找到A2,B2,C2,再顺次连接即可得到△A2B2C2；(3)根据四边形AA2C2C的面积＝△AA2C的面积＋△A2C2C的面积解答即可.(2，－2)7.5解：(1)如答图27－69－1，△A1B1C1即为所求.(2)如答图27－69－1，△A2B2C2即为所求.6.在如图27－69－5所示的平面直角坐标系中，已知A，B，C三个点的坐标分别为A(－3，－4)，B(－1，－4)，C(－1，－2).(1)画出△ABC；(2)画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标为_________；(－3，4)(3)以点O为位似中心，在第一象限内把△ABC扩大到原来的2倍，得到△A2B2C2，画出△A2B2C2，并写出点A2的坐标为________.解：(1)△ABC如答图27－69－2.(2)△A1B1C1如答图27－69－2.(3)△A2B2C2如答图27－69－2.(6，8)第二十九章投影与视图第77课时

投影1.皮影戏起源于中华民族，它是一种用兽皮或纸板做成的人物剪影(如图29－77－1)在光源照射下进行的艺术表演，2011年成功入选人类非物质文化遗产.（1）皮影戏中用兽皮或纸板做成的“人物”，在表演时是______(填字母)；A.光源

B.遮挡物或阻挡物C.屏B（2）在表演过程中，光源位置不变，想让人物剪影更大，应将“人物”______（填“靠近”或“远离”）白色屏幕.

远离2.阳光下的物体也会产生影子，为了便于观察和记录，小科做了一个如图29－77－2②所示的简易日晷，面朝南观察了小短杆一天中的影子变化.请根据他的记录判断：

（1）如图29－77－2①，一天中太阳在______（填字母）位置时，影子最短；（2）根据图29－77－2②分析，一天中影子长短的变化规律是______（填字母）.A.由长变短，再变长B.由短变长，再变短C.一直变长BA

知识点一：平行投影影子平行成正比例正投影3.下列四幅图中，能表示两棵树在同一时刻太阳光下的影子的图是()

A由________(点光源)发出的光线形成的投影叫做中心投影.点光源、物体边缘上的点以及它在影子上的对应点在同一条直线上.知识点二：中心投影同一点4.下列各种现象属于中心投影的是()A.晚上人走在路灯下的影子B.中午用来乘凉的树影C.上午人走在路上的影子D.阳光下旗杆的影子A可以利用相似三角形或锐角三角函数等知识解决相关投影的实际问题.知识点三：运用投影知识解决相关问题5.如图29－77－3，小树AB在路灯O的照射下形成投影BC.若树高AB＝2m，树影BC＝3m，树与路灯的水平距离BP＝4m,则路灯的高度OP为______m.

【例1】（RJ九下P92练习改编）一个圆柱按图29－77－4中所示的方式放置，画出按图中箭头方向所示的投影方向的正投影.思路点拨：根据正投影的概念画出对应图形即可.解：如答图29－77－1①为投影方向向右的正投影，如答图29－77－1②为投影方向向下的正投影.6.将一个直六棱柱形工件按图29－77－5中所示的方式摆放，直六棱柱底面是正六边形，画出按图中箭头方向所示的投射方向的正投影.解：如答图29－77－3①为投影方向向右的正投影，如答图29－77－3②为投影方向向下的正投影.【例2】下列不是中心投影的是()A.皮影戏中的影子B.晚上在房间内墙上的手影C.舞厅中霓虹灯形成的影子D.太阳光下林荫道上的树影思路点拨：根据中心投影的概念判断即可.D7.下列物品：①手电筒；②车灯；③太阳；④月亮；⑤台灯.其中所形成的投影是中心投影的是()A.①②

B.①③C.①②③

D.①②⑤D【例3】如图29－77－6，在平面直角坐标系中，点P（3，3）是一个光源．木杆AB两端的坐标分别为A（0，1），B（4，1）．画出木杆AB在x轴上的投影，并求出其投影长．思路点拨：构造出相似三角形，将点的坐标转化为线段的长，根据相似三角形的性质即可得出答案.

8.（创新题）一幢4层楼房只有一个窗口亮着一盏灯，一棵小树和一根电线杆在窗口灯光下的影子如图29－77－7所示，亮着灯的窗口是几号窗口？解：如答图29－77－4，亮着灯的窗口是3号窗口．第二十九章投影与视图第78课时

三视图（一）1.正方形的正投影不可能是（）A．矩形

B．梯形C．正方形

D．线段2.如图29－78－1，箭头表示投影的方向，则图中圆锥体的正投影是______________.B等腰三角形对一个物体在三个投影面内进行正投影，在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做________；在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做________；在侧面内得到的由左向右观察物体的视图，叫做________.知识点一：简单几何体的三视图主视图俯视图左视图3.下列立体图形中，主视图、左视图和俯视图都相同的是（）A由几种基本几何体组合而成的组合体，其各种视图可以合理地分割成基本几何体的视图再组合，要注意各几何体的上、下、前、后、左、右的______关系.知识点二：简单组合体的三视图位置4.从正面观察如图29－78－2所示的几何体，你所看到的几何体形状图是（）C画三视图时，要注意以下几点：(1)位置规定：主视图在______边，主视图的正下方是______图，主视图的右边是______图；(2)九字原则：长______、高______、宽______；(3)虚实规定：把看得见部分的轮廓线画成______，因被其他部分遮挡而看不见部分的轮廓线画成______.知识点三：画几何体的三视图左上俯视左视对正平齐相等实线虚线5.如图29－78－3，画出该几何体的主视图、左视图和俯视图.解：如答图29－78－1.

【例1】下列几何体中，其主视图和俯视图都为矩形的是()思路点拨：分别确定四个几何体从正面看和从上面看所得到的图形即可.B6.下列几何体中，同一个几何体从正面看和从上面看所得到的图形不相同的是()

B【例2】如图29－78－4，几何体的主视图是()思路点拨：从正面观察每层小正方体的个数及位置关系即得出答案，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中.A7.如图29－78－5的几何体是由4个相同的正方体组成的立体图形，从正面看这个几何体，所看到的平面图形是()

C【例3】（RJ九下P97例2改编）用若干个棱长为1cm的小正方体搭成如图29－78－6所示的几何体．请在方格纸中画出该几何体的主视图、左视图和俯视图.思路点拨：根据简单组合体的三视图的画法画出主视图、左视图和俯视图即可.解：如答图29－78－2.

8.如图29－78－7是由6个棱长为1cm的小正方体组成的简单几何体．请在方格纸中画出该几何体从正面、左面和上面所看到的形状图．

解：如答图29－78－3.

第二十九章投影与视图第79课时

三视图（二）1.画如图29－79－1所示的物体的俯视图，正确的是()

B2.如图29－79－2，几何体的左视图是()

B由三视图确定几何体的形状，首先应分别根据________、________和________想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，然后综合起来考虑整体图形.知识点一：根据三视图确定物体的形状——

简单几何体主视图俯视图左视图3.如图29－79－3是某几何体的三视图，这个几何体是()A.三棱柱B.三棱锥C.长方体D.正方体A分析途径：(1)观察三视图，看其可分解为哪些简单几何体的_________；(2)想象出各简单_________；(3)根据三视图反映的____________组合简单几何体就可以得到物体原来的形状；(4)可对想象出的物体作三视图检验正误，注意虚线与实线的区别.知识点二：根据三视图确定物体的形状——简

单组合体三视图几何体位置关系4.如图29－79－4是由4个相同的小立方体组成的立体图形的主视图和左视图，则原立体图形不可能是()C一般步骤：（1）由俯视图确定第______层小正方体的个数；（2）由主视图（或左视图）确定物体的______；(3)由主视图和左视图确定其他各层小正方体的个数.知识点三：根据三视图确定小正方体的个数一层数5.如图29－79－5是一个由若干个相同的小正方体堆成的物体的三视图，则堆成这个物体的小正方体的个数是______个．5先了解主视图、左视图、俯视图的大致轮廓，借助空间想象力还原_________，再根据三视图“长对正，_________，_________”的关系，确定三视图中各线段在几何体中对应的部分，最后画出几何体的展开图并进行相关计算.知识点四：根据三视图计算几何体的表面积和体积几何体高平齐宽相等6.一个几何体的三视图如图29－79－6所示，则这个几何体的侧面积是（）A．27πcm2B．48πcm2C．96πcm2D．36πcm2A【例1】（RJ九下P98例3改编）如图29－79－7，是从三个方向看两个立体图形所得到的平面图形，请根据视图说出立体图形的名称，并画出它们的大致形状.思路点拨：根据从主视图、左视图及俯视图看到的图形，即可确定物体的形状.解：（1）该几何体为长方体，其大致形状如答图29－79－1.（2）该几何体是圆锥，其大致形状如答图29－79－2.7.如图29－79－8，是两个立体图形的三视图，请说出这两个立体图形的名称，并画出它们的大致形状.解：（1）该几何体是长方体，其大致形状如答图29－79－4.（2）该几何体是四棱锥，其大致形状如答图29－79－5.【例2】如图29－79－9是由几个大小相同的小正方体组成的立体图形的俯视图，则这个立体图形可能是()思路点拨：由俯视图可确定物体底层的小正方体的个数与位置.D8.某几何体的从左面看到的形状图如图29－79－10所示，则该几何体不可能是（）D【例3】如图29－79－11是由棱长为1cm的立方体小木块搭建成的几何体从3个不同的方向看到的形状图．

（1）在从上面看到的形状图中标出相应位置上立方体小木块的个数；（2）求该几何体的表面积（包含底面）．思路点拨：（1）由俯视图可得该组合几何体最底层的小木块的个数，由主视图和左视图可得第二层和第三层小木块的个数；（2）将几何体的暴露面（包括底面）的面积相加即可得到其表面积．（2）该几何体的表面积为6×2＋6×2＋6×2＋2×2＝40（cm2）．解：（1）如答图29－79－3.9.（创新题）如图29－79－12是由若干个相同的小立方体搭成的一个几何体的主视图和俯视图，俯视图的方格中的字母和数字表示该位置上小立方体的个数．（1）俯视图中x＝______，y＝______；23（2）在(1)的条件下先化简再求值：2（3x2y－xy2）－（xy2＋4x2y）＋2xy2．解：（2）原式＝6x2y－2xy2－xy2－4x2y＋2xy2

＝2x2y－xy2.当x＝2,y＝3时,原式＝2×22×3－2×32＝6.【例4】（RJ九下P99例5改编）如图29－79－13所示的是某个几何体从三种不同方向所看到的图形.（1）写出这个立体图形的名称：_________；（2）根据图中的有关数据，求这个几何体的表面积和体积（图中尺寸单位：cm）.思路点拨：（1）根据三视图即可得出答案；（2）结合该几何体的表面积和体积公式即可得出答案.三棱柱

①写出这个几何体的名称:______；②若该几何体的主视图的高、长分别为（1）中求得的m的值与方程②的解，求该几何体的体积．（结果保留π）圆柱

（2）②由题意，得这个圆柱的高为5,底面直径为2，∴该几何体的体积为π×12×5＝5π．第二十八章锐角三角函数第70课时

锐角三角函数(一)1.如图28－70－1，在2×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，顶点称为格点，点A，B，P均在格点上，则AB＝______，AP＝______，BP＝______.

5

2.如图28－70－2，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，BC＝3，则边AC的长为______．

知识点一：正弦的定义正弦

3.如图28－70－4，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，则sinA＝______，sinB＝______.

结合网格的特征，观察角所在方格中的位置，构造__________________，运用勾股定理计算出相关边的长度，再运用正弦的定义便可求解.知识点二：在网格中求正弦值直角三角形4.三角形在正方形网格纸中的位置如图28－70－5所示，则sinα＝______.

在一个直角三角形中，若知道锐角的正弦值，还知道其中一条边的长，我们可以根据正弦的定义得到一个比例式，计算出另一条边的长，再运用______________可求出第三边的长度.知识点三：利用正弦值求边长勾股定理

4【例1】（RJ九下P63例1改编）如图28－70－7，在Rt△ABC中，∠C＝90°，求sinA和sinB的值．思路点拨：利用勾股定理得出AB的长，根据正弦的定义得出答案．

6.（原创题）在Rt△ABC中，若∠C＝90°，a＝15，b＝8，求sinA＋sinB．

7．【例2】如图28－70－8，在4×4的矩形网格中，每个小正方形的边长都是1.若△ABC的三个顶点在图中相应的格点上，则sinA＝______.思路点拨：根据勾股定理求出△ABC的各边长，根据勾股定理的逆定理判断△ABC是直角三角形，根据正弦的定义计算即可.

7.如图28－70－9，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinB＝______.

第二十八章锐角三角函数第71课时

锐角三角函数(二)1.如图28－71－1，CD为Rt△ABC斜边上的高，若AD＝6，BD＝2，则CD的值为______．

2.在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝13，BC＝12，则sinA＝______，sinC＝______．

知识点一：余弦和正切的定义余弦

正切

3.在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，AB＝10，则cosA＝______，tanA＝______.

∠A的正弦、余弦、正切都是∠A的三角函数，我们可以把∠A看作自变量，其取值范围是______°＜∠A＜______°，sinA(或cosA或tanA)随着∠A的变化而变化，但当∠A确定时，sinA(或cosA或tanA)也就有唯一确定的值与∠A对应，所以我们说sinA，cosA，tanA都是∠A的三角函数.知识点二：锐角三角函数0904.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝3，BC＝1，则sinA＝______，tanA＝______，cosA＝______.

在直角三角形中，已知某锐角的函数值和一条边长，我们可以利用三角函数的定义和____________求出另外两边，但要注意边角的______关系，灵活地进行等式的变形.知识点三：根据锐角三角函数求边长勾股定理对应

6【例1】如图28－71－3，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，BC＝5，则cosB的值是()思路点拨：根据余弦函数的定义即可求解.A6.在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AC＝3，BC＝2，则tanA的值是()

B【例2】（RJ九下P65例2改编）如图28－71－4，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5．求sinA，cosA和tanA的值．思路点拨：根据勾股定理求出斜边，再根据锐角三角函数的定义求出答案即可．

7.（原创题）如图28－71－5，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，求sinA·cosA·tanB的值．

思路点拨：先根据正切函数的定义得到AC的长，再根据勾股定理求出AB的长.

第二十八章锐角三角函数第72课时

特殊角的三角函数值1.如图28－72－1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，若∠A＝30°，BD＝1，则AD的长为______．

32.如图28－72－2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝17，BC＝8，则cosA＝______.

知识点一：特殊角的三角函数值∠A30°45°60°sinAcosAtanA13.计算：sin30°＋tan45°－2cos60°＝______．

锐角三角函数值是_________时，可以根据特殊角的锐角三角函数值来求角的度数，所以，一要牢记或正确推导特殊角的锐角三角函数值，二要细心，勿混淆特殊角的锐角三角函数值.知识点二：根据特殊角的三角函数值求角度特殊值

45°(1)分清锐角所在的______三角形，掌握好锐角三角函数的概念及特殊角的_______________，可以快速求出线段的长或角的度数；(2)对于含特殊角的非直角三角形，要根据题意添加辅助线(如作三角形的高、作坐标轴的垂线等)，构造______三角形；也可以利用等角进行角的转化，将所求角转化到易求的直角三角形中去解决问题.知识点三：特殊角三角函数值的综合运用直角三角函数值直角

2

【例1】（RJ九下P66例3改编）计算：6tan230°－sin60°－2sin45°．思路点拨：把特殊角的三角函数值代入原式计算即可．

6.计算：2cos60°＋4sin60°·tan30°－6cos245°.

C

A【例3】数学拓展课程《玩转学具》课堂中，甲同学发现：一副三角尺中，含45°的三角尺的斜边与含30°的三角尺的长直角边相等.于是，甲同学提出一个问题：如图28－72－3，将一副三角尺的直角顶点重合拼放在一起，点B，C，E在同一直线上，若BC＝2，求AF的长.思路点拨：根据正切函数的定义求出AC的长,再根据正弦函数的定义求出FC的长,进而得出AF的长.

8.(原创题)如图28－72－4，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝30°，延长CA至点D，使AD＝AB．（1）求∠D的度数；（2）求tanD的值.

第二十八章锐角三角函数第73课时

解直角三角形1.计算：sin230°＋tan45°－2cos60°＝______.2.如果tanα＝1，那么锐角α的度数是______.

45°一般地，在直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角，由已知元素求出其余未知元素的过程，叫做_______________.若已知一边一角，则可以先根据两锐角______求出另一个锐角，再利用锐角三角函数的定义求其余边长(一般用未知边比已知边或用已知边比未知边).知识点一：已知一边一角，解直角三角形解直角三角形互余3.在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2，则∠B＝______，AB＝______，AC＝______.60°4

若已知两边，则可以先根据_________求出第三边，再利用锐角三角函数的定义求两个锐角(一般用已知边比已知边).知识点二：已知两边，解直角三角形勾股定理4.如图28－73－1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝8，BC＝4，则AC＝______，∠A＝______，∠B＝______.

30°60°(1)当题目中给出角的三角函数值时，要注意在直角三角形中应用，若没有直角三角形，则要构造______三角形；(2)求某些未知量的途径往往不唯一，选择关系式常遵循以下原则：一是尽量选择可以直接应用__________的关系式，二是尽量选择便于计算的关系式，若能用乘法计算就避免用______计算，即“有斜用弦，无斜用切；宁乘勿除，化斜为直”；知识点三：解直角三角形的综合运用直角原始数据除法(3)通过设参数，利用______求解也是解直角三角形的重要方法.方程

6.在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,c＝10，∠B＝45°，解这个直角三角形.

【例2】(RJ九下P73例1改编)在△ABC中，∠C＝90°，AB＝36，BC＝33，解这个直角三角形.思路点拨：先根据勾股定理求出AC，从而发现AC＝BC，即可推出∠A＝∠B.

【例3】如图28－73－3，在△ABC中，AB＝2，AC＝4，∠A＝120°，求BC的长.思路点拨：作辅助线CD⊥AB,交BA的延长线于点D,求出AD和CD的长,进而利用勾股定理求得BC的长.

第二十八章锐角三角函数第74课时

解直角三角形的应用(一)

60°4

利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般步骤：(1)建立______：将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形，转化为解直角三角形的问题)；(2)解__________________；(3)得到数学问题的答案；知识点一：“一个仰角或俯角”的类型模型直角三角形(4)得到实际问题的答案.解决只有一个仰角(视线在水平线______方的角)或俯角(视线在水平线______方的角)的问题，可以利用锐角三角函数的定义和勾股定理求解，若无直角三角形，则可以作辅助线构造直角三角形.

上下

B解决含有两个仰角或俯角的问题，一般可建立“双直角三角形(两个直角三角形在公共直角边的同侧或异侧，而另外两条直角边在同一条直线上)”模型，可设公共直角边为x，将另外两条直角边分别用x表示出来，并利用它们的________建立方程求解.知识点二：“两个仰角或俯角”的类型和、差

C【例1】为了测量某建筑物BE的高度(如图28－74－3)，小明在离建筑物15m(即DE＝15m)的A处，用测角仪测得建筑物顶部B的仰角为45°，已知测角仪高1.8m（即AD＝1.8m），求建筑物BE的高度.思路点拨：过点A作AC⊥BE于点C，则AC＝DE，在Rt△ABC中，可以用正切求BC的长，再计算BE＝BC＋CE即可.解：如答图28－74－1，过点A作AC⊥BE于点C，则AC＝DE＝15m，CE＝AD＝1.8m.在Rt△ABC中，BC＝AC·tan45°＝15(m)，则BE＝BC＋CE＝16.8(m).答：建筑物BE的高度是16.8m.5.如图28－74－4，创新小组要测量公园内一棵树的高度AB，其中一名小组成员站在距离树10m的点E处，测得树顶A的仰角为54°.已知测角仪的架高CE＝1.5m，求这棵树的高度.(结果保留一位小数，参考数据：sin54°≈0.8090，cos54°≈0.5878，tan54°≈1.3764)

思路点拨：过点A作AD⊥BC于点D，用正切函数分别求得BD和CD的长即可．

第二十八章锐角三角函数第75课时

解直角三角形的应用(二)1.如图28－75－1，OA是北偏东30°的一条射线，若∠AOB＝90°，则OB的方向角是______________.北偏西60°

60°解决只有一个方向角的问题，可利用正南、______、正西、______方向构造______三角形，画出这个几何图形，将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，进而根据条件选择适当的方法求解.知识点一：“一个方向角”的类型正东正北直角3.如图28－75－2，海面上B，C两岛分别位于A岛的正东和正北方向，A岛与C岛之间的距离约为36nmile，B岛在C岛的南偏东43°方向，则A，B两岛之间的距离约为______nmile.(结果精确到0.1nmile，参考数据：sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，tan43°≈0.93)33.5解决含有两个方向角的问题，一般可以通过作航线的垂线或作三角形的______，建立“双直角三角形”模型，利用锐角三角函数的定义或结合方程思想求解.知识点二：“两个方向角”的类型高4.如图28－75－3，一艘轮船从位于灯塔C的北偏东60°方向、距离灯塔60nmile的小岛A出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的南偏东45°方向上的B处，这时轮船B与小岛A的距离是____________nmile.

【例1】小亮为测量如图28－75－4所示的淡水湖湖面的宽度BC，他在与淡水湖的同一水平面上取一点A，测得湖的一端C在A处的正北方向，另一端B在A处的北偏东60°的方向，并测得A,C间的距离AC＝10m，求湖面宽度BC.

5.如图28－75－5，东、西两炮台A,B相距2000m，它们同时发现入侵舰C，炮台A测得敌舰C在它的南偏东40°的方向，炮台B测得敌舰C在它的正南方，试求敌舰C与两炮台A，B的距离.(结果精确到1m，参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84)

思路点拨：过点A作AE⊥BC交BC于点E，设DE＝x，利用等腰直角△ABE用x表示出AE，BE，根据60°角的三角函数值列方程求解即可.

6.如图28－75－7，海中有一个小岛A，它的周围15nmile内有暗礁，今有货船由西向东航行，开始在A岛南偏西60°的B处，往东航行20nmile后到达该岛南偏西30°的C处后，货船继续向东航行，你认为货船在航行途中有没有触礁的危险？

第二十八章锐角三角函数第76课时

解直角三角形的应用(三)

60°

知识点一：根据坡度求坡长或高度铅直高度水平宽度tanα

B在坡度问题中，常见的几何模型是梯形，我们一般过上底的两个端点分别作下底的两条___