2025年北师大版高二数学下册月考试卷含答案

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年北师大版高二数学下册月考试卷含答案考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五总分得分评卷人得分一、选择题(共5题，共10分)1、已知关于x的不等式ax2+x+1＜0的解集不是空集；则实数a的取值范围是（）

A.

B.

C.

D.

2、F1、F2是双曲线C：x2－＝１的两个焦点，P是C上一点，且△F1PF2是等腰直角三角形，则双曲线C的离心率为A.1＋B.2＋C.3－D.3＋3、【题文】已知关于函数有下列命题：

（1）的最大值为2；

（2）是以为最小正周期的周期函数；

（3）在区间上单调递增；

（4）函数图象关于直线对称。

其中正确命题的个数是（）A.1个B.2个C.3个D.4个4、在中，角所对的边分别为a,b,c，若a+b=4，且的面积的最大值为则此时的形状为()A.锐角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.正三角形5、△ABC满足∠BAC=30°，设M是△ABC内的一点（不在边界上），定义f（M）=（x，y，z），其中x，y，z分别表示△MBC，△MCA，△MAB的面积，若f（M）=（x，y，），则的最小值为（）A.9B.8C.18D.16评卷人得分二、填空题(共9题，共18分)6、已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合,则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于.7、【题文】在等差数列中，其前n项和为若则的值等于____.8、【题文】在锐角三角形中，角的对边分别为若则__________.9、【题文】已知是第三象限的角，则________.10、【题文】设对任意的正整数都有

则实数=_________.11、某校为了解全校高中学生五一小长假参加实践活动的情况，抽查了100名学生，统计他们假期参加实践活动的实践，绘成的频率分布直方图如图所示，这100名学生中参加实践活动时间在6-10小时内的人数为______．12、若n是正整数，则除以9的余数是______．13、已知z（2-i）=11+7i，若|z1|=1，则|z-z1|的最大值为______．14、在一个袋子中装有分别标注数字12345

的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同.

现从中随机取出2

个小球，则取出的小球标注的数字之和为3

或6

的概率是______．评卷人得分三、作图题(共9题，共18分)15、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

16、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）17、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）18、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

19、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）20、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）21、分别画一个三棱锥和一个四棱台．评卷人得分四、解答题(共3题，共9分)22、已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且AB=1，M是PB的中点．

（Ⅰ）证明：面PAD⊥面PCD；

（Ⅱ）求AC与PB的夹角的余弦值；

（Ⅲ）求面AMC与面BMC夹角的余弦值．

23、某同学向如图所示的圆形靶投掷飞镖；飞镖落在靶外（环数记为0）的概率为0.4，飞镖落在靶内的各个点是椭机的且等可能性，．已知圆形靶中四个圆为同心圆，半径分别为40cm；30cm、20cm、10cm，飞镖落在不同区域的环数如图中标示．；

（1）求出这位同学投掷一次中10环数概率；

（2）求出这位同学投掷一次不到9环的概率．

24、如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC；求证：

（1）MN∥AD1；

（2）M是AB的中点．评卷人得分五、综合题(共1题，共7分)25、如图，在直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（-1，0），（3，0），（0，3），过AB，C三点的抛物的对称轴为直线l，D为对称轴l上一动点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求当AD+CD最小时点D的坐标；

（3）以点A为圆心；以AD为半径作⊙A．

①证明：当AD+CD最小时；直线BD与⊙A相切；

②写出直线BD与⊙A相切时，D点的另一个坐标：____．参考答案一、选择题(共5题，共10分)1、D【分析】

当a=0时，不等式ax2+x+1＜0化为x+1＜0；可解得x＜-1，不是空集，满足题意；

当a＞0时，对应的二次函数y=ax2+x+1，开口向上，需一元二次方程ax2+x+1=0有两个不同的根；

即△=1-4a＞0，解得a＜故0＜a＜

当a＜0时，对应的二次函数y=ax2+x+1；开口向下，符合题意；

综上可得实数a的取值范围是：a＜

故选D

【解析】【答案】针对a进行分类讨论；分别由不等式和方程的关系可得a的范围，最后取并集即可．

2、A【分析】【解析】

由△PF1F2为等腰直角三角形，又|PF1|≠|PF2|，故必有|F1F2|=|PF2|，即2c=从而得c2-2ac-a2=0，即e2-2e-1=0，解之得e=1±∵e＞1，∴e=1+故选：A．【解析】【答案】A3、A【分析】【解析】第2个命题是正确的，选A。【解析】【答案】A4、C【分析】【解答】因为在中，角所对的边分别为若结合正弦定理可得即又因为所以又因为所以取等号时当且仅当所以符合条件的三角形为等腰三角形.故选C.5、C【分析】【解答】解：∵∠BAC=30°；

所以由向量的数量积公式得

∴

∵

由题意得；

x+y=1﹣=．

==2（5+等号在x=y=取到；所以最小值为18．

故选C．

【分析】由向量的数量积公式得∴由题意得，x+y=1﹣==2（5+即可得答案．二、填空题(共9题，共18分)6、略

【分析】【解析】试题分析：因为抛物线的焦点为(3,0),所以因为双曲线的焦点到其渐近线的距离等于虚半轴长,所以应填考点：双曲线的标准方程及性质，抛物线的标准方程.【解析】【答案】7、略

【分析】【解析】

试题分析：∵∴∴

∴

考点：等差数列的前n项和公式.

考点：【解析】【答案】-20138、略

【分析】【解析】

试题分析：

考点：解三角形。

点评：在本题的求解过程中用到了正弦定理，余弦定理实现了边与角的互相转化，其间还涉及到了同角间的三角函数关系，如【解析】【答案】49、略

【分析】【解析】

因为是第三象限的角，则【解析】【答案】10、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】11、略

【分析】解：由频率分布直方图知：（0.04+0.12+a+b+0.05）×2=1；

∴a+b=0.29；

∴参加实践活动时间在6-10小时内的频率为0.29×2=0.58；

∴这100名学生中参加实践活动时间在6-10小时内的人数为100×0.58=58．

故答案为：58

利用频率分布直方图中；频率等于纵坐标乘以组距，求出在6-10小时外的频率；利用频率和为1，求出在6-10小时内的频率；利用频数等于频率乘以样本容量，求出这100名同学中学习时间在6-10小时内的同学的人数．

本题考查的知识点是频率分布直方图，熟练掌握频率分布直方图中频率=矩形的高×组距，频数=频率×样本容量，是解答本题的关键．【解析】5812、略

【分析】解：=（7+1）n-1=8n-1=（9-1）n-1=）++

①n是正偶数，则原式=（9-1）n-1=）++

每项都是9的倍数．

∴这整个式子都可以被9整除；此时余数为0．

②若n是正奇数，则原式=）++．

=）++．

∵-2不能整除9

∴余数就应该是7．

综上；余数应该是0或7．

故答案为：0或7．

把原式还原成二项式定理．利用二项式定理展开；对n的奇偶性讨论，可得答案．

本题考查了二项式定理的灵活运用和整除问题．属于中档题．【解析】0或713、略

【分析】解：由z（2-i）=11+7i得z====3+5i；

则|z-z1|=|z1-z|=|z1-（3+5i）|；

∵|z1|=1；

∴|z1-（3+5i）|的几何意义为单位圆上的点到点B（3；5）的距离；

作出对应的图象如图：

则|z-z1|的最大值为|OB|+1=+1=

故答案为：．

根据复数的基本运算以及复数的模长公式以及复数的几何意义进行求解即可．

本题主要考查复数的基本运算和复数的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．【解析】14、略

【分析】解：由题意知；本题是一个古典概型；

试验发生包含的事件是从中随机取出2

个小球；共有C52=10

种结果；

满足条件的事件是取出的小球标注的数字之和为3

或6

可以列举出所有的事件：121524

共有3

种结果；

根据古典概型概率公式得到P=310

故答案为：310

本题是一个古典概型；试验发生包含的事件是从中随机取出2

个小球，共有C52

种结果，满足条件的事件是取出的小球标注的数字之和为3

或6

可以列举出所有的事件共有3

种结果，根据古典概型概率公式得到结果．

本题考查古典概型，考查数字问题，是古典概型中比较典型的问题，可以列举出所有的事件，本题是一个送分题目．【解析】310

三、作图题(共9题，共18分)15、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

16、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．17、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．18、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

19、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．20、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．21、解：画三棱锥可分三步完成。

第一步：画底面﹣﹣画一个三角形；

第二步：确定顶点﹣﹣在底面外任一点；

第三步：画侧棱﹣﹣连接顶点与底面三角形各顶点．

画四棱可分三步完成。

第一步：画一个四棱锥；

第二步：在四棱锥一条侧棱上取一点；从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段；

第三步：将多余线段擦去．

【分析】【分析】画三棱锥和画四棱台都是需要先画底面，再确定平面外一点连接这点与底面上的顶点，得到锥体，在画四棱台时，在四棱锥一条侧棱上取一点，从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段，将多余线段擦去，得到图形．四、解答题(共3题，共9分)22、略

【分析】

以A为坐标原点AD长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为．

（Ⅰ）证明：因

所以所以AP⊥DC．

由题设知AD⊥DC；且AP与AD是平面PAD内的两条相交直线；

由此得DC⊥面PAD．

又DC在面PCD上；故面PAD⊥面PCD．

（Ⅱ）【解析】

因

故

所以cos==．

（Ⅲ）【解析】

在MC上取一点N（x，y，z），则存在使

=（1-x，1-y，y-z），=（1，0，-）；

∴x=1-λ，y=1，z=

要使AN⊥MC，只需即x-z=0，解得．

可知当时，N点的坐标（），能使

此时有．

由得AN⊥MC；BN⊥MC；

所以∠ANM为所求二面角的平面角．

∵

∴cos==

所以所求面AMC与面BMC夹角的余弦值为．

【解析】【答案】建立空间直角坐标系；求出A；B、C、D、P、M，的坐标。

（Ⅰ）通过证明AP⊥DC．利用AD⊥DC；证明DC⊥面PAD．然后证明面PAD⊥面PCD；

（Ⅱ）求出与公式yg6d向量，即可利用cos=求AC与PB的夹角的余弦值；

（Ⅲ）在MC上取一点N（x，y，z），则存在使求出．说明∠ANM为所求二面角的平面角．利用cos==即可求面AMC与面BMC夹角的余弦值．

23、略

【分析】

（1）记事件A={投掷一次中10环数}

事件A发生；飞镖落在半径为10的圆内，因此由几何概型的求概率公式得。

P（A）=

所以这位同学投掷一次中10环数概率为

（2）记事件B={投掷一次不到9环}

事件B发生；飞镖落在7；8环或靶外，因此由几何概型的求概率公式得。

P（B）=

所以这位同学投掷一次不到9环的概率为

【解析】【答案】（1）本题是几何概型问题；欲求出这位同学投掷一次中10环数概率，只须求出满足：10环的圆的面积，再将求得的面积值与整个圆形靶求比值，最后再乘以（1-0.4）即得．

（2）欲求出这位同学投掷一次不到9环的概率；只须求出满足：这位同学投掷一次不到9环的区域的面积，再将求得的面积值与整个圆形靶求比值，最后再乘以（1-0.4）即得．

24、略

【分析】

（1）连接AC，BD，设交点为O，连接ON，OM，由MN⊥CD，NO⊥CD，可证CD⊥平面MNO，可证AB⊥OM，OM∥AD，又N在BD1上且为中点，从而可证MN∥AD1；

（2）由（1）可知，N是BD1的中点，MN∥AD1；即可得证M是AB的中点．

本题主要考查了直线与平面垂直的性质，考查了空间想象能力和推理论证能力，作出恰当的辅助线是解题的关键，属于中档题．【解析】证明：（1）连接AC；BD，设交点为O，连接ON，OM；

∵MN⊥平面A1DC，CD⊂平面A1DC；

∴MN⊥CD；

∵在正方体ABCD-A1B1C1D1中，N是A1C的中点；O是AC的中点；

∴NO⊥CD；

∵MN∩NO=N；

∴CD⊥平面MNO；

∴CD⊥OM；CD∥AB

∴AB⊥OM；

∴OM∥AD；

又∵在正方体ABCD-A1B1C1D1中，N是A1C的中点；

∴N在BD1上；且为中点；

∴△AD1B中，MN∥AD1；

（2）∵由（1）可知，N是BD1的中点，MN∥AD1；

∴M是AB的中点．五、综合题(共1题，共7分)25、略

【分析】【分析】（1）由待定系数法可求得抛物线的解析式．

（2）连接BC；交直线l于点D，根据抛物线对称轴的性质，点B与点A关于直线l对称，∴AD=BD．

∴AD+CD=BD+CD；由“两点之间，线段最短”的原理可知：D在直线BC上AD+CD最短，所以D是直线l与直线BC的交点；