2025年新高考艺术生数学突破讲义专题17导数综合问题-证明不等式、恒成立问题、零点问题

专题17导数综合问题：证明不等式、恒成立问题、零点问题【考点预测】一、证明不等式常用的方法和思路作差构造函数，转化为最值问题二、不等式恒成立问题常用的方法和思路(1)直接法(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；三、零点问题常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．【典型例题】例1．（2024·高三·全国·专题练习）证明：当时，；【解析】令，则，在上单调递增，，即当时，；令，则，令，则，当时，单调递增，即单调递增，，在上单调递增，，即当时，；综上所述：当时，.例2．（2024·高三·全国·专题练习）已知函数，证明：对一切，都有成立.【解析】当时，不等式等价于，在在，令，，由，当时，单调递增，当时，单调递减，所以，令，当时，单调递减，当时，单调递增，所以，即，又因为当时，函数到到最小值，当时，函数到到最大值，所以.例3．（2024·高三·全国·专题练习）求证：(1)（）；(2)；(3)（）．【解析】（1）要证，只需证，令（），，故在上单调递减，由于，因，故，则有（）.（2）令，，当时，；当时，，可知在上单调递增；在上单调递减，所以，故，从而成立.（3）令（），，由解得：，，令，得，令，得或故在区间和上单调递减，在区间上单调递增，由于，则有对恒成立，故得：（）．例4．（2024·山东烟台·一模）已如曲线在处的切线与直线垂直.(1)求的值；(2)若恒成立，求的取值范围.【解析】（1）由于的斜率为，所以，又,故，解得，（2）由（1）知，所以，故当时，单调递增，当时，单调递减，故当时，取最小值，要使恒成立，故，解得，故的取值范围为例5．（2024·吉林白山·二模）已知函数.(1)若，求曲线在处的切线方程；(2)若，求实数的取值范围.【解析】（1），因此，而，故所求切线方程为，即；（2）依题意，，故对任意恒成立.令，则，令，解得.故当时，单调递增；当时，单调递减，则当时，取到极大值，也是最大值2.故实数的取值范围为.例6．（2024·高二·山西大同·期末）已知函数在时取得极值．(1)求实数的值；(2)若对于任意的，恒成立，求实数的取值范围．【解析】（1）易知，依题意，解得，此时，当或时，；当时，，即函数在，上单调递增，在上单调递减，因此函数在时取得极值，所以．（2）由（1）得函数在上单调递减，在上单调递增；所以，由题意可得，解得，所以的取值范围为．例7．（2024·高二·重庆永川·阶段练习）已知函数.(1)讨论的最值；(2)设，若恰有个零点，求实数的取值范围.【解析】（1）由题得，，当时，，在上单调递减，故无最值当时，令，得，当时，，单调递减，当时，，单调递增，故在处取得唯一的极小值，即为最小值，即，综上所述，当时，无最值当时，的最小值为，无最大值.（2），函数恰有个零点，即恰有个不等的实根，即恰有个不等的实根，设，则，，单调递增，有两个解，即有两个解.令，则，当时，，单调递增当时，，单调递减，又时，，且，，当时，，当时，仅有一个零点，的取值范围为.例8．（2024·高三·四川·对口高考）已知a，b为实数，是定义在R上的奇函数．(1)求a，b的值；(2)证明：函数有唯一零点．【解析】（1）因函数是定义在R上的奇函数，则，，因此，恒成立，所以.（2）由（1）知，，，在上单调递增，则函数至多有一个零点，又，所以函数有唯一零点．例9．（2024·高三·山东·阶段练习）已知函数．(1)求函数在点处的切线方程；(2)证明：函数在上有且仅有一个零点．【解析】（1）因为，且，，所以切线方程为，即所求切线方程为．（2）．因为，所以，，，所以，所以，当且仅当时取等号，所以在上是减函数，且，所以在上仅有一个零点．例10．（2024·高三·江苏·阶段练习）已知函数.(1)设，求在区间上的最值；(2)讨论的零点个数.【解析】（1）因为，所以在区间上单调递减，所以当时，取最大值；当时，取最小值.（2）先讨论在上的零点个数，由（1）可知，在上递减，，所以在上递减，因为，所以在上有唯一零点，又因为，所以是偶函数，所以在上有两个零点.【过关测试】1．（2024·高二·福建莆田·期末）已知函数．(1)讨论的单调性；(2)若，证明：.【解析】（1）的定义域,若则在上单调递增；若当时，则单调递减，时，则单调递增.综上：当时，在上单调递增，无减区间；当时，在上单调递减，在上单调递增.（2）因，设则，则在上单调递减，故.2．（2024·吉林长春·模拟预测）已知函数.(1)求的最小值；(2)证明：.【解析】（1）显然该函数的定义域为全体正实数，由，当时，，所以函数单调递增，当时，，所以函数单调递减，因此；（2）由（1）可知：，即，即，当时，.3．（2024·高二·全国·课时练习）证明：.【解析】令，则，令，则，所以在上单调递增，且，故当时，单调递增，当时，单调递减，故当时，取极小值也是最小值，故，因此.4．（2024·高二·北京·期中）已知函数.(1)求曲线在点处的切线方程；(2)求证：.【解析】（1）,，,所以切点为，由点斜式可得，，所以切线方程为：.（2）由题可得，设，，所以当时，，当时，，所以在单调递增，单调递减，所以，即.5．（2024·高二·黑龙江牡丹江·期中）已知函数.(1)若在处的切线过原点，求切线的方程；(2)令，求证：.【解析】（1）∵，∴在处的切线的斜率为.又在曲线上，在处的切线过原点，∴，解得.∴切线的方程为，即.（2）证明：∵，∴，由有：，由有：，∴在上单调递增，在上单调递减，∴函数的最大值为，∴.6．（2024·浙江杭州·一模）已知函数．(1)求函数的单调区间；(2)当时，证明：对任意的，．【解析】（1）由题可知函数的定义域为，，即，(i)若，则在定义域上恒成立，此时函数在上单调递增；(ii)若，令，即，解得,令，即，解得,所以在上单调递减，上单调递增.综上，时，在上单调递增；时，在上单调递减，上单调递增.（2）当时，，要证明，只用证明，令，，令，即，可得方程有唯一解设为，且，所以，当变化时，与的变化情况如下，单调递减单调递增所以，因为，因为，所以不取等号，即，即恒成立，所以，恒成立，得证.7．（2024·高二·江苏宿迁·期中）已知函数在和处取得极值.(1)求的值及的单调区间；(2)若对任意，不等式恒成立，求的取值范围.【解析】（1），函数在和处取得极值．，，联立解得：，．，令，解得和，时，，函数单调递增；时，，函数单调递减；时，，函数单调递增．故和是的极值点，故函数单调递增区间为，；函数单调递减区间为．（2）由（1）知在单调递减，在单调递增，要使得对任意，不等式恒成立，则需且，故且，解得，或，的取值范围是,,．8．（2024·高三·北京通州·期中）已知函数.(1)求曲线在点处的切线方程；(2)求的极值；(3)若对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.【解析】（1）由得，又，所以在切线为（2）令，则，故在单调递增，当时，单调递减，所以当时，取极小值，无极大值，（3）由得，故，构造函数则，令，则，故当时，，单调递增，时，单调递减，故当取极小值也是最小值，，所以，即9．（2024·高三·江苏常州·期中）已知函数．(1)讨论的单调性；(2)对于，使得，求实数的取值范围．【解析】（1）由题设且，当时在上递减；当时，令，当时在区间上递减；当时在上递增．所以当时，的减区间为，无增区间；当时，的增区间为，减区间为.（2）由题设知对恒成立．当时，此时，不合题设，舍去．当时，在上递增，只需符合．综上：．10．（2024·高三·全国·专题练习）已知，求证：恒成立.【解析】证明：，显然在单调递增，又，，所以存在唯一的使得即，两边取对数得当时，单调递减，当时，单调递增.所以，所以恒成立．11．（2024·高三·全国·专题练习）已知函数，求证：当时，.【解析】要证：时，，即证：，两边同时乘，则，即，即证：，令，，所以在单调递减，所以，即，即．12．（2024·高三·全国·专题练习）已知函数，其图象在点处的切线方程为．(1)求，的值与函数的单调区间；(2)若对，，不等式恒成立，求的取值范围．【解析】（1），，函数的图象在点处的切线方程为．解得，．，令，解得或；令，解得．函数的单调递增区间为，；单调递减区间为．（2）由（1）可得：，．令，则，所以当变化时，的变化情况如下：，02，00单调递增极大值单调递减极小值单调递增由表格可知：当时，函数取得极大值，，又．函数在上的最大值为8．由，不等式恒成立，．，解得或．的取值范围是．13．（2024·高二·福建龙岩·阶段练习）设函数．(1)求的增区间；(2)若不等式在上恒成立，求的取值范围．【解析】（1）函数的定义域为，依据题意可知，令得或，所以，的增区间为，.（2）令，得（舍），，列表如下：x单调递减极小值单调递增所以，当时，，对任意的，恒成立，则.14．（2024·高二·广东梅州·期中）已知函数.(1)求的极值；(2)若恒成立，求的取值范围.【解析】（1）由得，令，故在单调递增，令，故在单调递减，故当时，取极小值，且极小值为，故极大值，（2）由恒成立可得恒成立，记，则，令，则，由（1）知：在处取极小值也是最小值，且最小值为1，故，因此在上单调递增，且，故当时，，单调递增，当时，，单调递减，故当时，取极小值也是最小值1，故15．（2024·高三·全国·专题练习）求函数f(x)＝x－4lnx－2的零点个数.【解析】f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1＋－＝.令f′(x)＝0，得x1＝1，x2＝3.当x变化时，f′(x)，f(x)的取值变化情况如表：x(0，1)1(1，3)3(3，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增当0<x≤3时，f(x)≤f(1)＝－4＜0；当x＞3时，f(e5)＝e5－－20－2＞25－1－22＝9＞0.因为f(x)在(3，＋∞)上单调递增，所以f(x)在(3，＋∞)上只有1个零点，故f(x)仅有1个零点.16．（2024·高三·河南·期末）已知函数．(1)若，求曲线在点处的切线方程；(2)若，研究函数在上的单调性和零点个数．【解析】（1）当时，，则，则，，所以曲线在点处的切线方程为．（2）当时，，则，当时，，，，则，故在上单调递增．又因为，所以在上的零点个数为．17．（2024·高三·全国·专题练习）已知函数.证明：函数在上有且只有一个零点.【解析】证明：由，得，令，，求导得，当且仅当时取等号，因此函数在上单调递减，而，，则，由零点存在性定理可知，函数在上有且只有一个零点，所以函数在上有且只有一个零点.18．（2024·高三·北京大兴·阶段练习）已知，(1)求的极值；(2)若函数存在两个零点，求的取值范围.【解析】（1）令且，则，当时，当时，所以在上递增，上递减，故的极大值为，无极小值.（2）由题设，有两个根，即与有两个交点，由（1）知：在上递增，上递减，在上，在上，且当趋向正无穷时趋向于0，综上，只需，即.19．（2024·高三·天津滨海新·阶段练习）已知函数．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)求函数在上的单调区间、最值．(3)设在上有两个零点，求的范围.【解析】（1）由题意知，，，所以曲线在点处的切线方程为，即.（2）由得，当时，，所以函数在上的单调递增；当时，，所以函数在上的单调递减.所以函数在上的单调增区间为，单调减区间为.所以，又，，所以.（3）在上有两个零点，即有两个不等根，由（2）知.20．（2024·高三·西藏林芝·阶段练习）已知函数(1)当时，求的函数值；(2)若有三个零点，求的取值范围.【解析】（1）当时，,则.（2）,若，则，则函数在上单调递增，此时函数至多有一个零点，不满足题意；若，令，解得或，令，解得，所以函数在单调递增，单调递减，单调递增，要使函数有三个零点，只需，即，解得，综上，.21．（2024·高二·山东青岛·期末）已知函数在处有极值．(1)求的极值；(