第10讲-图形类解三角形综合(教师版)

第10讲图形类解三角形综合（核心考点精讲精练）命题规律及备考策略【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题稳定，难度中等，分值为10-12分【备考策略】1.熟练掌握正余弦定理及面积公式解三角形2.在几何图形中能熟练使用相关定理求解【命题预测】本节内容一般会在解答题中进行命题考查，考查学生的图形转化及计算能力，需重点备考复习知识讲解1. 正弦定理（其中为外接圆的半径）2. 余弦定理，，3. 三角形的面积公式，考点一、图形类解三角形综合考查1．（2023·湖南郴州·校联考模拟预测）如图，在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，角C的平分线交AB于点D，且，.

(1)求的大小；(2)求.【答案】(1)(2)2【分析】（1）由正弦定理结合两角和差的正弦公式求得结果；（2）由正弦定理、余弦定理结合三角形面积公式求得结果.【详解】（1）由正弦定理得，即，因为，所以，因为，所以，即，因为，所以，所以.（2）已知角C的平分线交AB于点D，且，.在中，由正弦定理得,在中，由正弦定理得,因为，，所以，所以.设，由余弦定理得，即，解得，因为，所以,解得.2．（2023·福建泉州·泉州七中校考模拟预测）在四边形ABCD中，，再从条件①，条件②这两个条件中选择一个作为已知，解决下列问题．(1)求BD的长；(2)求四边形ABCD的面积．条件①：；条件②：．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．【答案】(1)选①，；选②，(2)选①，；选②，【分析】（1）选①，利用余弦定理得到；选②，利用互补得到，结合余弦定理列出方程，求出答案；（2）选①，在（1）的基础上，得到⊥，结合三角形面积公式求出和的面积，相加即可；选②，在（1）的基础上求出和，利用三角形面积公式求出和的面积，相加得到答案.【详解】（1）选①，由余弦定理得，解得，选②，在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，因为，所以，即，解得.（2）选①，，，故，在中，，所以⊥，故，所以四边形ABCD的面积为；选②，，故，故，因为，所以，故，，故四边形ABCD的面积为.3．（2023·广东深圳·统考模拟预测）如图，已知为的直径，点、在上，，垂足为，交于，且．

(1)求证：；(2)如果，，求的长．【答案】(1)证明见解析(2)8【分析】（1）连接，由已知条件推导出，，从而得到，由此能证明．（2）由已知条件推导出，，，从而得到，由（1）得，在中，由即可得出．【详解】（1）证明：连接，，，，又是的直径，，，，又，，，，，．（2）解：，，，是的直径，，，，且为锐角，，由（1）得，，在中，，即．

4．（2023·重庆万州·统考模拟预测）如图，在平面四边形中，，，，．

(1)求；(2)若，求的面积．【答案】(1)；(2)的面积为.【分析】（1）利用余弦定理即可求得边BC的长，再由正弦定理求；（2）利用正弦定理求，根据四边形内角和关系结合二倍角公式求，进而求得的面积．【详解】（1）因为，为锐角，所以．因为，，在中，由余弦定理得，即，得．在中，由正弦定理得，所以，所以，因为，所以，故，所以；（2）在中，由正弦定理得，又，，，即，所以．因为，，，所以，所以，所以，所以的面积.5．（2023·湖北·黄冈中学校联考模拟预测）如图，在平面四边形中，，，．

(1)若，求的面积；(2)若，，求．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据条件，利用余弦定理求出，再利用面积公式即可求出结果；（2）在和中，利用正弦定理，建立等量关系和，从而得到，再化简即可得出结果.【详解】（1）因为，，，由余弦定理得，所以，即，解得，所以．（2）设，在中，由正弦定理得，所以①，

在中，，，则，即②

由①②得：，即，∴，整理得，所以．

1．（2023·山东潍坊·统考二模）在四边形中，，，，为的面积，且.(1)求角；(2)若，求四边形的周长.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据三角形面积公式及数量积的定义化简方程可得，即可得解；（2）求出，再由正弦定理求出AB=BC=1，即可得解.【详解】（1）由，在中得，即，可得，因为，所以.（2）由，所以，所以为等边三角形，，所以，由正弦定理知，得，故四边形的周长为.2．（2023·广西·统考模拟预测）如图，在中，内角，，的对边分别为，，，过点作，交线段于点，且，，.

(1)求；(2)求的面积.【答案】(1)(2)【分析】（1）先由正弦定理将条件等式角化边，再由余弦定理求解即可；（2）先求出，再用正弦定理求出，然后求和，即可求出的面积.【详解】（1）∵，∴由正弦定理得，即，∴由余弦定理，，又∵，∴.（2）∵，∴，由第（1）问，，∴，又∵，∴，∴在中，由正弦定理，，∴，又∵，∴，∴的面积.3．（2023·山东淄博·统考二模）如图所示，为平面四边形的对角线，设，为等边三角形，记.(1)当时，求的值；(2)设为四边形的面积，用含有的关系式表示，并求的最大值.【答案】(1)；(2)；.【分析】（1）利用正弦定理及余弦定理结合条件即得；（2）利用余弦定理及三角形面积公式可表示出四边形的面积，然后根据三角函数的性质即得.【详解】（1）在中，因为，由正弦定理，所以，由余弦定理，得，其中，故；（2）在中，因为，所以由余弦定理可得，因为为等边三角形，所以，因为，所以四边形的面积为，因为，所以，故当时，取得最大值1，即的最大值为.4．（2023·安徽合肥·合肥市第六中学校考模拟预测）在①，②这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知________，．

(1)求；(2)如图，为边上一点，，，求的面积．【答案】(1)(2)【分析】（1）若选择条件①，利用正弦定理将边化角，再根据同角三角函数的基本关系计算可得；若选择条件②，利用正弦定理将边化角，再利用诱导公式及二倍角公式求出，即可求出，最后利用二倍角正弦公式计算可得；（2）设，易知，，再利用余弦定理求出，最后由面积公式计算可得.【详解】（1）若选择条件①，在中，由正弦定理得，，，即，，又，；若选择条件②，，，即，又，，所以，因为，所以，所以，所以，则，.（2）设，易知，，因为且为锐角，所以，在中，由余弦定理，即，解得或（舍去），所以，，.5．（2023·山东泰安·统考模拟预测）如图，平面四边形中，的三内角对应的三边为．给出以下三个条件：①②③的面积为(1)从以上三个条件中任选一个，求角；(2)设，在（1）的条件下，求四边形的面积的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）对于①②：利用正、余弦定理结合三角恒等变换运算求解；对于③：利用余弦定理和面积公式运算求解；（2）根据题意利用余弦定理建立边角关系，结合面积公式整理可得，进而可得结果.【详解】（1）若选①：，则，整理得：，由正弦定理得，所以，因为，所以；若选②：因为，则，可得，由正弦定理得：，因为，，所以，因为，则，可得，所以，，即．若选③：的面积为，则，所以，所以，因为，所以．（2）因为，由（1）可知，所以为正三角形，设，则，可得，在中，由余弦定理，可得，所以四边形的面积，因为，所以，所以当，即时，四边形的面积取到最大值.【基础过关】1．（2023·上海徐汇·统考三模）如图，中，角、、的对边分别为、、.

(1)若，求角的大小；(2)已知、，若为外接圆劣弧上一点，求周长的最大值.【答案】(1)；(2).【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理边化角，再结合和角的正弦求解作答.（2）由（1）及给定条件，求出，再利用余弦定理结合均值不等式求解作答.【详解】（1）在中，由及正弦定理，得，即，则，整理得，而，即，又因为，所以.（2）在中，，由余弦定理得，于是，解得，当且仅当时取等号，所以当时，周长取得最大值.2．（2023·北京大兴·校考三模）如图，平面四边形中，对角线与相交于点，，，，.

(1)求的面积；(2)求的值及的长度.【答案】(1)(2)，【分析】（1）根据勾股定理可得，结合再根据面积公式求解即可；（2）根据等腰三角形性质可得，再用同角三角函数的关系与二倍角公式可得，然后根据，利用两角和的正弦公式求解，由正弦定理求解即可.【详解】（1）∵，，，，;（2），，，则.，，，，又，在中，，由正弦定理可知，，.3．（2023·上海闵行·上海市七宝中学校考三模）如图，是边长为2的正三角形所在平面上一点（点、、、逆时针排列），且满足，记.

(1)若，求的长；(2)用表示的面积，并求的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）由余弦定理直接计算即可；（2）由正弦定理求出AP，然后代入三角形面积公式，结合辅助角公式及三角函数值域求出面积范围.【详解】（1）由，且是边长为2的正三角形，则，且，所以在中，由余弦定理得，所以；（2）由，则，则，在中，由正弦定理有，得，所以，又，且，则，所以，所以，则，故的取值范围为.4．（2023·河南开封·校考模拟预测）如图，在中，，点在边上，．(1)求的长；(2)若的面积为，求的长．【答案】(1)6(2)6【分析】（1）先求根据正弦定理可得.（2）由的面积先求，再由余弦定理可得.【详解】（1），，且，根据正弦定理，可得；（2），，，得，又，由余弦定理得，．5．（2023·全国·模拟预测）如图，在中，，，，为外一点，．(1)若，求；(2)若，求．【答案】(1)；(2).【分析】（1）在中求出，再在中利用余弦定理求解作答.（2）根据给定条件，求出，利用（1）的结论结合正弦定理求解作答.【详解】（1）在中，，，，则，在中，，，则，，在中，由余弦定理得.（2）由（1）知，，因为，，则，，，由（1）知，，在中，由正弦定理得：，则，又是锐角，则，所以.6．（2023·江苏南京·南京市第九中学校考模拟预测）如图所示，D为外一点，且，，

(1)求sin∠ACD的值；(2)求BD的长.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用余弦定理求出边的长，用勾股定理得出边的长，即可求出sin∠ACD的值；（2）由正弦定理求出与的关系，由余弦定理即可求出BD的长.【详解】（1）由题意，在中，，，，由余弦定理得，，..在中，，，，.（2）由题意及（1）得，在中，由正弦定理得，.∴，且.又，∴，∴.在中，，，由余弦定理得，，∴，∴.7．（2023·广东茂名·茂名市第一中学校考三模）如图，平面四边形中，，，．的内角的对边分别为，且满足．(1)判断四边形是否有外接圆？若有，求其半径；若无，说明理由；(2)求内切圆半径的取值范围．【答案】(1)有，(2)【分析】(1)先由余弦定理求，再由正弦定理结合条件得，所以，，所以四点共圆，则四边形的外接圆半径就等于外接圆的半径．由正弦定理即可求出；(2)由三角形面积公式得到，则，由正弦定理得，，化简得，因为，所以，即可得到的取值范围，从而得到半径的取值范围．【详解】（1）在中，，所以，由正弦定理，，可得，再由余弦定理，，又，所以．因为，所以，所以四点共圆，则四边形的外接圆半径就等于外接圆的半径．又，所以．（2）由（1）可知：，则，，则．在中，由正弦定理，，所以，，则，又，所以，所以，，即，因为，所以．8．（2023·湖南衡阳·校考模拟预测）如图，在中，内角的对边分别为，，，过点作，交线段于点，且，.(1)求；(2)求的面积.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据正弦定理和余弦定理可求出结果；（2）根据，，推出，再根据，求出，再根据三角形面积公式可求出结果.【详解】（1）由，根据正弦定理可得，即，根据余弦定理可得，因为，所以；（2）因为，且，所以，则，所以，所以.所以，即，在三角形中，，，所以，故.9．（2023·辽宁·校联考三模）如图，在中，内角的对边分别为，过点作，交线段于点，且．①；②；③．以其中两个作为条件，证明另外一个成立．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．【答案】证明见解析.【分析】选①②③，利用正弦、余弦定理求出，进而求出即可推理作答；选②③①，利用正弦、余弦定理求出，再利用三角形面积公式、正弦定理推理作答；选①③②，作于点，利用三角形面积公式求出，再由直角三角形锐角三角函数求出，由正余弦定理推理作答.【详解】选择①②为条件，证明③：在中，由及正弦定理得，即，由余弦定理得，而，则，又因为，且，即，有，因此，由正弦定理得，所以.选择②③为条件，证明①：在中，由及正弦定理得，即，由余弦定理得，而，则，因为，且，则有，此时，，因此，解得，由正弦定理得．选择①③为条件，证明②：因为，且，设，在中，，有，，而，过点作于点，如图，于是，解得，在中，有，在中，有，则有，而，解得或，当时，，又为的内角，则，，即，所以，由余弦定理得，即，由正弦定理得：，其中为外接圆直径，所以．当时，，显然，即，则此时，结论不成立.10．（2023·江西九江·统考三模）如图，圆内接四边形ABCD中，已知，．(1)求；(2)求四边形面积的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）依据题给条件，利用正弦定理和二倍角正弦公式即可求得；（2）先求得△ADC面积最大值，进而求得四边形面积的最大值．【详解】（1）设四边形ABCD外接圆的半径为R，，则，且，∴如图，在△ABD和△BCD中，由正弦定理得．即∴，∴．∵，∴．∵，∴．∵，∴（2）连接AC，由（1）知，∴又，∴△ABC为等腰直角三角形，∴解法一：取BC的中点O，AC的中点E，连接OE，则，∴当点D在OE的延长线上时，，此时△ADC面积最大，最大值为∴四边形ABCD面积的最大值为．解法二：在△ADC中，由余弦定理得即即，∴，即，当且仅当时取等号．∴∴四边形ABCD面积的最大值为．【能力提升】1．（2023·广东·统考模拟预测）如图，的面积为，记内角，，所对的边分别为，，，已知，.

(1)求的值；(2)已知点在线段上，点为的中点，若，求.【答案】(1)(2)【分析】（1）将中的替换为，边化角求得，再由三角形面积求即可；（2）在中由余弦定理求得，向量法求得中线，在中由余弦定理求得的余弦值，再利用平方关系求得的正弦值，最后用求解即可.【详解】（1）∵在中，，，∴，∴由正弦定理得，，∴，又∵，∴，又∵，∴，又∵的面积，∴解得.（2）在中，由余弦定理得，，∴，又∵为中点，∴.∵为的中点，故，∴，∴，在中，由余弦定理得，∴，∴.2．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）如图，在中，，点在延长线上，且．(1)求；(2)若面积为，求．【答案】(1)(2)【分析】（1）设，利用余弦定理求得，再在和中两次利用正弦定理即可求出比值.（2）利用三角形面积公式即可求出（1）问的值，再利用余弦定理即可.【详解】（1）因为,设,则,由余弦定理得，因为，所以在中,由正弦定理得,在中,由正弦定理得,因为,所以整理得.（2）由得,由（1）得,所以,在中,,由余弦定理得.3．（2023·辽宁大连·大连二十四中校考模拟预测）在①，②，③三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c且__________，作AB⊥AD，使得四边形ABCD满足，．(1)求角B的值；(2)求BC的取值范围．【答案】(1)条件选择见解析，(2)【分析】（1）根据所选条件，采用正余弦定理或者三角形面积公式一一计算即可（2）根据题意，选择①②③求得，设，则，在中，由正弦定理求得，在中，由正弦定理求得可得，结合和三角函数的性质，即可求解.【详解】（1）选①：，即，由正弦定理可得：，整理得，所以，即，又，所以,得到，又，所以.选②：，由正弦定理可得：，整理得，即，又由余弦定理，所以，又，所以.选③：，根据条件得，得到，又，所以.综上，无论选择哪个条件，（2）设，则，在中，由正弦定理得，可得，在中，由正弦定理得，可得，因为，可得，当时，即，可得，当时，即，可得，所以的取值范围是.4．（2023·山西·校联考模拟预测）如图，在中，为边上一点，.

(1)求角；(2)从下面两个条件中选一个，求角.①；②.【答案】(1)(2)选择条件①或②，都有【分析】（1）由余弦定理求解即可；（2）选择条件①，在中，由正弦定理及角的范围求解即可；选择条件②，在中，由正弦定理及三角函数诱导公式求得结果.【详解】（1）在中，由余弦定理可知：，又，.（2）若选择条件①：在中，由正弦定理可知：，即，解得.在中，，从而，必有，又，故.若选择条件②：在中，，，由正弦定理可知：，即，解得，又，则，，，故，在中，.5．（2023·天津和平·耀华中学校考二模）如图，在平面四边形ABCD中，，，，，．

(1)求和的值；(2)记，求的值．【答案】(1),(2)【分析】（1）利用正弦定理，余弦定理求解即可；（2）先利用平方和关系求出，进而求，，然后用两角和的余弦公式求解即可.【详解】（1）在中，由正弦定理得．由题设知，，所以．所以．在中，由余弦定理得．所以．（2）因为，所以．，．所以．6．（2023·安徽阜阳·安徽省临泉第一中学校考三模）在中，角A，B，C所对边长分别为a，b，c，满足.

(1)求的大小；(2)，点D在BC上，，在①，②，③这三个条件中任选一个作为条件，求的面积.【答案】(1)(2)【分析】（1）由正余弦定理边角互化计算即可；（2）由题意分析可得，不管选哪个条件都需要利用正余弦定理进行边角转化，求出AC，再利用三角形面积公式求值即可.【详解】（1）由已知及正弦定理得：，即.由余弦定理得：，又，所以.

（2）选①：由上可知，在中，，由正弦定理得：，所以.故，在中，为锐角，，故，..在中，，故.所以的面积.选②：因为，所以.所以..在中，，故.所以的面积.选③：在中，由正弦定理得：；在中，由正弦定理得：.，故.所以的面积.7．（2023·云南保山·统考二模）如图，在平面四边形中，，，.

(1)当四边形内接于圆O时，求角C；(2)当四边形面积最大时，求对角线的长.【答案】(1)(2).【分析】（1）根据，结合余弦定理求解即可；（2）将四边形的面积拆成两个三角形的面积之和，由余弦定理和三角形面积公式结合三角函数的性质即可求解.【详解】（1）由余弦定理可得：，，所以.又四边形内接于圆，所以，所以，化简可得，又，所以.（2）设四边形的面积为S，则，又，所以，即平方后相加得，即，又，所以时，有最大值，即S有最大值.此时，，代入得.又，所以在中，可得：，即.所以，对角线的长为.8．（2023·安徽安庆·安庆市第二中学校考二模）如图，在中，分别为边上一点，.(1)若，求的长；(2)若，求的长.【答案】(1)(2)【分析】（1）在中由余弦定理求，在中由勾股定理求的长；（2）设，在中由正弦定理求得，再由正弦定理求.【详解】（1）在中由余弦定理可得，又，所以，所以，解得或，因为为的斜边，，故，所以，且；（2）设，则，又，故，因为，所以，所以，在中，由正弦定理得，所以，所以，所以，所以，所以，设，则，故，因为，所以，所以，所以，即，由正弦定理可得，所以，所以.9．（2023·广东韶关·统考模拟预测）在中，，，点为内一点.

(1)若（图1），求的面积；(2)若（图2），求的最小值.【答案】(1)(2)【分析】（1）在中，由余弦定理得，从而可得，利用面积公式即可求解；（2）设，，由正弦定理可得，在中，由余弦定理可得，利用即可求解．【详解】（1）在中，，，由余弦定理得，又，，故．（2）设，因为，则，则，在中，由正弦定理可得，即，故，在中，，由余弦定理可得，其中，，，因为，则，即当时，．10．（2023·江苏扬州·扬州中学校考模拟预测）如图，四边形ABCD中，已知，.

(1)若ABC的面积为，求ABC的周长；(2)若，，，求∠BDC的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）由，结合余弦定理可得，由ABC的面积为可得，后由余弦定理可得AC即可得周长；（2）由（1）结合，，可设，则，后由正弦定理可得，即可得答案.【详解】（1）由余弦定理，在中，.又，，则.又ABC的面积为，则.则，则ABC的周长为.（2）由（1）可知，又，，四边形内角和为，则.设，则.在中，由正弦定理，.在中，由正弦定理，.消去，得.因，则，则.则.【真题感知】1．（全国·高考真题）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝，BC＝1，P为△ABC内一点，∠BPC＝90°.(1)若PB＝，求PA；(2)若∠APB＝150°，求tan∠PBA．【答案】（1）（2）【详解】试题分析:（1）在三角形中，两边和一角知道，该三角形是确定的，其解是唯一的，利用余弦定理求第三边.（2）利用同角三角函数的基本关系求角的正切值.（3）若是已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据大边对大角进行判断.（4）在三角形中，注意这个隐含条件的使用.试题解析:解：（1）由已知得∠PBC＝60°，所以∠PBA＝30°.在△PBA中，由余弦定理得PA2＝.故PA＝.5分（2）设∠PBA＝α，由已知得PB＝sinα.在△PBA中，由正弦定理得，化简得cosα＝4sinα.所以tanα＝，即tan∠PBA＝.12分考点：（1）在三角形中正余弦定理的应用.（2）求角的三角函数.2．（北京·高考真题）如图，在中，，，点在边上，且，.（1）求；（2）求的长.【答案】（1）；（2）7.【详解】试题分析：（I）在中，利用外角的性质，得即可计算结果；（II）由正弦定理，计算得，在中，由余弦定理，即可计算结果．试题解析：（I）在中，∵，∴∴（II）在中，由正弦定理得：在中，由余弦定理得：∴考点：正弦定理与余弦定理．3．（2020·江苏·统考高考真题）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（1）求的值；