备战2024年高考数学大一轮数学(人教A版理)-第三章-§3-3-导数与函数的极值、最值

§3.3导数与函数的

极值、最值第三章

导数及其应用1.借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要和充分条件.2.会用导数求函数的极大值、极小值.3.掌握利用导数研究函数最值的方法.4.会用导数研究生活中的最优化问题.考试要求

内容索引第一部分第二部分第三部分落实主干知识探究核心题型课时精练落实主干知识第一部分1.函数的极值条件f′(x0)＝0在点x＝x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0在点x＝x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0图象

极值f(x0)为_______f(x0)为_______极值点x0为_________x0为_________极大值极大值点极小值极小值点2.函数的最大(小)值(1)函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件：如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条

的曲线，那么它必有最大值和最小值.(2)求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤：①求函数y＝f(x)在(a，b)内的

；②将函数y＝f(x)的各极值与

比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.连续不断极值端点处的函数值f(a)，f(b)对于可导函数f(x)，“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数的极值可能不止一个，也可能没有.(

)(2)函数的极小值一定小于函数的极大值.(

)(3)函数的极小值一定是函数的最小值.(

)(4)函数的极大值一定不是函数的最小值.(

)√××√1.如图是f(x)的导函数f′(x)的图象，则f(x)的极小值点的个数为由题意知，只有在x＝－1处，f′(－1)＝0，且其两侧导数符号为左负右正，故f(x)的极小值点只有1个.A.1B.2C.3D.4√2.函数f(x)＝x3－ax2＋2x－1有极值，则实数a的取值范围是_________________________.f′(x)＝3x2－2ax＋2，由题意知f′(x)有变号零点，∴Δ＝(－2a)2－4×3×2>0，3.若函数f(x)＝

－4x＋m在[0,3]上的最大值为4，则m＝_____.f′(x)＝x2－4，x∈[0,3]，当x∈[0,2)时，f′(x)<0，当x∈(2,3]时，f′(x)>0，所以f(x)在[0,2)上单调递减，在(2,3]上单调递增.又f(0)＝m，f(3)＝－3＋m，所以在[0,3]上，f(x)max＝f(0)＝4，所以m＝4.4探究核心题型第二部分命题点1根据函数图象判断极值题型一利用导数求解函数的极值问题例1

如图是函数y＝f(x)的导函数的图象，下列结论中正确的是A.f(x)在(－2，－1)上单调递增B.当x＝3时，f(x)取得最小值C.当x＝－1时，f(x)取得极大值D.f(x)在(－1,2)上单调递增，在(2,4)上单调递减√根据图象知，当x∈(－2，－1)，x∈(2,4)时，f′(x)<0，函数y＝f(x)单调递减；当x∈(－1,2)，x∈(4，＋∞)时，f′(x)>0，函数y＝f(x)单调递增.所以y＝f(x)在(－2，－1)和(2,4)上单调递减，在(－1,2)和(4，＋∞)上单调递增，故选项A不正确，选项D正确；当x＝－1时，f(x)取得极小值，故选项C不正确；当x＝3时，f(x)不取得最小值，故选项B不正确.命题点2求已知函数的极值例2

(2022·西南大学附中模拟)已知函数f(x)＝lnx＋2ax2＋2(a＋1)x(a≠0)，讨论函数f(x)的极值.因为f(x)＝lnx＋2ax2＋2(a＋1)x，所以f(x)的定义域为(0，＋∞)，若a>0，则当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0恒成立，故函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，无极值.命题点3已知极值(点)求参数例3

(1)(2023·福州质检)已知函数f(x)＝x(x－c)2在x＝2处有极小值，则c的值为A.2B.4C.6D.2或6√由题意，f′(x)＝(x－c)2＋2x(x－c)＝(x－c)·(3x－c)，则f′(2)＝(2－c)(6－c)＝0，所以c＝2或c＝6.若c＝2，则f′(x)＝(x－2)(3x－2)，当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，函数f(x)在x＝2处有极小值，满足题意；若c＝6，则f′(x)＝(x－6)(3x－6)，当x∈(－∞，2)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当x∈(2,6)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(6，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，函数f(x)在x＝2处有极大值，不符合题意.综上，c＝2.(2)(2023·威海模拟)若函数f(x)＝ex－ax2－2ax有两个极值点，则实数a的取值范围为√由f(x)＝ex－ax2－2ax，得f′(x)＝ex－2ax－2a.因为函数f(x)＝ex－ax2－2ax有两个极值点，所以f′(x)＝ex－2ax－2a有两个变号零点，当x>0时，g′(x)<0；当x<0时，g′(x)>0，所以g(x)在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减.根据函数的极值(点)求参数的两个要领(1)列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解；(2)验证：求解后验证根的合理性.思维升华跟踪训练1

(1)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx－a2－7a在x＝1处取得极大值10，则a＋b的值为A.－1或3 B.1或－3C.3 D.－1√因为f(x)＝x3＋ax2＋bx－a2－7a，所以f′(x)＝3x2＋2ax＋b，因为函数f(x)在x＝1处取得极大值10，所以f′(1)＝3＋2a＋b＝0，①f(1)＝1＋a＋b－a2－7a＝10，

②联立①②，解得a＝－2，b＝1或a＝－6，b＝9.当a＝－6，b＝9时，f′(x)＝3x2－12x＋9＝(x－1)(3x－9)，f(x)在(－∞，1)和(3，＋∞)上单调递增，在(1,3)上单调递减，故f(x)在x＝1处取得极大值10，符合题意.综上可得，a＝－6，b＝9.则a＋b＝3.(2)(2022·哈师大附中模拟)已知函数f(x)＝

＋2klnx－kx，若

x＝2是函数f(x)的唯一极值点，则实数k的取值范围是

√∴φ(x)在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，又当x→＋∞时，φ(x)→＋∞，题型二利用导数求函数最值命题点1不含参函数的最值例4

(2022·全国乙卷)函数f(x)＝cosx＋(x＋1)sinx＋1在区间[0,2π]的最小值、最大值分别为√f(x)＝cosx＋(x＋1)sinx＋1，x∈[0,2π]，则f′(x)＝－sinx＋sinx＋(x＋1)·cosx＝(x＋1)cosx，x∈[0,2π].又f(0)＝cos0＋(0＋1)sin0＋1＝2，f(2π)＝cos2π＋(2π＋1)sin2π＋1＝2，命题点2含参函数的最值例5

知函数f(x)＝

－lnx(a∈R)，(1)讨论f(x)的单调性；①若a≤0，则f′(x)<0在(0，＋∞)上恒成立，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递减；②若a>0，则当x>a时，f′(x)<0；当0<x<a时，f′(x)>0，所以f(x)在(0，a)上单调递增，在(a，＋∞)上单调递减.所以f(x)max＝f(a)＝－lna；求含有参数的函数的最值，需先求函数的定义域、导函数，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数f(x)的最值.思维升华跟踪训练2

(1)(2021·新高考全国Ⅰ)函数f(x)＝|2x－1|－2lnx的最小值为_____.1函数f(x)＝|2x－1|－2lnx的定义域为(0，＋∞).当x>1时，f′(x)>0，所以f(x)min＝f(1)＝2－1－2ln1＝1；＝ln4>lne＝1.综上，f(x)min＝1.(2)已知函数h(x)＝x－alnx＋

(a∈R)在区间[1，e]上的最小值小于零，求a的取值范围.①当a＋1≤0，即a≤－1时，h′(x)>0恒成立，即h(x)在(0，＋∞)上单调递增，则h(x)在[1，e]上单调递增，故h(x)min＝h(1)＝2＋a<0，解得a<－2；②当a＋1>0，即a>－1时，在(0，a＋1)上，h′(x)<0，在(a＋1，＋∞)上，h′(x)>0，所以h(x)在(0，a＋1)上单调递减，在(a＋1，＋∞)上单调递增，若a＋1≤1，求得h(x)min>1，不合题意；若1<a＋1<e，即0<a<e－1，则h(x)在(1，a＋1)上单调递减，在(a＋1，e)上单调递增，故h(x)min＝h(a＋1)＝2＋a[1－ln(a＋1)]>2，不合题意；若a＋1≥e，即a≥e－1，则h(x)在[1，e]上单调递减，课时精练第三部分基础保分练1.如图是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象，则下列命题正确的是A.x＝－2是函数y＝f(x)的极大值点B.x＝1是函数y＝f(x)的极值点C.y＝f(x)的图象在x＝0处的切线的斜率小于零D.函数y＝f(x)在区间(－2,2)上单调递增√1234567891011121314对于A，根据导函数图象可知，－2是导函数的零点，且－2的左侧导函数值小于0，右侧导函数值大于0，故x＝－2是f(x)的极小值点，故A错误；对于B，x＝1不是极值点，因为1的左、右两侧导函数值的符号一致，故B错误；对于C，x＝0处的导函数值即为此点处的切线斜率，显然为正值，故C错误；对于D，导函数值在(－2,2)上恒大于等于零，故函数y＝f(x)在区间(－2,2)上单调递增，故D正确.12345678910111213141234567891011121314√12345678910111213141234567891011121314√由函数f(x)＝2lnx＋ax2－3x，1234567891011121314因为x＝2是f(x)的极值点，可得f′(2)＝1＋4a－3＝0，当1<x<2时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减；当2<x≤3时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增，1234567891011121314所以f(1)<f(3)，12345678910111213144.(2022·全国甲卷)当x＝1时，函数f(x)＝alnx＋

取得最大值－2，则f′(2)等于√因为函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，1234567891011121314因此函数f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，当x＝1时取最大值，满足题意.12345678910111213145.已知函数f(x)＝ax2－2x＋lnx有两个不同的极值点x1，x2，则实数a的取值范围为1234567891011121314√由f(x)＝ax2－2x＋lnx(x>0)，若函数f(x)＝ax2－2x＋lnx有两个不同的极值点x1，x2，则方程2ax2－2x＋1＝0有两个不相等的正实根，123456789101112131412345678910111213146.已知函数f(x)＝

，则下列说法错误的是A.曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y＝x－1B.f(x)的单调递减区间为(e，＋∞)C.f(x)的极大值为D.方程f(x)＝－1有两个不同的解√对于A，f(1)＝0，f′(1)＝1，则曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y＝x－1，所以A正确；对于B，令f′(x)<0，得x>e，所以f(x)的单调递减区间为(e，＋∞)，所以B正确；对于C，令f′(x)>0，得0<x<e，所以f(x)在(0，e)上单调递增，又f(x)在(e，＋∞)上单调递减，所以f(x)的极大值为f(e)＝

，所以C正确；1234567891011121314对于D，当x>1时，f(x)>0，当0<x<1时，f(x)<0，画出f(x)的大致图象，如图，方程f(x)＝－1解的个数即y＝f(x)的图象与y＝－1的交点个数，由图知方程f(x)＝－1只有一个解，所以D错误.123456789101112131412345678910111213147.(2023·潍坊模拟)写出一个存在极值的奇函数f(x)＝________________.正弦函数f(x)＝sinx为奇函数，且存在极值.sinx(答案不唯一)12345678910111213148.甲、乙两地相距240km，汽车从甲地以速度v(km/h)匀速行驶到乙地.已知汽车每小时的运输成本由固定成本和可变成本组成，固定成本为160元，可变成本为

元.为使全程运输成本最小，汽车应以____km/h的速度行驶.80设全程运输成本为y元，1234567891011121314令y′＝0，得v＝80.当v>80时，y′>0；当0<v<80时，y′<0.1234567891011121314所以当v＝80时，全程运输成本最小.(1)讨论f(x)的单调性；12345678910111213141234567891011121314∵a>0，(2)若y＝f(x)的图象与x轴没有公共点，求a的取值范围.1234567891011121314∵y＝f(x)的图象与x轴没有公共点，∴1－lna>0，∴0<a<e.∴a的取值范围为(0，e).123456789101112131410.(2023·张家口质检)已知函数f(x)＝ex＋e－x－ax2－2.(1)当a＝1时，证明：函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增；当a＝1时，f(x)＝ex＋e－x－x2－2，f′(x)＝ex－e－x－2x.令φ(x)＝ex－e－x－2x，当x>0时，φ′(x)＝ex＋e－x－2>0，所以函数f′(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，故f′(x)>f′(0)＝0，故函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增.1234567891011121314(2)若g(x)＝f(x)－e－x，讨论函数g(x)的极值点的个数.由题意知，g(x)＝ex－ax2－2，当a＝0时，g(x)＝ex－2单调递增，无极值点，当a≠0时，g′(x)＝ex－2ax，由g′(0)＝1，得x＝0不是极值点.1234567891011121314当x<0时，h(x)<0，且h′(x)<0，故函数g(x)存在一个极值点；当0<x<1时，h′(x)<0，当x>1时，h′(x)>0，故函数h(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，h(1)＝e为函数h(x)的极小值，1234567891011121314故函数g(x)无极值点.综上，当a<0时，函数g(x)存在一个极值点，12345678910111213141234567891011121314123456789101112131411.(2021·全国乙卷)设a≠0，若x＝a为函数f(x)＝a(x－a)2(x－b)的极大值点，则A.a<b

B.a>bC.ab<a2

D.ab>a2√综合提升练当a>0时，根据题意画出函数f(x)的大致图象，如图1所示，观察可知b>a.当a<0时，根据题意画出函数f(x)的大致图象，如图2所示，观察可知a>b.综上，可知必有ab>a2成立.图1

图212345678910111213141234567891011121314√1234567891011121314h(2)＝2ln2－2×22＋1＝2ln2－7，1234567891011121314则h(x)min＝h(2)＝2ln2－7，即a的最小值为2ln2－7.1234567891011121314123456789101112131413.如图所示，已知