2025届高考数学二轮专题复习与测试第二部分思想结论篇1.思想方法二级结论课件

第二部分思想结论篇思想方法、二级结论高考命题是以知识为载体，以能力立意、思想方法为灵魂，以核心素养为统领，兼顾试题的基础性、综合性、应用性和创新性，展现数学的科学价值和人文价值．高考试题一是着眼于知识点新颖巧妙的组合，二是着眼于对数学思想方法、数学能力的考查．如果说数学知识是数学的内容，可用文字和符号来记录和描述，那么数学思想方法则是数学的意识，重在领会与运用，属于思维的范畴，用于对数学问题的认识、处理和解决．高考中常用到的数学思想主要有函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想等．思想方法一函数与方程思想PART01第一部分一函数与方程思想函数思想方程思想函数思想是通过建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题得到解决的思想方程思想就是建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组或者运用方程的性质去分析问题、转化问题，使问题得到解决的思想函数与方程思想在一定的条件下是可以相互转化的，是相辅相成的，函数思想重在对问题进行动态的研究，方程思想则是在动中求静，研究运动中的等量关系应用1借助函数关系解决问题在方程、不等式、三角函数、平面向量、数列、圆锥曲线等数学问题中，将原有隐含的函数关系凸显出来，从而充分运用函数知识或函数方法使问题顺利获解．

如图1，将一张边长为20的正方形纸片ABCD剪去四个全等的等腰三角形：△PEE1，△PFF1，△PGG1，△PHH1，再将剩下的阴影部分折成一个正四棱锥P-EFGH，使点E与点E1重合，点F与点F1重合，点G与点G1重合，点H与点H1重合，点A，B，C，D重合于点O，如图2.则正四棱锥P-EFGH的体积的最大值为(

)√本题求体积(面积)的最值时，由于函数式较复杂，采用了换元法进行化简，进而利用导数法求最值，计算较为简便，换元时要注意写出新元的取值范围．此题有意识地凸显其函数关系，进而用函数思想或函数方法研究问题、解决问题，不仅能获得简便的解法，而且能促进科学思维的培养，提高发散思维的水平．应用2转换函数关系解决问题在有关函数形态和曲线性质或不等式的综合问题、恒成立问题中，经常需要求参数的取值范围，如果按照原有的函数关系很难解题时，不妨转换思维角度，放弃题设的主参限制，挑选合适的主变元，揭示它与其他变元的函数关系，切入问题本质，从而使原问题获解．√应用3构造函数关系解决问题在数学各分支的形形色色的问题或综合题中，将非函数问题的条件或结论，通过类比、联想、抽象、概括等手段，构造出某些函数关系，在此基础上利用函数思想和方法使原问题获解，这是函数思想解题的更高层次的体现．特别要注意的是，构造时，要深入审题，充分挖掘题设中可类比、联想的因素，促进思维迁移．

已知a>0，若在(1，＋∞)上存在x使得不等式ex－x≤xa－alnx成立，则a的最小值为________．e解答本题的关键点：(1)对于结构相同(相似)的不等式，通常考虑变形，构造函数．(2)利用指数式与对数式构造函数y＝ex－x.应用4建立方程(组)形式解决问题分析题目中的未知量，根据条件分别列出关于未知量的方程(组)，使原问题得到解决，这就是构造方程法，是应用方程思想解决非方程问题的极富创造力的一个方法．√此题是一道典型的求离心率的题目，一般需要通过a，b，c之间的关系，得出关于a，c的方程，经过恒等变形就可以求出离心率．应用5转换方程形式解决问题把题目中给定的方程根据题意转换形式，凸显其隐含条件，充分发挥其方程性质，运用有关方程的解的定理(如根与系数的关系、判别式、实根分布的充要条件)使原问题获解，这是方程思想应用的又一个方法．二数形结合思想PART02第二部分以形助数(数题形解)以数辅形(形题数解)借助形的生动性和直观性来阐述数之间的关系，把数转化为形，即以形作为手段，数作为目的来解决数学问题的数学思想借助于数的精确性、规范性及严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的来解决数学问题的数学思想数形结合思想通过“以形助数，以数辅形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合应用1巧借函数图象解决问题

(1)已知函数y＝2x＋x，y＝lnx＋x，y＝lgx＋x的零点依次为x1，x2，x3，则(

)A．x1<x2<x3

B．x2<x1<x3C．x2<x3<x1

D．x1<x3<x2√【解析】由题意可知，2x1＝－x1，lnx2＝－x2，lgx3＝－x3，在同一平面直角坐标系中画出函数y＝2x，y＝lnx，y＝lgx和y＝－x的图象，如图，由图可知，函数y＝2x，y＝lnx，y＝lgx的图象与y＝－x的图象交点的横坐标依次为x1，x2，x3，且x1<x3<x2，故选D.(2)若关于x的方程ex＝a|x|恰有两个不同的实数解，则实数a的值为________．【解析】如图，显然a>0.当x≤0时，由单调性得，方程ex＝－ax有且仅有一解．因此当x>0时，方程ex＝ax也恰有一解，即y＝ax为函数y＝ex的切线，y′＝ex，令y′＝a得x＝lna，故当x＝lna时，由ex＝ax，得elna＝alna，即a＝alna，从而a＝e.故当a＝e时，关于x的方程ex＝a|x|恰有两个不同的实数解．e研究函数的零点及方程的根、不等式的求解及参数范围等问题，常转化为函数图象的交点问题，其思维流程为：√(2)已知P为抛物线C：y2＝2px(p>0)上一点，若点P到y轴和到直线3x－4y＋12＝0的距离之和的最小值为2，则抛物线C的准线方程为________．x＝－1三分类讨论思想PART03第三部分三分类讨论思想分类讨论的原则分类讨论的常见类型1.不重不漏2．标准要统一，层次要分明3．能不分类的要尽量避免，决不无原则的讨论1.由数学概念而引起的分类讨论2．由数学运算要求而引起的分类讨论3．由性质、定理、公式的限制而引起的分类讨论4．由图形的不确定性而引起的分类讨论5．由参数的变化而引起的分类讨论分类讨论是一种重要的数学思想方法，当问题的对象不能进行统一研究时，就需要对研究的对象按某个标准进行分类，然后对每一类分别进行研究，给出每一类的结论，最终综合各类结果得到整个问题的解答．实质上分类讨论就是“化整为零，各个击破，再集零为整”的数学策略应用1由概念、运算、性质引起的分类讨论

(1)已知等比数列{an}的公比为q(q≠1)，若Tn＝a1a2a3·…·an(n∈N*)，则“数列{Tn}为递增数列”是“a1>0且q>1”的(

)A．充要条件

B．充分不必要条件C．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件√【解析】令g(x)＝f(x－1)，当x－1≤2，即x≤3时，g(x)＝f(x－1)＝10x－3－103－x，当x－1>2，即x>3时，g(x)＝f(x－1)＝|x－4|－1，解不等式f(x)＋g(x)<0，对x的取值分类讨论：①当x≤2时，f(x)＝10x－2－102－x≤0，g(x)＝10x－3－103－x<0，f(x)＋g(x)＝10x－2－102－x＋10x－3－103－x<0，符合题意；②当2<x≤3时，f(x)＝3－x－1＝2－x<0，g(x)＝10x－3－103－x≤0，f(x)＋g(x)＝2－x＋10x－3－103－x<0，符合题意；③当3<x≤4时，f(x)＝x－4≤0，g(x)＝4－x－1＝3－x<0，f(x)＋g(x)＝x－4＋3－x＝－1<0，符合题意；解决由概念、运算、性质引起的分类讨论问题的步骤第一步：确定需分类的目标与对象．一般把需要用到公式、定理来解决问题的对象作为分类的目标；第二步：根据公式、定理确定分类标准．运用公式、定理对分类对象进行区分；第三步：分类解决“分目标”问题．对分类出来的“分目标”分别进行处理；第四步：汇总“分目标”．对“分目标”问题进行汇总，并作进一步处理．6(2)若函数f(x)＝lnx－ax2＋(a－2)x(其中x∈(1，＋∞))存在最小值，则实数a的取值范围为___________．

(－1，0)由参数取值引起的分类讨论问题的解题策略(1)含有参数的问题，常常结合参数的意义及对结果的影响进行分类讨论．(2)若参数有明确的几何意义时，应全面分析参数变化引起结论的变化情况，有时需要适当地运用数形结合思想，做到分类标准明确、不重不漏．应用3由图形位置或形状引起的分类讨论

(1)(多选)已知抛物线C的焦点在直线x＋2y＋3＝0上，则抛物线C的标准方程为(

)A．y2＝12x

B．y2＝－12xC．x2＝－6y

D．x2＝6y√√(1)涉及图形位置不同、大小差异不确定时，要进行分类讨论；(2)破解此类问题的关键：①确定特征：一般在确立初步特征时将能确定的所有位置先确定；②分类：根据初步特征对可能出现的位置关系进行分类；③得结论：将“所有关系”下的目标问题进行汇总处理．四转化与化归思想PART04第四部分转化与化归的原则常见的转化与化归的方法1.熟悉化原则2．简单化原则3．直观化原则4．正难则反原则1.直接转化法

2.换元法

3.数形结合法4.构造法

5.坐标法

6.类比法

7.特殊化法

8.等价问题法

9.加强命题法

10.补集法转化与化归思想就是在研究和解决有关数学问题时，采用某种措施将问题通过变换使之转化，进而使问题得到解决的一种数学思想√(2)若“∃x∈R，x2－6ax＋3a<0”为假命题，则实数a的取值范围为__________．(1)本题是正与反的转化，可先求出其反面情况，遵循“正难则反”的原则．(2)题目若出现多种成立的情形，则不成立的情形相对较少，从反面考虑较简单，因此，间接法多用于含有“至多”“至少”及否定性命题情形的问题中．应用2常量与变量的相互转化

已知函数f(x)＝x3＋3ax－1，g(x)＝f′(x)－ax－5，其中f′(x)是f(x)的导函数．对任意a∈[－1，1],都有g(x)<0，则实数x的取值范围为__________．(1)本题是把关于x的函数转化为区间[－1，1]内关于a的一次函数的问题．(2)在处理多变元的数学问题时，我们可以选取其中的常数(参数)，将其看成“主元”，而把其他变元看成常量，从而达到减少变元简化运算的目的．√(2)已知一个等差数列的前n项和为48，前2n项和为60，则它的前3n项和为(

)