天津市五区县重点校联考2023-2024学年高二下学期7月期末考试 数学 含解析

2023～2024学年度第二学期期末重点校联考高二数学一、选择题（本题共9小题，每题5分，共45分）1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.设函数的图象在点处的切线方程为，则（）A.1 B.2 C.3 D.43.若，函数为奇函数，则是（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.函数的图象大致为（）A. B.C D.5.通过随机抽样，我们绘制了如图所示的某种商品每千克价格（单位：百元）与该商品消费者年需求量（单位：千克）的散点图.若去掉图中右下方的点后，下列说法正确的是（）A.“每千克价格”与“年需求量”这两个变量由负相关变为正相关B.“每千克价格”与“年需求量”这两个变量的线性相关程度不变C.“每千克价格”与“年需求量”这两个变量的线性相关系数变大D.“每千克价格”与“年需求量”这两个变量的线性相关系数变小6.已知某厂甲、乙两车间生产同一批衣架，且甲、乙两车间的产量分别占全厂产量的，，甲、乙车间的优品率分别为.现从该厂这批产品中任取一件，则取到优品的概率为（）A. B. C. D.7.某学校选派甲，乙，丙，丁，戊共5位优秀教师分别前往A，B，C，D四所农村小学支教，用实际行动支持农村教育，其中每所小学至少去一位教师，甲，乙，丙不去B小学但能去其他三所小学，丁，戊四个小学都能去，则不同的安排方案的种数是（）A.72 B.78 C.68 D.808.已知为上偶函数，且对时，都有成立，若则（）A. B. C. D.9.已知函数，若方程有7个不同实根，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.二、填空题（本题共6小题，每题5分，共30分）10.设命题，，则该命题的否定为_____________.11.某校高二年级一次数学考试的成绩服从正态分布.若平均分为100，120分以下人数概率为0.8，理论上说在80~120分数段人数概率为____________.12.已知为正数，的展开式中各项系数的和为1，则常数项为___________.13.已知，则最小值是_________．14.为了备战2023斯诺克世锦赛，丁俊晖与赵心童两人进行了热身赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，热身进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设丁俊晖在每局中获胜的概率为，赵心童在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立，比赛停止时已打局数为，则__________．15.设函数，若且，使得成立，则实数a的取值范围为______.三、解答题（本大题共5小题，共75分，解答必须写出必要的文字说明、推理过程或计算步骤）16.计算下列各式的值：（1）；（2）；（3）若，，求的值.17.袋子中有大小相同的2个白球､3个黑球，每次从袋子中随机摸出一个球.（1）若摸出的球不再放回，求在第一次摸到白球的条件下，第二次摸到白球的概率；（2）若对摸出的球看完颜色后就放回，这样连续摸了3次，求3次摸球中摸到白球的次数的分布列和均值.18.“马街书会”是流行于河南省宝丰县的传统民俗活动，为国家级非物质文化遗产之一．每年农历正月十三来自省内外的说书艺人负鼓携琴，汇集于此，说书亮艺，河南坠子、道情、曲子、琴书等曲种应有尽有，规模壮观．为了解人们对该活动的喜爱程度，现随机抽取200人进行调查统计，得到如下列联表：不喜爱喜爱合计男性90120女性25合计200附：，其中．0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828（1）完成列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为性别与对该活动的喜爱程度有关联？（2）为宣传曲艺文化知识，当地文化局在书会上组织了戏曲知识竞赛活动．活动规定从8道备选题中随机抽取4道题进行作答．假设在8道备选题中，戏迷甲正确完成每道题的概率都是，且每道题正确完成与否互不影响；戏迷乙只能正确完成其中的6道题．①求戏迷甲至少正确完成其中3道题的概率；②设随机变量表示戏迷乙正确完成题的个数，求的分布列及数学期望．19.已知函数，.（1）若曲线在点处的切线斜率为4，求a的值；（2）讨论函数的单调性；（3）已知的导函数在区间上存在零点，求证：当时，.20.已知函数，（e为自然对数的底数），.（1）若时，求函数极值；（2）若恒成立，求实数m的值；（3）若直线是曲线的一条切线.求证：对任意实数，都有.2023～2024学年度第二学期期末重点校联考高二数学一、选择题（本题共9小题，每题5分，共45分）1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先化简集合，再由交集的概念，即可得出结果.【详解】因为，，所以.故选：D.【点睛】本题主要考查求集合的交集，熟记交集的概念即可，属于基础题型.2.设函数的图象在点处的切线方程为，则（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】D【解析】【分析】根据给定条件，利用导数的定义及导数的几何意义计算作答.【详解】因为函数的图象在点处的切线方程为，则，所以.故选：D3.若，函数为奇函数，则是的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】将值代入函数，根据奇函数的定义式是否成立来判断充分性；由奇函数的定义式来构造方程求参数的值，从而判断必要性.【详解】因为，所以，所以，所以此时是奇函数，所以p是q的充分条件.若是奇函数，则，即，所以，即所以p是q的不必要条件.综上得：p是q的充分不必要条件.故选：A.4.函数的图象大致为（）A B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据时，，排除BD，结合函数单调性排除C即可．【详解】，当时，，恒成立，排除BD；，令得：，此时在单调递增，其中，排除C；故当时，取得最大值，故A正确．故选：A5.通过随机抽样，我们绘制了如图所示的某种商品每千克价格（单位：百元）与该商品消费者年需求量（单位：千克）的散点图.若去掉图中右下方的点后，下列说法正确的是（）A.“每千克价格”与“年需求量”这两个变量由负相关变为正相关B.“每千克价格”与“年需求量”这两个变量的线性相关程度不变C.“每千克价格”与“年需求量”这两个变量的线性相关系数变大D.“每千克价格”与“年需求量”这两个变量的线性相关系数变小【答案】D【解析】【分析】根据相关系数的概念逐一判断.【详解】对于A：去掉图中右下方的点后，根据图象，两个变量还是负相关，A错误；对于BCD：去掉图中右下方的点后，相对来说数据会集中，相关程度会更高，但因为是负相关，相关系数会更接近线性相关系数会变小，故D正确，BC错误.故选：D.6.已知某厂甲、乙两车间生产同一批衣架，且甲、乙两车间的产量分别占全厂产量的，，甲、乙车间的优品率分别为.现从该厂这批产品中任取一件，则取到优品的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据全概率公式，结合已知条件，即可求得结果.【详解】设分别表示产品由甲、乙车间生产；表示产品优品，由题可得：，故.故选：A.7.某学校选派甲，乙，丙，丁，戊共5位优秀教师分别前往A，B，C，D四所农村小学支教，用实际行动支持农村教育，其中每所小学至少去一位教师，甲，乙，丙不去B小学但能去其他三所小学，丁，戊四个小学都能去，则不同的安排方案的种数是（）A.72 B.78 C.68 D.80【答案】B【解析】【分析】用排除法，先求出把5人分到四个小学的方法数，减去小学去了甲，乙，丙中一个或两个的方法即可得．【详解】先把5人分到四个小学，排除小学安排了甲，乙，丙的情况（分为小学只去1人是甲，乙，丙中的一个，B小学去了2人，其中1人是甲，乙，丙中的一个，或2人都是甲，乙，丙中的一个），因此方法数为：,故选：B．8.已知为上偶函数，且对时，都有成立，若则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先由函数的奇偶性把转化到同一区间，再利用单调性比较即可.【详解】因为，又为上偶函数，所以，所以，又，，因为对时，都有成立，设，因为，，即自变量小时函数值大，所以为减函数，所以即，故选：B.9.已知函数，若方程有7个不同的实根，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】作出函数的大致图象，由已知得或，有3个解，则有4个解，数形结合可得，可求得实数的取值范围．【详解】作出函数的大致图象，如图所示．由，得，得或．由图象可知直线与的图象有3个公共点，所以方程有3个不同的实根，因为方程有7个不同的实根，所以直线与的图象有4个公共点，故，故，则实数的取值范围是．故选：A.二、填空题（本题共6小题，每题5分，共30分）10.设命题，，则该命题的否定为_____________.【答案】，【解析】【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题即可得解.【详解】命题，，为存在量词命题，其否定为：，.故答案为：，11.某校高二年级一次数学考试的成绩服从正态分布.若平均分为100，120分以下人数概率为0.8，理论上说在80~120分数段人数概率为____________.【答案】##【解析】【分析】根据正态分布的性质求解即可.【详解】由题意得，，所以所以，故答案为：12.已知为正数，的展开式中各项系数的和为1，则常数项为___________.【答案】60【解析】【分析】先利用已知条件求出参数，再展开式的通项公式找出常数项，然后用公式计算即可.【详解】因为的展开式中各项系数的和为1，且为正数，所以，则，故的展开式的通项为，令，解得，所以的展开式中常数项为，故答案：60.13.已知，则的最小值是_________．【答案】【解析】【分析】由题得，化简整理得再利用基本不等式可得解.【详解】由，得，则，当且仅当时等号成立，此时或；则的最小值是.故答案为：.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.14.为了备战2023斯诺克世锦赛，丁俊晖与赵心童两人进行了热身赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，热身进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设丁俊晖在每局中获胜的概率为，赵心童在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立，比赛停止时已打局数为，则__________．【答案】【解析】【分析】依题意得到的可能取值，再求出对应的概率，从而求解期望即可．【详解】解：依题意知，的所有可能值为2，4，6，设每两局比赛为一轮，可以得到该轮结束时比赛停止的概率为，如果该轮结束时比赛还将继续，那么丁俊晖､赵心童在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响，从而有，故，故答案为：．15.设函数，若且，使得成立，则实数a的取值范围为______.【答案】【解析】【分析】如果的图象含有二次函数的对称轴右侧的一部分，则满足题意，否则在和的各存在一点关于直线对称，由此可得参数范围．【详解】由题意的图象上存在两点关于直线对称，又是对称轴为的抛物线，所以当时，显然满足题意，当时，是增函数，不存在关于直线的对称点，所以不妨设，由得，解得，所以，即，即，综上，，故答案为：．【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于分析得分段函数的大致图象，从而得到当时，有，由此得解.三、解答题（本大题共5小题，共75分，解答必须写出必要的文字说明、推理过程或计算步骤）16.计算下列各式的值：（1）；（2）；（3）若，，求的值.【答案】（1）（2）（3）1【解析】【分析】（1）根据幂的运算法则计算；（2）利用换底公式后计算；（3）指数式与对数式互化后，由对数运算法则、换底公式求解．【小问1详解】；【小问2详解】；【小问3详解】，又，所以.17.袋子中有大小相同的2个白球､3个黑球，每次从袋子中随机摸出一个球.（1）若摸出的球不再放回，求在第一次摸到白球的条件下，第二次摸到白球的概率；（2）若对摸出的球看完颜色后就放回，这样连续摸了3次，求3次摸球中摸到白球的次数的分布列和均值.【答案】（1）（2）分布列见解析，【解析】【分析】（1）根据条件概率公式的定义或者公式，即可求解；（2）首先写出随机变量的取值，再根据取值的意义，写出概率，即可求出分布列和数学期望.【小问1详解】角度一：第一次摸到白球，第二次摸球时袋子中有1个白球，3个黑球，所求概率.角度二：设“第一次摸到白球”，“第二次摸到白球”，则，,所求概率；【小问2详解】的所有可能取值为.，，，，的分布列为：0123,的均值.18.“马街书会”是流行于河南省宝丰县的传统民俗活动，为国家级非物质文化遗产之一．每年农历正月十三来自省内外的说书艺人负鼓携琴，汇集于此，说书亮艺，河南坠子、道情、曲子、琴书等曲种应有尽有，规模壮观．为了解人们对该活动的喜爱程度，现随机抽取200人进行调查统计，得到如下列联表：不喜爱喜爱合计男性90120女性25合计200附：，其中．0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828（1）完成列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为性别与对该活动的喜爱程度有关联？（2）为宣传曲艺文化知识，当地文化局在书会上组织了戏曲知识竞赛活动．活动规定从8道备选题中随机抽取4道题进行作答．假设在8道备选题中，戏迷甲正确完成每道题的概率都是，且每道题正确完成与否互不影响；戏迷乙只能正确完成其中的6道题．①求戏迷甲至少正确完成其中3道题的概率；②设随机变量表示戏迷乙正确完成题的个数，求的分布列及数学期望．【答案】（1）列联表见解析，性别与对活动的喜爱程度无关．（2）①概率为；②的分布列见解析；数学期望【解析】【分析】（1）计算出卡方，与2.706比较后得到结论；（2）①利用二项分布求概率公式求出概率；②得到的可能取值及对应的概率，得到分布列，求出数学期望.【小问1详解】补全的列联表如下：不喜爱喜爱合计男性3090120女性255580合计55145200根据表中数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此我们可以认为成立，即认为对该场活动的喜爱程度与性别无关．【小问2详解】①记“戏迷甲至少正确完成其中3道题”为事件A，则．②的可能取值为，，，的分布列为；X234P数学期望.19.已知函数，.（1）若曲线在点处的切线斜率为4，求a的值；（2）讨论函数的单调性；（3）已知的导函数在区间上存在零点，求证：当时，.【答案】（1）（2）答案见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）由可求得；（2）求出导函数，分类讨论确定和的解得单调区间；（3）根据（2）的求解，先确定的导函数在区间上存在零点时的范围，确定单调性后得的最小值，引入新函数后，由导数得新函数的最小值，从而证得结论．【小问1详解】，则，由题意可得，解得；【小问2详解】由（1）可得：，当时，则恒成立，令，解得；令，解得；故在上单调递减，在上单调递增；当时，令，解得或，①当，即时，令，解得或；令，解得；故在，上单调递增，在上单调递减；②当，即时，则在定义域内恒成立，故在上单调递增；③当，即时，令，解得或；令，解得；故在，上单调递增，在上单调递减；综上所述：当时，在上单调递减，在上单调递增；当，在，上单调递增，在上单调递减；当，在上单调递增；当，在，上单调递增，在上单调递减；【小问3详解】由（2）知：若在区间上存在零点，则，解得.由（2）知：在上单调递增，在上单调递减，则，构建，，则，令，则当时恒成立，故在上单调递减，则，即当时恒成立，则在上单调递减，