高考数学一轮复习讲义空间向量的应用学生

课题：空间向量的应用

知识点

1.空间直角坐标系以及空间向量的坐标运算

空间直角坐标系及有关概念

(1)空间直角坐标系：以空间一点。为原点，建立三条两两垂直的数轴：X地，y轴，Z轴.这时建立了一

个空间直角坐标系0町％其中点。叫做坐标原点，x轴，y轴，z轴统称坐标轴.由每两个坐标轴确定的平

面叫做坐标平面.

(2)右手直角坐标系的含义：当右手拇指指向x轴的正方向，食指指出)，轴的正方向时，中指指向z轴的

正方向.

(3)空间一点M的坐标用有序实数组G,y,z)来表示，记作y,z),其中x叫做点M的横坐标,

y叫做点M的纵坐标，z叫做点M的竖坐标.

2.空间两点间的距离公式：设点力(xi，y\,zi),B(X2,加Z2),贝—(xi-X2)24-(yi-yi)2+(z\~Z2)2.

【注1】

1.在空间适当选取三个不共面向量作为基向量，其它任意一向量都可用这一组基向量表示.

2.中点向量公式丽7=；(近+无)，在解题时可以直接使用.

3.证明空间任意三点共线的方法：对空间三点P,4,8可通过证明下列结论成立来证明三点共线.

(1)~PA=XPB,

(2)对空间任一点O,OP=OA^t'AB}

(3)对空间任一点O,OP=xOA+yOB(x^y=\).

4.证明空间四点共面的方法：对空间四点尸，M,A,8可通过证明下列结论成立来证明四点共面

(1)MP=xMAIyMB；

(2)对空间任一点O,OP=OM+xMA+yMB；

(3)对空间任一点O,OP=xOM+yOA+zOB(x+y+z=\)i

(4)PM//AB(或苏〃丽或丽〃万7).

【注2】

1.当题目条件有垂直关系时，常转化为数量积为零进行应用；

2.当异面直线所成的角为。时,常利用它们所在的向量转化为向量的夹角。来进行计算.应该注意的是

a€(0,—]»0e[0,7c],所以cosa=|cos81=L"

2⑷・|b|

3.立体几何中求线段的长度可以通过解三角形，也可依据同=。2转化为向量求解.

【注3】

1.求向量的数量积的方法：

(1)设向量0,。的夹角为仇则aS=|o||b|cos仇

(2)若。=(xi,y\tzi),b=(X2>及，Z2)»贝(Ja，b=RX2+w+ziZ2.

根据已知条件，准确选择上述两种方法，可简化计算.

2.求向量模的方法：

(1)«|=\'«2；

(2)若Q=(x,yfz),则同=仙^+)+/.

3.空间向量的坐标运算

(1)设八j、A为两两垂直的单位向量，如果方=x7+v7+zE,贝IJ(X,乂2)叫做向量的坐标.

(2)设。=(X|,Z|),b=(X2，及，Z2)»那么

①。劫=3士工2,必土力，4±Z2)•

®ab=x}x2+yyy2+2仔2,

®cosQ,心=-1…%产——

后+必2+Z：.&2+%2+Z22

®\a\=4a=&+y；+Z[2,

⑤=(2x”义必,％Z1),

⑥o〃bo玉=4々，乂=4»2，Z1=初2(2ER),

⑦。_Lb=X]X2+yxy2+z,z2=0.

(3)设点Mi(xi，y\,ZI)NMi(必/，Z2),贝U|必必1=>/(X2-玉产+(%-必产+g-zj)

【注4】

1.两条异面直线所成的角

①定义：设。，6是两条异面直线，过空间任一点0作直线a'Ha,b1//b,则/与所夹的锐角或直

角叫做。与6所成的角.

②范围：两异面直线所成角。的取值范围是(0,、].

n・h

③向量求法：设直线a,b的方向向量为。，力，其夹角为°,则有cos0=|cos8|=|r———|.

1叶1"

2.直线与平面所成角：直线和平面所成角的求法：如图所示，设直线/的方向向量为e,平面a的法向量为

n,直线/与平面a所成的角为9,两向量e与〃的夹角为仇则有sin9=|cos6=®"L

|e||〃l

3.二面角：求二面角的大小

①如图1,AB、是二面角a—/一夕的两个面内与棱/垂直的直线，则二面角的大小。=（AB,CD）.

②如图2、3,晨跑分别是二面角a—/一成的两个半平面a,少的法向量，则二面角的大小。=<勺,%>（或

71-<>）•

4.利用向量求空间距离：空间向量的坐标表示及运算

（1）数量积的坐标运算设4=（内，。2,。3），b=（从，b2,心），则

①Q±b=（<7i±Z>l»。2±力2，。3士台3）；

②4。二（xai,&12，XCT3）；

®a-b=a\b\+“262+03加.

（2）共线与垂直的坐标表示：设0=（ai，。2，。3），b=（b\,Z>2»63）,

贝!）。〃〃0"=劝0。|="1，。2=动2，。3=»3R）,•力=00〃山1+0262+4383=0

6均为非零向量）.

（3）模、夹角和距离公式：设。=（。1，。2，。3），b=（61，岳，岳），则|。|=11%=用/+质+用，

/八a-b。1加+02a+0363、几，/,、八/,、

cosb）=---="r~r=.Tx,A（.ano\tc\）»B（a2，bi,ci），

同步I寸山+质+山•协，+庆+房

则力8=1481=J（〃2_4）2+0-6J?+（C,-Ci）?.

点面距的求法：如图，设48为平面。的一条斜线段，〃为平面a的法向量，则8到平面a的距高"二曲1.

I川

【注5】

1.求一对异面直线所成角：一是按定义平移转化为两相交直线的夹角；二是在异面直线上各取一向量，转

化为两向量的夹角或其补角，无论哪种求法，都应注意角的范围的限定.

2.利用直线的方向向量的夹角求异面直线的夹角时，注意区别：当异面直线的方向向量的夹角为锐角或

直角时，就是此异面宜线所成的角；当异面直线的方向向量的夹角为钝角时，其补角才是异面直线所成的

角.

【注6】

1.利用向量法求线面角的方法

（1）分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角（或其补角）；

（2）通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角（钝角时取其补角），取

其余角就是斜线和平面所成的角.

2.求二面角最常用的方法就是分别求出一面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的

夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角.

3.点到平面的距离，利用向量法求解比较简单，它的理论基础仍出于几何法，如本题，事实上，作5"，

平面于H.由函=痢+词/及司%?=〃・历。，得|前=•两=|两伽|,所以|两'两，即〃.扁.

1川I川

4.用向量法求异面直线所成角的一般步骤

(1)选择三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系：

(2)确定异面直线上两个点的坐标，从而确定异面直线的方向向量；

(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值：

(4)两异面直线所成角的余弦等于两向量夹角余弦值的绝对值.

典型例题

例1已知直三棱柱ABC-A|B|G中，ZABC=120°,AB=2,BC=CJ=1,则异面直线AB^与BQ

所成角的余弦值为()

A.B.---C.----D.

2553

例2长方体力88一小囱。。|中，AB=AA\=2,AD=\,E为CG的中点，则异面直线BCj与力£所成角的

余弦值为()

A遍B.画C.蛎D.蜒

10101010

例3如图，E是以力B为直径的半圆O上异于48的点，矩形/8C。所在的平面垂直于半圆。所在的平

面，且43=24。=2。。

(1)求证：EA±ECQ

(2)若异面直线ZE和。C所成的角为工，求平面QCE和平面4E8所成的锐二面角的余弦值。

6

例4如图，已知多面体力AiA,B\B,GC均垂直于平面力3C,N/8c=120。，出力=4,CiC=l,

AB=BC=B、B=2.

(1)证明:平面

(2)求直线4G与平面所成的角的正弦值.

例5妇图，在三棱锥P—48C中，AB=BC=2也PA=PB=PC=AC=4,。为4c的中点.

(1)证明：PO_L平面IBC；

(2)若点"在棱AC上，且二面角股一P4一。为20。，求PC与平面P4W所成角的正弦值.

例6在如图所示的多面体中，四边形/3CD是平行四边形，四边形尸是矩形，EO_L平面ZABD

=-,AB=2AD.

6

(1)求证：平面3。上/J_平面/££

(2)若ED=BD,求直线力/与平面力EC所成角的正弦值.

例7如图1,在高为6的等腰梯形力8CO中，AB//CD,且8=6,48=12,将它沿对称轴0。1折起，使

平面4。0|0_1_平面8(?。0,如图2,点尸为8C的中点，点E在线段48上(不同于48两点)，连接

OE并延长至点0,使40〃08.

(1)证明：0。_1平面4。；

(2)若BE=2AE,求二面角。一8。一4的余弦值.

例8妇图，四面体力8C0中，△力区是正三角形，△4。是直角三角形，ZABD=ZCBD,AB=BD.

(1)证明：平面力COJ■平面力BC；

(2)过力。的平面交3。于点E,若平面4EC把四面体力88分成体积相等的两部分，求二面角。一4E-

。的余弦值.

例9如图，四棱锥尸一48。中，侧面玄。为等边三角形且垂直于底面48CD,AB=BC=~AD,NBAD=

2

ZABC=90°,E是PO的中点.

(1)证明：直线CE〃平面R1&

(2)点必在棱尸。上，且直线3M与底面48c。所成角为45。，求二面角股一48一。的余弦值.

例10等边△49C的边长为3,点O,E分别是43,8c上的点，且满足独=昼=1(如图(1)),将△力Of

DBEA2

沿。E折起到△小DE的位置，使二面角由一。七一8成直二面角，连接4山，4c(如图(2)).

(1)求证：4D_L平面8CEO；

(2)在线段8c上是否存在点P,使直线P4与平面小8。所成的角为60。？若存在，求出P8的长；若不

存在，请说明理由.

例11如图，在四棱锥尸一/8CO中，底面彳5C。为正方形，尸。_L底面43。,用为线段尸C的中点，尸0=

N为线段6c上的动点.

(1)证明：平面MNQ_L平面P8C

(2)当点N在线段8c的何位置时，平面MNZ)与平面均8所成锐二面角的大小为30。？指出点N的位置，

并说明理由.

例12如图1,在边上为4的菱形45CD中，ND43=60。，点M,N分别是边6C,C。的中点，ACcBDR,

ACcMN=G.沿MV将△◎/可翻折到APWV的位置，连接口，PB,PD，得到如图2所示的五棱锥

P-ABMND.

(1)在翻折过程中是否总有平面PMJL平面HG?证明你的结论；

(2)当四棱锥P-MM98体积最大时，求直线尸8和平面所成角的正弦值；

(3)在(2)的条件下，在线段"上是否存在一点。，使得二面角。-MN-尸余弦值的绝对值为亚？若

10

存在，试确定点。的位置；若不存在，请说明理由.

例13如图，在四棱锥力8。七中，底面8CQE为矩形，M为C。中点，连接3M,CE交于点、F,G为AABE

的重心.

(1)证明：GR//平面4BC

(2)已知平面44C_L6C。从平面ZCDJ_平面AC'。/,BC=3,。。=6,当平囱GCE与平面所成锐二

面角为60。时，求G到平面4OE的距离.

例14如图，在三棱柱ABC-4片G中，“8。为等边三角形，四边形5CG4是边长为2的正方形，D为AB

中点，且4。二石.

(1)求证：CZ)_L平面43与4；

(2)若点尸在线段8c上，且直线力尸与平面所成角的正弦值为苧，求点尸到平面4。。的距离.

举一反三

1.如图，在三棱锥力―8CQ中，平面4BC_L平面58,AA4c与△BCD均为等腰直角三角形，且

NBAC=ZBCD=90°,BC=2.点、P是线段AB上的动点，若线段CD上存在点Q，使得异面直线PQ

与NC成30。的角，则线段刃长的取值范围是()

A.唱)B.(0用C.停，可D.停叱

2.如图所示，在棱长为2的正方体48CQ—44G2中，E,尸分别是CG，%。的中点，那么异面

直线4七和AXF所成角的余弦值等于.

3.如图，在正方体力BC。-中，E为84的中点.

(1)证明：BCJ/平面力DjE

(2)求直线8cl到平面4)f的距离；

4.在四棱锥尸-48C。中，PA=PB,NBAD=90、NPAD=90,AB〃CD,AD=AB=2CD=2,平面尸5O_L平

面产4D.

(1)证明：尸8_1_平面04。；

(2)求二面角8-尸。-力的正弦值.

5.如图，四棱锥P-/18C。中，底面48c。为矩形，尸4_L平面48c。，点E在线段尸。上.

(1)若石为尸。的中点，证明：P8〃平面4EC；

(2)若4=2,PD=2AB=4,若二面角七一月。一8的大小为学，试求的值.

6.如图在四棱锥「一”。。中，侧面P4)J.底面力80侧棱尸4二尸。=应，底面力8CZ)为直角梯形，其

中3C〃4D,ABA.AD,AD=2AB=2BC=2,。为40的中点.

(1)求证：PO_L平面48CO；

(2)求二面角C-PO-4的正弦值；

(3)线段40上是否存在。，使得它到平面尸8的距离为日？若存在，求出器的值；若不存在，说明

理由.

7.如图，在四棱柱力中，AB//CD,4B=BC=CCi=2CD,E为线段的中点，尸是线段

上的动点.

(1)求证：E尸〃平面BCGBi；

(2)若N8CO=NGCO=60。，且平面DGCD_L平面力88,求平面8CC而与平面。G8i所成角(锐角)

的余弦值.

8.如图所示的多面体是由底面为力8c。的长方体被截面力EGF所截而得到的，其中力8=4,BC=2,CC\

=3,BE=\.

(1)求8斤的长；

(2)求点C到平面4EG尸的距离.

9.如图，三棱台力8C-48iG中，侧面.4归184与侧面小GC4是全等的梯形，若44_L48,AiA±AiC\,

且AB=2A\B\=^A\A.

(1)若劭=2况i，戏=2曲,证明：OE〃平面BCC山|；

(2)若二面角G-力小一8为:，求平面4由归/与平面。归出。成的锐二面角的余弦值.

10.如图，四棱锥尸一48co的底面43C。是平行四边形，E4_L底面力BCO,PA=3,AD=2tAB=4,N

ABC=60°.

(1)求证：8C_L平面hC：

(2)E是侧棱尸8上一点，记公=4(0«1),是否存在实数九使平面4OE与平面均。所成的二面角为

60°?若存在，求出;I的值；若不存在，请说明理由.

11.如图，在四棱锥P—/18CO中，侧面P4Q_L底面底面是平行四边形，ZJBC=45°,AD

=4P=2,AB=DP=22,E为CO的中点，点尸在线段尸4上.

(1)求证：AD1PC；

(2)试确定点尸的位置，使得直线稗与平面尸QC所成的角和直线E/与平面488所成的角相等.

12.如图，在四棱锥产一”8中，底面/SCO为直角梯形，4)〃8C,ZADC=90°,平面距O_L底面/BCD,

。为/O的中点，M是棱尸C上的点，PA=PD=2,BC」AD=1,CD=3.

(1)求证：平面尸8C_L平面尸08；

(2)当PAZ的长为何值时，平面0A78与平面尸£＞。所成的锐二面角的大小为60。？

13.妇图，C是以48为直径的圆O上异于4,5的点，平面为C_L平面48C,PA=PC=AC=2,BC=4,

E,尸分别是尸C,尸8的中点，记平面力E尸与平面48。的交线为/.

(1)求证：LL平面B4C；

(2)直线/上是否存在点°,使直线产。分别与平面力叮、直线针所成的角互余？若存在，求出力。的长；

若不存在，请说明理由.

14.如图，在四棱锥尸一48co中，底面/8C。为菱形，/^_L平面48cO,4B=2,ZABC=60°,E,F分

别是BC,PC的中点.

(1)求证：AELPD,

(2)设，为线段产。上的动点，若线段长的最小值为5,求二面角七一.4产一。的余弦值.

课后练习

1.点M,N分别是正方体49CQ-44GA的楂3片和棱片G的中点，则异面直线CM与。N所成的

角的余弦值为()

4#cM八64

A.------B.C.D.—

15151515

2.如图所示，在四棱锥产一/BC。中，四边形438为菱形，△P40为正三角形，且瓦尸分别为40,45

的中点，PEJ_平面488,8七_1_平面产力O.

(1)求证：5C_L平面尸£5；

(2)求ER与平面PQC所成角的正弦值.

3.如图，在四棱锥一一/8。。中，平面R4Z)_L平面N8C。，PA1PD,P4=PD,ABYAD,AB=\t

AD=2,AC=CD=y/5.

(1)求证：PQJ•平面48；

(2)求直线尸8与平面PC。所成角的正弦值；

(3)在棱尸4上是否存在点M,使得5M//平面PCO?若存在，求生的值；若不存在，说明理由.

AP

4.如图，在斜三棱柱(侧棱不垂直于底面)[8。一小81G中，侧面44CC_L底面48C,底面△48。是边

长为2的正三角形，A}A=AiC,AyAVAxC.

(1)求证：JiCi±^iC；

(2)求二面角Bi-JiC-Ci的正弦值.

5.如图，在三棱锥产一力BC中，。为棱以上的任意一点，点凡G,〃分别为所在棱的中点.

(1)证明：BD〃平面FGH；

7c

(2)若。产_1_平面/8C,AB1BC,AB=2fN84C=45。，当二面角C-G/一〃的平面角为时，求棱尸C

3

的长.

6.如图，在四棱锥£一月88中，底面48co是圆内接四边形，CB=CD=CE=1,AB=AD=AE=3,EC

LBD.

(1)求证：平面平面48cZ＞；

(2)若点尸在平面力BE内运动，且OP”平面8EC,求直线。户与平面力3E所成角的正弦值的最大值.

7.如图所示，R1J-平面力Of,B,C分别是4E,。上的中点，AE.LAD,AD=AE=AP=2.

(1)求二面角力一尸七一。的余弦值；

(2)点。是线段8尸上的动点，当直线C0与。尸所成的角最小时，求线段B。的长.

8.如图，四棱锥P-48C。中，R4_L底面48c。，底面49co是直角梯形，ZJDC=90°,AD//BC,ABV

AC,AB=AC=2,点E在力。上，且力£=2££＞.

(1)已知点尸在8c上，且CF=2FB,求证：平面PE/LL平面均C；

(2)当二面角力一08一七的余弦值为多少时，直线尸C与平面以3所成的角为45。？

9.如图，在梯形48co中，AB//CD,AD=DC=CB=l,ZBCD=2\四边形8尸££＞为矩形，平面5PEO

_L平面力4CO,BF=\.

(1)求证：力£＞，平面8户££)；

(2)点P在线段川上运动，设平面R/R与平面4OE所成锐二面角为"试求0的最小值.

10.如图，在三棱锥尸-45C中，平面为8_L平面48C,AB=6,BC=23,AC=26,D,£分别为线段48,

8C上的点，且40=208,CE