高考数学一轮复习讲义：三角函数及其恒等变换（无答案）

三角函数及其恒等变换

知识点一、三角函数的有关概念

1、终边相同的角

所有与角。终边相同的角，连同角。在内，可构成一个集合：S={⑶尸=。+2女兀,kG7}.

2、弧长、扇形面积公式

设扇形的弧长为/，圆心角大小为a(rad)，半径为广，那么/=Ia，扇形的面积为S=J/r=[la|•r.

3、任意角的三角函数

(1)定义：设。是一个任意角，它的终边与单位圆交于点p(x,力，那么sina=y,cosa=x,tan4=；

(^0).

(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示.正弦线的起点都在《轴上，余弦线的起点都是原点，

正切线的起点都是(1,0).如图中有向线段即，〃犷"7分别叫做角a的正弦线、余弦线和正切线.

(3)三角函数值在各象限的符号规律：一全正、二正弦、三正切、四余弦.

小题速通

1.(2019•济南模拟)sin夕一cos,那么角。的终边位于()

A.第一象限B.笫二象限C.第三象限D.第四象限

2.。是第二象限角，尸(x,4)为其终边上一点，且cos。=乎入，那么x=()

A.B.士，§C.一y[2D.—A/3

3.假设一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，那么其圆心角。(0＜。〈冗)的瓠度数为()

31n

A.-B."C.\r3D.2

J/

4.扇形的半径r=10cm，圆心角a为120°，那么扇形的面积为cm2.

5.在与2010。终边相同的角中，绝对值最小的角的弧度数为.

清易错______________________________________________________________________________________________

1.注意易混概念的区别：象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角.第一类是象限角，笫二、第三

类是区间角.

2.角度制与瓠度制可利用180。=丸rad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用.

3.三角函数值的符号确定角的终边位置不要遗漏终边在坐标轴上的情况.

1.以下说法正确的选项是()

A.三角形的内角必是第一、二象限角B.笫一象限角必是锐角

C.不相等的角终边一定不相同D.假设£=。+2女"j£Z)，那么。和£终边相同

2

2.点/在角。的终边上，且。仁[0,2天)，那么。的值为()

1

\27

3.角a的终边在直线3x+4y=0上，那么sina+cosa=—

知识点二、三角变换公式

1、同角三角函数的根本关系式

(1)平方关系：sir?a+cos2a=1；

(2)商教关系：tan

cosa

2、诱导公式

组序—二二四五六

+a(〃JI

角丸+a——aJI-a~2~0+a

£Z)T

正弦sina-sina—sin0sinacosacosa

余弦cosa-cosacosa一cosasina—sina

正切tanatana—tana-tan_a

口诀函数名不变、符号看象限函数名改变、符号看象限

记忆规律奇变偶不变，符号看象限

3、两角和与差的正弦、余弦和正切公式

sin(a±£)=sinacos£±cosasin£；

cos([干J3)=coyaco,/±sit2asir]/;

,,c\tana±tanB

tan(Q±£)=7-----------

ITtanatanP

4、二倍角的正弦、余弦、正切公式

sin2a=2sinacos。;

cos2a=cos：a-sin2a=2cos?a-1=1-2sin」a；

2tana

tan2o=T72

1—tana

小题速通

T3

1.ae,tan(a—n)=--，那么sina+cosa的值是()

3Ji

7

A.BcD.

4-5-45

(ji

2.sinl^a=£，那么cos（JT—2。）的值为（)

□

247724

A，25B-25C.D,-25

25

=坐，那么sin仔+aj=

3.

J

八re,sina+cosa

4.tana=2，那么77■:-----;-------

2sina+cosa

、i4sin250°

5.计算：1+sin10。=--------.

清易错

1.利用平方关系解决问题时，要注意开方运算结果的符号，需要根据角的范围进行确定.

2.在便用两角和与差的余弦或正切公式时运算符号易错.

,sina+cosa=坐，那么cos(2018n—2a)=()

o

C.D.

BT3

ro)

1

2.假设n，那么sina的值为（)

3团

A/B邛7。・平

Cl8

知识点三、正弦、余弦、正切函数的图象与性质

正弦、余弦、正切函数的图象与性质

函数尸sinxy=cosxy=tanx

/：\H22n.

图象斗受Si/

定义域RR，4wz

值域R

-

~nn

递增区间：24兀一万2kn+—

乙/_/JT\

递增区间：—n,2An](k“L万

递增区间

(MZ)递减区间：20+方JT

单调性GZ)递减区间：[2kn,2kn4-m+以

n](AGZ)

3n-(Aez)

2kJi+—(AGZ)

奇偶性奇函数偶函数奇函数

(nA

kn+—~2~

对称中心(kN,0)(4£Z)对称中心2U=Z)对称中心(A-ez)

对称性<0>0>

对称轴：x=kn4—^-(A《Z)对称轴：x=kx(AGZ)

周期2n2nn

小题速通

1.函数y=l—2si/2x的最小正周期是()

0

2.假设函数f(>)=2sinQx(O<3<1)在区间三上的最大值为1,那么g=()

T

3.函数r(>)=sin(Qx+；j(3>0)的最小正周期为Ji，那么G，=()

A.1B.JC.-1D.一J

乙CJ

4.(2019•杭州模拟)假设函数f(x)=sin上詈(0£[O,2”])是偶函数，那么0=(

)

n2n3n5立

A.-B.-T-C.-T-D.

乙J4J

JI

__

oT

5.假设函数r(*)=sin3X(3>0)在区间n上单调递增，在区间上单调递减，那么3等于(

T_JT

_T_

oo

,2c3

A-3B-2C.2D.3

清易错

it、

——

1.正切函数的图象是由直线x=An+子（女£Z）隔开的无穷多支曲线组成，单调增区间是乙

,kG

7

Z，不能说它在整个定义域内是增函数，如彳，但是tan（>tan"~，正切函数不存在减区间.

2.三角函数存在多个单调区间时易错用"U”联结.

3.研究三角函数单调性、对称中心、奇偶性及对称轴时易无视“A£Z”这一条件.

1.（2019•石家庄一模）函数F（x）=tan（2x一高的单调递增区间是（）

「女兀It-(kRJT\

212212

A.(〃£Z)B.(Aez)

5nkR5冗

_24

12_\212/

JI(।H、

kR一■kx

126

C.(〃£Z)D.(#ez)

5Jr,2n

ku+knH-

12J37

2.函数/Xx）=sin（-2x）,X£[0,2霏]的单调递增区间是.

知识点二、函数y=/sin（3x+0）的图象及应用

1、用五点法画y=』sin（3x+。）一个周期内的简图

用五点法画y=/fsin（3x+0）一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示:

0,nJl—03n62一一O

X

—~23323~G)_3

n3Jr

3X+00T112Ji

尸力sin(ax+0)0A0-A0

2、函数尸=sinx的图象变换得到y=4sin（3*+。）（力>0,3>0）的图象的步骤

法一法二

小题速通

-II.

1.函数y=sin（2x—1）在区间—2上的简图是（）

2.将谑数二sin2x的图象先向左平移点人单位长度.再向上平移1个单位长度.得到的函数解析式是（）

1

3.函数F（x）=3{5sin3x（3>0）的局部图象如下图，点力，8是图象的最高点，点。是图象的最低点，且4ABC

是正三角形，那么f（l）+F（2）+r（3）的值为（）

99^39(镉+1)

A-2B.-5-C.9^34-1D.2

JI

J>0

4.如图是函数y=1sin（3x+6）3>0在区间上的图象，为了得到这个

5n

L°<L6」

函数的图象，只需将尸=sinx（x£R）的图象上所有的点（）

A.向左平移7■个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变

B.向左平移］■个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的;倍，纵坐标不变

0/

C.向左平移一■个单位长度，再把历得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变

D.向左平移1■个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的义倍，纵坐标不变

清易错

0

1.由y=Jsin3x的图象得到y=Hsin（3x+0）的图象时，需平移的单位数应Cu为，而不是

2.要注意平移前后两个函数的名称是否一致，假设不一致，应先利用诱导公式化为同名函数.

1.要得到函数p=cos（2x+l）的图象，只要将函数y=cos2x的图象（）

A.向左平移1个单位B.向右平移1个单位

C.向左平移4个单位D.向右平移）个单位

2.函数尸cos（2x+。）（一JiW。＜冗）的图象向右平移一■个单位后，与函数尸sin的图象重合，那么

4>=

过关检测练习

一、选择题

1.（2013•杭州模拟）如下图，在直角坐标系X。中，射线例文单位圆0丁点尸，假设N/I/一夕，那么点尸的

坐标是（)

A.（cos0,sin8)B.(―cos0,sin0)

C.（sin,cosD.(—sin8,cos0)

2.假设a=k・360°+0,£=加・360°-0（k,m£Z），那么角a与B的终边的位置关

系是（)

A.重合B.关于原点对称C.关于X轴对称D.关于y轴对称

n、

fJI~~2（。一高的值是（

3.siH]+,那么cos|)

10

12

AB-C.D.1

-22

4.（2019•淄博调研）tana=2，那么sin?。一sinacoso的值是（）

A-lB--5C.-2D.2

in（2T）

5.设函数f（x）=sin,刀仁1^,那么/＞（才）是（）

A.最小正周期为H的奇函数B.最小正周期为n的偶函数

C.最小正周期为5的奇函数D.最小正周期为子的偶函数

6.函数/•（x）=sin（3x+W［（3＞0）的最小正周期为“，那么该函数的图象（

)

n

A.关于直线■对称B.关于点对称

<0

~6

C.关于直线＞=一1■对称D.关于点对称

O

7.将函数y=3sin的图象向右平移段■个单位长度，所得图象对应的函数（）

JI

n

A.在区间上单调递减

7元

12.

~n

C.在区间上单调递减

n

8.(2013•河北衡水中学调研)函数/•(x)=#os(3x+0)U>O,3>0)的局部图象如下图，下面结论错误的选项

是()

函数F(x)的最小正周期为《

A.117T

B.函数/V)的图象可由g(x)=4cos3*的图象向右平移卷个单位长度得到

1乙

C.函数f(x)的图象关于直线尸治对称

JL乙

(上、

T

D.函数FJ)在区间上单调递增

n

\2)

二、填空题

9.函数f(>)=sinx—4sin*os,的最小正周期为

乙乙

5

10.在平面直角坐标系也加中，以x轴为始边作锐角。，它的终边与单位圆相交于点力，且点力的横坐标为X,

那么tan(又一热的值为.

(3〉0、

11.函数y=4sin(3彳+。),n的局部图象如下图，那么。=________

110k旬

］+sin2x

12.函数/Xx)=logL^---的最大值为.

sinx-rZcosx

三、解答题

13.设函数F(x)=3sin(3x+E)lwRJ的最小正周期为5.

(1)求尸(x)的解析式；

(2)利用“五点作图法”，画出F(x)在长度为一个周期的闭区间上的简图；

⑶石~+立)=2，求cos。的值•

z、(X、

r-.XCOS-

,\/3sin-4

14.向量加=4,〃=，记/'(x)&

U；^cos-J

⑴假设f(x)=l,求cos(x+1-)的值；

(2)在锐角△力比'中,(2a-c)cosB=bcos0,求/*(2用的取值范围.

15.(2319•青岛模拟)函数f(x)=4cos/彳・sin3x+2+a(3>0)图象上最高点的纵坐标为2,且图象上相邻

两个最高点的距离为冗.

(1)求&和3的值；(2)求函数F(x)在［0，n］上的单调递减区间.

高考研究课一、三角函数的3个根本考点——定义、公式和关系

全国卷5年命题分析

考点考查频度考查角度

三角函数的定义5年2考用三角函数的定义求值

同角三角函数根本关系式5年2考求值

诱导公式b年1考变角求值

知识点一、三角函数的定义

典例、(1)点尸从(一1,0)出发，沿单位圆顺时针方向运动等弧长到达点0,那么点0的坐标为________.

(2)角o的终边上一点夕(一水，勿)(而#0),且sin。，求cosa,tana的值.

方法技巧

(1)角。的某三角函数值，可求角。终边上一点尸的坐标中的参数值，可根据定义中的两个量列方程求参数

值.

(2)角。的终边所在的直线方程或角。的大小，根据三角函数的定义可求角。终边上某特定点的坐标.

即时演练

1.角。终边与单位圆¥+/=1的交点为/I，那么sin仔+2。)=()

\y)

11C也

A.--B-C.一方-I).1

2.在平面直角坐标系中，点时(3，川)在角a的终边上，点八(2卬，4)在角■的终边上，那么加=()

A.—6或1B.—1或6C.6D.1

知识点二、诱导公式

典例、(1)(2019•淄博模拟)sin借+。)=,，那么cos(。一量)=；

小八.A2sin40°cos40°

(2)化简：、/-1----：----=====________.

cos40—^1—sin50

方法技巧

利用诱导公式化简三角函数的思路和要求

思路方法：

(1)分析结构特点，选择恰当公式；

(2)利用公式化成单角三角函数；

(3)整理得最简形式.

化简要求：(1)化简过程是恒等变形；

(2)结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求已值.

即时演练

1.函数/V)=asin(Jix+a)+Z?cos(n£)，且f(4)=3,那么/'(2017)的值为()

知识点三、同角三角函数的根本关系

同角三角函数的根本关系是三角变换的根底，也是高考命题的热点，难度不大，属低档题.，常见的命题角度有:

1知弦求弦、切问题；

2知切求弦问题；

3sinaicosa,sintfcosa的关系应用问题；

4tana，求Fsina,cosa值问题.

角度一：知弦求弦、切问题

但1

1.cosa=k,aW2，那么sin（JT+。）=（）

A.一也一户B.yjl一炉C.土｛1一芥D.—k

2.sin[a+W）=—",aW（0,/），那么cosa=（）

1八1八m口亚

A.B--2C2D--2

角度二：知切求弦问题

（三、

32（JI\

3.tan（。一Ji）=彳，且。£，那么sin。+3=（）

43_n_V27

\27

A.7B.-7C.~D.-7

□0□□

角度三：sinaicosa,sinacosa的关系应用问题

4.（2019•揭阳模拟）sinacosa=J，且”"VaV§~，那么cosa—sina的值为（）

o4/

J3A/333

A-丫R―CD—

A*2244

5.sin(Jiu)cos(Ji十a)—2、。、11J，那么sinucos"—________.

角度四：tana，求F(sina,cosa)值问题

6.a是三角形的内角，且tana=一那么sina+cosa—________.

7.tan(a+£)—2,tan(a£)一3，那么‘°々的值为________.

cos2p

方法技巧

同角三角函数根本关系式的应用技巧

技巧解读适合题型

主要利用公式tan"=卫匕'化成正弦、余弦，或者

cos0表达式中含有sin0,cos8与

切弦互化

利用公式24=tan"化成正切tan§

cos0

1=sin26+cos2。=cos2。（1+tan26）

“1”的变换n_表达式中需要利用"1”转化

=tan-=（sin9±cos®）¥2sin0cos0

利用(sin8土cos")2=l±2sin，cos。的关系进表达式中含有sin0±cos。或

和积转换

行变形、转化sin"cos0

高考真题演练

3

1.（2019•全国卷10）假设tan。=牙，那么cos?a+2sin2a=（）

t64八48…八16

A,云B-25C-1D-25

2.（2019•大纲卷）角。的终边经过点（一4,3）,那么cosa=（）

、43c3口4

A.7Bn.7C.--D.—7

5555

3.（2019•全国卷I）假设tan。>0,那么（）

A.sin2o>0B.cosa>0C.sina>0D.cos2。>0

3

4.（2019•全国卷I）。是第四象限角，且三，那么tan

5

高考达标检测

一、选择题

5

1.如图，圆。与X轴的正半轴的交点为/I,点凡。在圆。上，且方§，点。在第一象限，

5n

ZA0C=a,BC=1,那么cos|T

434

A.B.C-D5

555

2.（2019•江西六校联考）点力（sin2018°,cos20180）位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

res0

3.假设sin"r那么tan〃十0的值是（）

A.-2B.2C.±2D.|

—

..-n--r-XJ,a*cos350°2sin1600..

4.（2019•江西五校o联考）----:--------------=（）

sin—190

A.—\0B.—乎C.乎D.

5.小川，乂）是单位圆（圆心在坐标原点。上任意一点，将射线0A绕0点逆时针旋转30°，交单位圆于点

«（刈，谒，那么照一％的取值范围是（）

一1~

__~2

A.[-2,2]B,[-\/2,y/2]C.[-1,1]D.[

_2_

6.（2019•日照模拟）-a<0,sina+cosa=！，那么r~~=二的值为（）

25cosa-sma

72524

B-25CTD-25

二、填空题

sina—JI-Feosn—a

7.假设tana=3，那么

8.（2019•枣庄模拟）cos修一夕）=a（|a|WD，那么cos传++sin段一的值是________.

9.（2019•成都一诊）在直角坐标系才。中，任意角。以坐标原点0为顶点，以彳轴的非负半轴为始边，假设

w

其终边经过点P（照，/）,且8=r">0）,定义：sicos0=次不一，称sicosM为“8的正余弦函数"

假设sicos。=0，那么sin（20-；）=.

三、解答题

3

10.角a的终边在直线y=-3x上，求10sinaH-------的值.

cosa

cos(a—7n)=-\3»求sin(3丸+a)•tanfa—的值.

11.

5

•tan(JI-a)

12.为第三象限角，f（a）=

(—a—n)

（1）化简F（。）；（2）假设cos（a一等）=（，求/（。）的值.

能力提高训练题

1.假设sin(a-£)cosa—cos(a-j^Jsin。=勿，且£为第三象限角，那么cos£的值为()

A.yj1~niB.C.yjnf—1D.—yjnf—1

2.化简(〃£Z)的结果为_________.

一c办osL"2〃富+1;n—xj

高考研究课二、三角函数的1个常考点一一图象与性质

全国卷5年命题分析

考点考查频度考查角度

由单调性求参数、求单调区间与周期、对称性问题，

三角函数的图象与性质5年3考

三角函数性质的综合问题

知识点一、三角函数的定义域、值域

典例、(1)函数y=lg(2sinx—1)十#1-2cosx的定义域是_________.

(2)函数y=2sin|——YJ(0^X^9)的最大值与最小值之和为.

4

(3)函数/'(才)=cos2x+sinx的值域为_________.

JI

<L4J/

方法技巧

1.三角函数定义域的求法

务三房函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数图象来求解.

2.三角函数最值或值域的求法

(1)直接法：直接利用sinx和cosx的值域求解.

(2)化一法：把所给三角函数化为y=/siM3x+0)+〃的形式，由正弦函数虺调性写出函数的值域.

(3)换元法：把sinx、cosx、sinxcosx或sinx土cosx换成t，转化为二次函数求值域.

即时演练

1.函数y=|sinx\+sinx的值域为()

A.[-1,1]B.[-2,2]C.[-2,0]D.[0,2]

2.在△力以7中，sin力cos—(2sinC+sin而cosA，那么函数F(x)=2sin2*+sin(2*一力)在区间n上

T

的最大值为.

3.求函数y=sinx+cosx+3cosxsinx的最值.

知识点二、三角函数的单调性

典例、(2019,浙江高考)函数f(x)=sin2A-cos2x-2-\/3sinxcosx(xER).

(1)求丁传)的值；(2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间.

方法技巧

1.求三角函数单调区间的2种方法

就是将比拟复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一

代换法

个角〃(或力，利用根本三角函数的单调性列不等式求解

图象法画出三角函数的正、余弦曲线，结合图象求它的单调区间

2.三角函数的单1司区间求参?殳取值范围的3种方法

求出原函数的相应单调区间，由区间是所求某区间的子集，列不等

子集法

式(组)求解

由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某

反子集法

个单调区间的子集，列不等式(组)求解

由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离天超过"周期列不等

周期性

式(组)求解

即时演练

1.，函数ra)=sin(3＞+?)在2上是减函数，那么3的取值范围是_______.

I兀＞

2.函数/'(x)=sinATCOSx+cos-的递减区间是_______.

知识点三、三角函数的周期性、奇偶性及对称性

正、余弦函数的图象即是中心对称图形，又是轴对称图形.正切函数的图象只是中心对称图形，应把三角函数的

对称性与奇偶性结