广东省清远市2023-2024学年高一下学期7月期末考试 数学 含解析

清远市2023～2024学年第二学期高中期末教学质量检测高一数学注意事项：1．本试卷满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡的相应位置．3．全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效．4．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．5．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.为了调查某地三所学校未成年人的视力情况，计划采用分层随机抽样的方法从该地的，，三所中学抽取130名学生进行调查，已知，，三所学校中分别400，560，340名学生，则从学校中应抽取的人数为（）A.34 B.40 C.56 D.682.要得到函数，的图象，只需将函数，的图象（）A.横坐标向左平移个单位长度，纵坐标不变B.横坐标向右平移个单位长度，纵坐标不变C.横坐标向右平移个单位长度，纵坐标不变D.横坐标向左平移个单位长度，纵坐标不变3.下列说法中，正确的是（）A.底面是正多边形的棱锥是正棱锥B.一个多面体至少有4个面C.有两个面相互平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱D.用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间部分是棱台4.将一个棱长为1的正方体铁块磨制成一个球体零件，则可能制作的最大零件的表面积为（）A B. C. D.5.弹簧挂着的小球作上下运动，它在秒时相对于平衡位置的高度厘米的关系可用函数（，）来确定，其图象如图所示，则的值是（）A. B. C. D.6.已知正方形的边长为2，，，，则（）A.0 B.8 C. D.7.设为复数，若，则的最小值为（）A.1 B.2 C.3 D.48.已知正方体棱长为为棱的中点，为侧面的中心，过点的平面垂直于，则平面截正方体所得的截面面积为（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.抛掷一枚质地均匀的骰子，记随机事件：“点数为奇数”，“点数为偶数”，“点数大于2”，“点数不大于2”，“点数为1”．则下列结论正确的是（）A.，为对立事件 B.，为互斥不对立事件C.，不是互斥事件 D.，是互斥事件10.甲、乙两名同学近五次数学测试成绩数据分别为：甲6871727282乙6670727879则（）A.甲组数据的极差大于乙组数据的极差B.甲组数据的平均数等于乙组数据的平均数C.甲组数据的方差小于乙组数据的方差D.甲乙两组数据混合后的方差大于乙组数据的方差11.在中，角，，的对边分别为，，，若，，满足，且，则下列结论正确的是（）A. B.角的最大值为C. D.若，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.复数，则的虚部为______．13.在三角形中，角，，所对的边分别为，，，已知，，，则______．14.如图，在四棱锥中，底面是矩形，底面，且点满足，已知，，，则到平面的距离为______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．15.已知复数，求当实数为何值时；（1）为实数；（2）为纯虚数；（3）为虚数．16.某高校承办了某大型运动会志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同．（1）估计这100名候选者面试成绩的众数；（2）求，的值；（3）估计这100名候选者面试成绩的第80百分位数．17.中，角，，的对边分别为，，，若．（1）求；（2）若且的面积为，求边长．18.如图，在四棱锥中，为边上的中点，为边上的中点，平面平面，，，，.（1）求证：平面；（2）求证：；（3）若直线与底面所成角的余弦值为，求二面角的正切值.19.将连续正整数（）从小到大排列构成一个数，为这个数的位数．例如：当时，此数为123456789101112，共有15个数字，则．现从这个数中随机取一个数字，为恰好取到0的概率．（1）求；（2）当时，求表达式；（3）令为这个数中数字9个数，为这个数中数字0的个数，，，求当时的最大值．清远市2023～2024学年第二学期高中期末教学质量检测高一数学注意事项：1．本试卷满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡的相应位置．3．全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效．4．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．5．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.为了调查某地三所学校未成年人的视力情况，计划采用分层随机抽样的方法从该地的，，三所中学抽取130名学生进行调查，已知，，三所学校中分别400，560，340名学生，则从学校中应抽取的人数为（）A.34 B.40 C.56 D.68【答案】A【解析】【分析】根据分层随机抽样的抽样方法可得.【详解】由题意抽样比为，所以从学校中应抽取的人数为，故选：A2.要得到函数，的图象，只需将函数，的图象（）A.横坐标向左平移个单位长度，纵坐标不变B.横坐标向右平移个单位长度，纵坐标不变C.横坐标向右平移个单位长度，纵坐标不变D.横坐标向左平移个单位长度，纵坐标不变【答案】C【解析】【分析】根据三角函数图象变换规律求解即可.【详解】将函数的图象上各点横坐标向右平移个单位长度，纵坐标不变，得的图象.故选：C.3.下列说法中，正确的是（）A.底面是正多边形的棱锥是正棱锥B.一个多面体至少有4个面C.有两个面相互平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱D.用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台【答案】B【解析】【分析】根据简单几何体的定义以及结构特征去判断即可.【详解】正棱锥底面是正多边形，还需要满足顶点到底面射影落在底面正多边形的中心，A错误；多面体中面数最少为三棱锥，四个面，B正确，；有两个面相互平行，其余各面都是平行四边形的多面体不一定是棱柱，还需要满足各个侧面的交线互相平行，C错误；用一个平面去截棱锥，必须是平行于底面的平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分才是棱台，D错误.故选：B.4.将一个棱长为1的正方体铁块磨制成一个球体零件，则可能制作的最大零件的表面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由正方体的棱长求得正方体内切球的半径，代入球的表面积公式求解．【详解】正方体的棱长为1，要使制作成球体零件最大，则球内切于正方体，则球的直径为1，半径为，可能制作的最大零件的表面积为.故选：B.5.弹簧挂着的小球作上下运动，它在秒时相对于平衡位置的高度厘米的关系可用函数（，）来确定，其图象如图所示，则的值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由函数图象得到周期，利用公式可求的值.【详解】函数（，），由图象可知，最小正周期，则有.故选：C6.已知正方形的边长为2，，，，则（）A.0 B.8 C. D.【答案】D【解析】【分析】如图，以为原点，建立平面直角坐标系，根据题意表示出的坐标，从而可求出，进而可求出其模.【详解】如图，以为原点，建立平面直角坐标系，则，所以，，，所以，所以.故选：D7.设为复数，若，则的最小值为（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】A【解析】【分析】设，根据题意求出的关系，再根据复数的模的公式即可得解.【详解】设，由，得，所以，由，解得，则，所以当时，.故选：A.8.已知正方体的棱长为为棱的中点，为侧面的中心，过点的平面垂直于，则平面截正方体所得的截面面积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】取的中点，由证得，再由平面证得，从而得到平面，同理证得，利用线面垂直的判定定理证得平面，得到平面截正方体的截面为，进而求得截面的面积.【详解】取的中点，分别连接在正方形中，因为分别为的中点，，可得，所以，因为，所以，所以，即，又因为分别为的中点，所以，因为平面，平面，所以，所以，又因为且平面，所以平面，因为平面，所以，同理可证，又因为且平面，所以平面，即平面截正方体的截面为，由正方体的棱长为4，在直角中，可得，在直角中，可得，直角中，可得，所以，所以截面的面积为.故选：D.【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是根据题意确定所求截面为，从而得解.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.抛掷一枚质地均匀的骰子，记随机事件：“点数为奇数”，“点数为偶数”，“点数大于2”，“点数不大于2”，“点数为1”．则下列结论正确的是（）A.，为对立事件 B.，为互斥不对立事件C.，不互斥事件 D.，是互斥事件【答案】ACD【解析】【分析】根据对立事件、互斥事件的概念及事件之间的关系，可得答案.【详解】点数为奇数与点数为偶数不可能同时发生，且必有一个发生，所以E，F对立事件，选项A正确；点数大于2与点数不大于2不可能同时发生，且必有一个发生，G，H为互斥且对立事件，选项B不正确；点数为奇数与点数大于2可能同时发生，E，G不互斥，选项C正确；点数大于2与点数为1不可能同时发生，G，R为互斥事件，选项D正确.故选：ACD.10.甲、乙两名同学近五次数学测试成绩数据分别为：甲6871727282乙6670727879则（）A.甲组数据的极差大于乙组数据的极差B.甲组数据的平均数等于乙组数据的平均数C.甲组数据的方差小于乙组数据的方差D.甲乙两组数据混合后的方差大于乙组数据的方差【答案】ABC【解析】【分析】根据已知数据求出甲与乙的极差、平均数、方差、甲乙两组数据混合后的方差，进行比较，即可得出答案.【详解】对于A，由已知可得，甲组数据的极差为，乙组数据的极差为，故A正确；对于B，由已知可得，甲组数据的平均数为，乙组数据的平均数为，故B项正确；对于C，由已知可得，甲组数据的方差为，乙组数据的方差为，故C项正确；对于D，由前面可知甲乙两组数据混合后，方差为，，故D项错误.故选：ABC.11.在中，角，，的对边分别为，，，若，，满足，且，则下列结论正确的是（）A. B.角的最大值为C. D.若，则【答案】ABD【解析】【分析】由向量数量积运算得，可判断选项A；结合余弦定理及基本不等式，可求得的最大值判断选项B；可举反例判断选项C；结合条件可得，，计算即可判断选项D.【详解】由可知，整理可知，A正确；，当且仅当时取等号，又，的最大值为，故B正确；由特例，满足，可知C错误；由可得，解得，又，从而可得，，为最大边，，故D正确.故选：ABD.【点睛】方法点睛：先利用向量垂直的坐标运算，化简得，根据各选项的内容，利用正余弦定理和基本不等式，通过计算对选项中的结论进行判断.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.复数，则的虚部为______．【答案】##-2.2【解析】【分析】由复数的除法化简，再由复数虚部的定义得解.【详解】复数，则，此复数的虚部为.故答案为：13.在三角形中，角，，所对的边分别为，，，已知，，，则______．【答案】5【解析】【分析】利用余弦定理，将，，，代入计算可得到.【详解】在中，已知，，，由余弦定理得，得，即，解得或，而，所以.故答案为：5.14.如图，在四棱锥中，底面是矩形，底面，且点满足，已知，，，则到平面的距离为______．【答案】##【解析】【分析】到平面距离，即三棱锥的高，由，利用等体积法求解.【详解】取靠近点的三等分点，连接，取靠近点的三等分点，连接，底面是矩形，，，，，则，且，又底面，底面，，，而，平面，所以平面，平面，即为三棱锥的高，，在中，，，在中，，中，，，在中，，则，，在中，，在中，，在中，，，，由余弦定理，则，设到平面的距离为，，所以.故答案为：.【点睛】方法点睛：点到平面的距离，转化为对应棱锥的高，利用等体积法求解，由图形中的垂直关系，利用勾股定理和余弦定理计算需要的边长和面积.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．15.已知复数，求当实数为何值时；（1）为实数；（2）为纯虚数；（3）为虚数．【答案】（1）（2）或（3）且【解析】【分析】（1）根据复数为实数的条件，列方程和不等式组m的值；（2）根据复数为纯虚数的条件，列方程和不等式求m的值；（3）根据复数为虚数的条件，列不等式组求m的值即可.【小问1详解】当且时，复数为实数，解得，所以时，复数为实数；【小问2详解】当且且时，复数为纯虚数，解得或，所以或时，复数为纯虚数；【小问3详解】当且时，复数为虚数，解得且，所以且时，复数为虚数.16.某高校承办了某大型运动会志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同．（1）估计这100名候选者面试成绩的众数；（2）求，的值；（3）估计这100名候选者面试成绩的第80百分位数．【答案】（1）;（2）;（3）.【解析】【分析】（1）可利用频率分布直方图来估计众数，即取频率最大的那组中点值；（2）可利用频率分布直方图来计算概率和为1，再联立方程组求解即可；（3）利用频率分布直方图中的面积和为0.8来计算第80百分位数．【小问1详解】根据频率分布直方图可知，第三组数据频率最大，取中点值为，所以估计这100名候选者面试成绩的众数为；【小问2详解】由频率分布直方图中的频率和为1可得，，化简得：，又由第三、四、五组的频率之和为0.7，则，化简得：，所以；【小问3详解】第一组频率为，第二组频率为，第三组频率为，，第四组频率为，所以可设这100名候选者面试成绩的第80百分位数估计为，则，解得：，即可估计这100名候选者面试成绩的第80百分位数为．17.中，角，，的对边分别为，，，若．（1）求；（2）若且的面积为，求边长．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据正弦定理实现边角转化，结合两角和的正弦公式、辅助角公式化简进行求解即可；（2）由正弦定理得，，代入面积公式求边长．小问1详解】中，，由正弦定理得，又，所以，由于，，有，所以，又，则，所以.【小问2详解】由（1），而，由正弦定理有，从而，，由三角形面积公式可知，的面积可表示为，由已知的面积为，可得，所以.18.如图，在四棱锥中，为边上的中点，为边上的中点，平面平面，，，，.（1）求证：平面；（2）求证：；（3）若直线与底面所成角的余弦值为，求二面角的正切值.【答案】（1）证明见详解（2）证明见详解（3）【解析】【分析】（1）如图，连接，可得，则得平面；（2）由已知，可得都是等腰直角三角形，则，又得平面，则得，则平面，得；（3）由已知和（2）可得，为直线与底面所成的角，进而证得即为二面角的平面角，再利用三角形相似求得，从而得解.【小问1详解】如图，连接，因为为边上的中点，为边上的中点，所以，又平面，又平面，所以平面.【小问2详解】在四边形中，，，，则，所以，则，所以都是等腰直角三角形，则，又平面平面，，即，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，又，又平面，所以平面，又平面，所以.【小问3详解】已知，直线与底面