安徽省合肥市普通高中六校联盟2023-2024学年高一下学期期末联考试题 数学 含解析

合肥市普通高中六校联盟2023-2024学年第二学期期末联考高一年级数学试卷（考试时间：120分钟满分：150分）命题学校：合肥五中命题教师：钱勇审题教师：费薇薇一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个正确答案，请把正确答案涂在答题卡上）1.“”是“”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件2.设函数f(x)＝则f(f(3))＝()A. B.3 C. D.3.我国北宋时期科技史上杰作《梦溪笔谈》收录了计算扇形弧长的近似计算公式：，公式中“弦”是指扇形中圆弧所对弦的长，“矢”是指圆弧所在圆的半径与圆心到弦的距离之差，“径”是指扇形所在圆的直径．如图，已知扇形的面积为，扇形所在圆O的半径为2，利用上述公式，计算该扇形弧长的近似值为（）A. B. C. D.4.已知，若，则（）A.1 B.2 C.3 D.45.已知的外接圆圆心为，且，，则向量在向量上的投影向量为（）A. B. C. D.6.若奇函数在区间上是增函数，且最小值为5，则它在区间上是（）A.增函数且有最大值 B.增函数且有最小值C.减函数且有最大值 D.减函数且有最小值7.如图所示，在直三棱柱中，棱柱侧面均为矩形，，，，P是上的一动点，则的最小值为（）A B.2 C. D.8.在中，分别根据甲、乙、丙、丁四个条件判断三角形的形状，甲:；乙:；丙:；丁:．判断结果与其它三个不一样的是（）A.甲 B.乙 C.丙 D.丁二、多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）9.不透明口袋内装有红色、绿色和蓝色卡片各2张，一次任意取出2张卡片，则与事件“2张卡片都为红色”互斥而不对立的事件有（）A.2张卡片不全为红色 B.2张卡片恰有一张红色C.2张卡片至少有一张红色 D.2张卡片都为绿色10.已知甲组数据为：1，1，3，3，5，7，9，乙组数据为：1，3，5，7，9，则下列说法正确的是（）A.这两组数据的第80百分位数相等B.这两组数据的极差相等C.这两组数据分别去掉一个最大值和一个最小值后，仅仅乙组数据的均值不变D.甲组数据比乙组数据分散11.在中，点分别是AB上的等分点，其中，则（）A B.C. D.三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分．）12.某乡镇有居民20000户，从中随机抽取200户调查是否安装宽带网线，调查结果如表所示，则该乡镇已安装宽带网线的居民大约有________户．网线动迁户原住户已安装6530未安装406513.若，，且，则的最小值为________．14.如图，在矩形中，已知，是的中点，将△沿直线翻折成△，连接.若当三棱锥的体积取得最大值时，三棱锥外接球的体积为，则________．四、解答题：（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15.已知，求:（1）的值;（2）与的夹角．16.已知函数．（1）求函数单调递增区间和最小正周期；（2）请选择①和②中的一个条件，补全下面的问题并求解，其中①有解；②恒成立．问题：若当时，关于的不等式________，求实数的取值范围．17.已知n是一个三位正整数，若n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”（如135，256，345等）现要从甲乙两名同学中，选出一个参加某市组织的数学竞赛，选取的规则如下：从由1，2，3，4，5，6组成的所有“三位递增数”中随机抽取1个数，且只抽取1次，若抽取的“三位递增数”是偶数，则甲参加数学竞赛；否则，乙参加数学竞赛.（1）由1，2，3，4，5，6可组成多少“三位递增数”？并一一列举出来.（2）这种选取规则对甲乙两名学生公平吗？并说明理由.18.如图所示，在四棱锥中，四边形为梯形，，，平面平面．（1）若的中点为，求证：平面；（2）求二面角的正弦值．19.个有次序的实数所组成的有序数组称为一个维向量，其中称为该向量的第个分量．特别地，对一个维向量，若，称为维信号向量．设，则和的内积定义为，且．（1）直接写出4个两两垂直的4维信号向量．（2）证明：不存在14个两两垂直的14维信号向量．（3）已知个两两垂直的2024维信号向量满足它们的前个分量都是相同的，求证：．合肥市普通高中六校联盟2023-2024学年第二学期期末联考高一年级数学试卷（考试时间：120分钟满分：150分）命题学校：合肥五中命题教师：钱勇审题教师：费薇薇一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个正确答案，请把正确答案涂在答题卡上）1.“”是“”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【详解】由得，，故“”是“”的必要不充分条件，故选B.2.设函数f(x)＝则f(f(3))＝()A. B.3 C. D.【答案】D【解析】【详解】,,故选D.3.我国北宋时期科技史上的杰作《梦溪笔谈》收录了计算扇形弧长的近似计算公式：，公式中“弦”是指扇形中圆弧所对弦的长，“矢”是指圆弧所在圆的半径与圆心到弦的距离之差，“径”是指扇形所在圆的直径．如图，已知扇形的面积为，扇形所在圆O的半径为2，利用上述公式，计算该扇形弧长的近似值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据扇形的面积公式可得圆心角大小，进而根据弧长的近似计算公式即可求解.【详解】设扇形的圆心角为α，由扇形面积公式可知，所以，如图，取的中点C，连接OC，交AB于点D，则．易知，则，所以，，，所以扇形弧长的近似值为．故选:C4.已知，若，则（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】A【解析】【分析】设，根据复数的乘法运算及复数的模的计算公式求出的关系，进而可得出答案.【详解】设，则，又因为，所以，化简得，所以.故选：A.5.已知的外接圆圆心为，且，，则向量在向量上的投影向量为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据向量加法的平行四边形法则可得为的中点，为圆的直径，进而利用投影向量的定义求解即可.【详解】因为是的外接圆圆心，，所以由平行四边形法则可得为的中点，为圆的直径，因为，所以为等边三角形，，所以向量在向量上的投影向量为，故选：A6.若奇函数在区间上是增函数，且最小值为5，则它在区间上是（）A.增函数且有最大值 B.增函数且有最小值C减函数且有最大值 D.减函数且有最小值【答案】A【解析】【分析】根据奇偶函数的性质直接得出结果.【详解】因为函数在区间上是增函数，且有最小值5，所以，又为奇函数，所以函数在区间上是增函数，且有最大值.故选：A7.如图所示，在直三棱柱中，棱柱的侧面均为矩形，，，，P是上的一动点，则的最小值为（）A. B.2 C. D.【答案】D【解析】【分析】连接，得，以所在直线为轴，将所在平面旋转到平面，设点的新位置为，连接，再根据两点之间线段最短，结合勾股定理余弦定理等求解即可.【详解】连接，得，以所在直线为轴，将所在平面旋转到平面，设点的新位置为，连接，则有，如图，当三点共线时，则即为的最小值.在三角形ABC中，，，由余弦定理得：,所以，即,在三角形中，，，由勾股定理可得：,且.同理可求：，因为，所以为等边三角形，所以，所以在三角形中，,,由余弦定理得：.故选：D.8.在中，分别根据甲、乙、丙、丁四个条件判断三角形的形状，甲:；乙:；丙:；丁:．判断结果与其它三个不一样的是（）A.甲 B.乙 C.丙 D.丁【答案】C【解析】【分析】利用正弦定理将边化角，结合二倍角公式判断甲、乙，利用正弦定理将边化角，再由两角差的正弦公式判断丙，利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式判断丁.【详解】对于甲:，由正弦定理可得，即，又，所以或，即或，所以或，所以为等腰三角形或直角三角形且；对于乙:，由正弦定理可得，所以，又，所以，，所以，即，又，所以或，即或，所以或，所以为等腰三角形或直角三角形且；对于丙:，由正弦定理可得，所以，又且，所以，所以，即，所以为等腰三角形；对于丁:，由正弦定理可得，所以，即，所以，即，所以或，又且，所以或，所以为等腰三角形或直角三角形且.故选：C【点睛】关键点点睛：本题关键是利用正弦定理将边化角，再结合三角恒等变换公式一一计算.二、多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）9.不透明的口袋内装有红色、绿色和蓝色卡片各2张，一次任意取出2张卡片，则与事件“2张卡片都为红色”互斥而不对立的事件有（）A.2张卡片不全为红色 B.2张卡片恰有一张红色C.2张卡片至少有一张红色 D.2张卡片都为绿色【答案】BD【解析】【分析】本题先写出所有情况：“2张都为红色”、“2张都为绿色”、“2张都为蓝色”、“1张为红色1张为绿色”、“1张为红色1张为蓝色”、“1张为绿色1张为蓝色”，再根据选项选择互斥而不对立的事件即可.【详解】6张卡片中一次取出2张卡片的所有情况有：“2张都为红色”、“2张都为绿色”、“2张都为蓝色”、“1张为红色1张为绿色”、“1张为红色1张为蓝色”、“1张为绿色1张为蓝色”，选项中给出的四个事件中与“2张都为红色”互斥而非对立“2张恰有一张红色”“2张都为绿色”，其中“2张至少一张为红色”包含事件是“2张都为红色”二者并非互斥，“2张不全为红色”是对立事件．故选：BD.【点睛】本题考查互斥事件、对立事件，是基础题.10.已知甲组数据为：1，1，3，3，5，7，9，乙组数据为：1，3，5，7，9，则下列说法正确的是（）A.这两组数据的第80百分位数相等B.这两组数据的极差相等C.这两组数据分别去掉一个最大值和一个最小值后，仅仅乙组数据的均值不变D.甲组数据比乙组数据分散【答案】BC【解析】【分析】根据给定条件，利用第80百分位数、极差、平均数、方差的意义依次判断ABCD即得.【详解】对于A，由，得甲组数据的第80百分位数为7，由，乙组数据的第80百分位数为8，A错误；对于B，甲组数据与乙组数据的极差均为为8，B正确；对于C，甲组数据去掉前后均值分别为；乙组数据去掉前后的均值分别为5，5，C正确；对于D，甲组数据的方差，乙组数据的方差，显然，因此乙组数据较分散，D错误.故选：BC11.在中，点分别是AB上的等分点，其中，则（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】【分析】本题重点是研究线段的等分点，A选项是两向量与同一条向量的数量积，易联想到这两向量在同一条向量上的投影向量的大小，结合图形，易判断A是错误的，再利用中线向量的性质可判断是正确的，C选项中通过向量的加法运算和共线运算，发现共线向量的比例明显有错误，而D选项，依次利用同一条向量在两个三角形中的加法法则可得，，，相加得，再利用累加法可计算得到结果是正确.【详解】选项A：，，由图易知，两向量在上的投影向量的大小是，所以A是错误的.选项B：由于是的中点，所以有，即B是正确的．选项C：，所以C是错误.选项D：因为，，所以，，，所以，，，，所以，即由上面个等式相加得：，所以，所以D是正确的.故选：BD三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分．）12.某乡镇有居民20000户，从中随机抽取200户调查是否安装宽带网线，调查结果如表所示，则该乡镇已安装宽带网线的居民大约有________户．网线动迁户原住户已安装6530未安装4065【答案】9500【解析】【分析】根据图标提供的数据算出200户居民中安装宽带网线的频率，用总住户乘以频率即可.【详解】（户）．故答案为：9500.13.若，，且，则的最小值为________．【答案】6【解析】【分析】由题意可得，利用基本不等式计算可得，即，即可求解.【详解】由，得，整理得，当且仅当时等号成立.则，故，解得或（舍去），所以，当且仅当时取等号，即的最小值为6.故答案为：614.如图，在矩形中，已知，是的中点，将△沿直线翻折成△，连接.若当三棱锥的体积取得最大值时，三棱锥外接球的体积为，则________．【答案】【解析】【分析】当高最大时，体积最大，高最大为，球心在平面的投影为中点，根据勾股定理解得，代入体积公式计算得到答案.【详解】三棱锥的底面积为定值，故当高最大值，体积最大，易知△为等腰直角三角形，取中点为，连接，故，当平面平面时，高最大为，易知△为等腰直角三角形，球心在平面的投影为中点，且△的外接圆半径为，设，故与联解，解得，，，故，即.故答案为：.【点睛】本题考查了三棱锥体积的最值问题，三棱锥的外接球问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.四、解答题：（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15.已知，求:（1）的值;（2）与的夹角．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据给定条件，利用数量积的运算律求出即可得解.（2）利用数量积的运算律及向量夹角公式求解即得.【小问1详解】由，得，则，而，于是，所以.【小问2详解】显然，则，而，于是.所以与的夹角为16.已知函数．（1）求函数单调递增区间和最小正周期；（2）请选择①和②中的一个条件，补全下面的问题并求解，其中①有解；②恒成立．问题：若当时，关于的不等式________，求实数的取值范围．【答案】（1），；（2）答案见解析.【解析】【分析】（1）利用二倍角公式及辅助角公式化简函数，再利用正弦函数的性质求解即得.（2）求出函数在区间上的最值，结合条件①②分别求出的范围.【小问1详解】函数，所以函数的最小正周期；由，解得，所以函数的单调增区间为.【小问2详解】选择①，当时，，则当，即时，取得最大值，依题意，，不等式有解，所以.选择②当时，，则当，即时，取得最小值依题意，，不等式恒成立，所以.17.已知n是一个三位正整数，若n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”（如135，256，345等）现要从甲乙两名同学中，选出一个参加某市组织的数学竞赛，选取的规则如下：从由1，2，3，4，5，6组成的所有“三位递增数”中随机抽取1个数，且只抽取1次，若抽取的“三位递增数”是偶数，则甲参加数学竞赛；否则，乙参加数学竞赛.（1）由1，2，3，4，5，6可组成多少“三位递增数”？并一一列举出来.（2）这种选取规则对甲乙两名学生公平吗？并说明理由.【答案】（1）见解析；（2）不公平，理由见解析.【解析】【分析】（1）根据定义一一列举出即可；（2）由（1）根据古典概型的概率计算公式分别计算概率即可判断.【详解】解：（1）由题意知，所有由1，2，3，4，5，6组成的“三位递增数共有20个.分别是123，124，125，126，134，135，136，145，146，156，234，235，236，245，246，256，345，346，356，456.（2）不公平由（1）知，所有由1，2，3，4，5，6组成的“三位递增数”有20个，记“甲参加数学竞赛”为事件A，记“乙参加数学竞赛”为事件B.则事件A含有基本事件有：124，134，234，126，136，146，156，236，246，256，346，356，456共13个.由古典概型计算公式，得，又A与B对立，所以，所以.故选取规则对甲、乙两名学生不公平.【点睛】本题考查概率的应用，古典概型的概率计算问题，属于基础题.18.如图所示，在四棱锥中，四边形为梯形，，，平面平面．（1）若的中点为，求证：平面；（2）求二面角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）根据线面平行知识可求解.（2）根据题意做辅助线找到二面角，再