2025高考数学二轮复习-专项练-小题满分练1-专项训练【含答案】

小题满分练1一、单项选择题1．(2023·永州模拟)已知集合A＝{1,2}，A∩B＝{1}，A∪B＝{0,1,2}，则集合B等于()A．{0,1} B．{0,2}C．{1,2} D．{1}答案A解析已知集合A＝{1,2}，A∩B＝{1}，A∪B＝{0,1,2}，∴1∈B,0∈B,2∉B，则集合B＝{0,1}．2．“a＝0且b＝1”是“复数z＝a＋bi(a，b∈R)是纯虚数”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析若a＝0且b＝1，则复数z＝a＋bi＝i是纯虚数，故充分性成立；若复数z＝a＋bi(a，b∈R)是纯虚数，则a＝0且b≠0，故必要性不成立，故“a＝0且b＝1”是“复数z＝a＋bi(a，b∈R)是纯虚数”的充分不必要条件．3．(2023·山东省实验中学模拟)某调查机构抽取了部分关注济南地铁建设的市民作为样本，分析其年龄和性别结构，并制作出如图所示的等高条形图．根据图中(35岁以上含35岁)的信息，关于该样本的结论不一定正确的是()A．男性比女性更关注地铁建设B．关注地铁建设的女性多数是35岁以上C．35岁以下的男性人数比35岁以上的女性人数多D．35岁以上的人对地铁建设关注度更高答案C解析由等高条形图可得，对于A，由图1知，样本中男性人数多于女性人数，从而男性比女性更关注地铁建设，故A正确；对于B，由图2知，女性中35岁以上的占多数，从而样本中多数女性是35岁以上，从而得到关注地铁建设的女性多数是35岁以上，故B正确；对于C，由图1知，男性人数多于女性人数，由图2知，35岁以下的男性占男性人数的比例比35岁以上的女性占女性人数的比例少，无法判断35岁以下的男性人数与35岁以上的女性人数的多少，故C不一定正确；对于D，由图2知，样本中35岁以上的人对地铁建设关注度更高，故D正确．4．(2023·南昌模拟)将函数f(x)＝2sin(x＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0<φ<\f(π,2)))的图象向左平移eq\f(π,3)个单位长度，得到偶函数g(x)的图象，则f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))等于()A.eq\r(3)B．－eq\r(3)C．2D．－2答案A解析将f(x)的图象向左平移eq\f(π,3)个单位长度，得到g(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)＋φ))的图象，因为g(x)为偶函数，且0<φ<eq\f(π,2)，所以eq\f(π,3)＋φ＝eq\f(π,2)，得φ＝eq\f(π,6)，所以f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))，得f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))＝2sin

eq\f(π,3)＝eq\r(3).5．(2023·阜阳模拟)从装有6个白球、2个红球的密闭容器中逐个不放回地摸取小球．若每取出1个红球得2分，每取出1个白球得1分．按照规则从容器中任意抽取2个球，所得分数的均值为()A.eq\f(5,2)B．3C.eq\f(10,3)D.eq\f(7,2)答案A解析设得分为X，根据题意知X的所有可能取值为4,3,2.则P(X＝4)＝eq\f(C\o\al(2,2),C\o\al(2,8))＝eq\f(1,28)，P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(1,6),C\o\al(2,8))＝eq\f(12,28)＝eq\f(3,7)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,6),C\o\al(2,8))＝eq\f(15,28)，则X的分布列为X432Peq\f(1,28)eq\f(3,7)eq\f(15,28)故所得分数的均值为E(X)＝4×eq\f(1,28)＋3×eq\f(3,7)＋2×eq\f(15,28)＝eq\f(5,2).6.某学校手工兴趣小组制作一个陀螺，如图，上半部分为圆锥，下半部分为同底圆柱．已知总高度为10cm，圆柱与圆锥的高之比为黄金比(黄金比又称黄金律，即较大部分与较小部分之比等于整体与较大部分之比，其比值约为1∶0.618)，该陀螺由密度为0.8g/cm3的木质材料做成，其圆柱底面的面积最大处为15cm2，则此陀螺总质量约为()A．111.8g B．110gC．90g D．88g答案D解析设圆柱部分的高为hcm，则圆锥部分的高约为0.618hcm，依题意，1.618h＝10，解得h＝eq\f(10,1.618)，设陀螺的体积为Vcm3，因为圆柱底面的面积最大处为15cm2，则陀螺的质量为0.8V，而0.8V<0.8eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(15h＋\f(1,3)×15×0.618h))＝0.8×18.09×eq\f(10,1.618)≈89.444，则陀螺质量应小于89.444g.7．已知双曲线eq\f(x2,3)－y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线分别交双曲线左、右两支于A，B两点，且|F2A|＝|F2B|，则|F1A|等于()A.eq\r(14)－eq\r(3) B.eq\r(14)＋eq\r(3)C.eq\r(14)－2eq\r(3) D.eq\r(14)＋2eq\r(3)答案C解析因为双曲线eq\f(x2,3)－y2＝1，所以a2＝3，b2＝1，c2＝a2＋b2＝4，则a＝eq\r(3)，b＝1，c＝2，过F2作F2C⊥AB交AB于点C(图略)，因为|F2A|＝|F2B|，所以C为AB中点，设|F2A|＝|F2B|＝t，由双曲线的定义可得|F1A|＝t－2eq\r(3)，|F1B|＝t＋2eq\r(3)，所以|AB|＝|F1B|－|F1A|＝4eq\r(3)，故cos∠F1BF2＝eq\f(|CB|,|F2B|)＝eq\f(2\r(3),t)＝eq\f(t＋2\r(3)2＋t2－16,2tt＋2\r(3))，解得t＝eq\r(14)，所以|F1A|＝eq\r(14)－2eq\r(3).8．已知函数f(x)，g(x)的定义域均为R，且f(x)＋g(2－x)＝5，g(x)－f(x－4)＝7.若y＝g(x)的图象关于直线x＝2对称，g(2)＝4，则eq\i\su(k＝1,22,)f(k)等于()A．－21B．－22C．－23D．－24答案D解析因为y＝g(x)的图象关于直线x＝2对称，所以g(2－x)＝g(x＋2)，因为g(x)－f(x－4)＝7，所以g(x＋2)－f(x－2)＝7，即g(x＋2)＝7＋f(x－2)，因为f(x)＋g(2－x)＝5，所以f(x)＋g(x＋2)＝5，代入得f(x)＋[7＋fx－2]＝5，即f(x)＋f(x－2)＝－2，所以f(3)＋f(5)＋…＋f(21)＝(－2)×5＝－10，f(4)＋f(6)＋…＋f(22)＝(－2)×5＝－10.因为f(x)＋g(2－x)＝5，所以f(0)＋g(2)＝5，即f(0)＝1，所以f(2)＝－2－f(0)＝－3.因为g(x)－f(x－4)＝7，所以g(x＋4)－f(x)＝7，又因为f(x)＋g(2－x)＝5，联立得g(2－x)＋g(x＋4)＝12，所以y＝g(x)的图象关于点(3,6)中心对称，因为函数g(x)的定义域为R，所以g(3)＝6，因为f(x)＋g(x＋2)＝5，所以f(1)＝5－g(3)＝－1.所以eq\i\su(k＝1,22,)f(k)＝f(1)＋f(2)＋[f(3)＋f(5)＋…＋f(21)]＋[f(4)＋f(6)＋…＋f(22)]＝－1－3－10－10＝－24.二、多项选择题9．(2023·山东省实验中学模拟)下列说法正确的是()A．(a＋b)·c＝a·c＋b·cB．非零向量a和b，满足|a|<|b|且a和b同向，则a<bC．非零向量a和b满足|a＋b|＝|a－b|，则a⊥bD．已知a＝(2，eq\r(3))，b＝(1，eq\r(3))，则a在b上的投影向量的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，\f(5\r(3),2)))答案AC解析对于A，根据数量积的运算律可知(a＋b)·c＝a·c＋b·c，故A正确；对于B，向量不可以比较大小，故B错误；对于C，非零向量a和b满足|a＋b|＝|a－b|，则(a＋b)2＝(a－b)2，即a2＋2a·b＋b2＝a2－2a·b＋b2，所以a·b＝0，则a⊥b，故C正确；对于D，因为a＝(2，eq\r(3))，b＝(1，eq\r(3))，所以a·b＝1×2＋eq\r(3)×eq\r(3)＝5，|b|＝eq\r(12＋\r(3)2)＝2，所以a在b上的投影向量的坐标为|a|cos〈a，b〉eq\f(b,|b|)＝eq\f(a·b,|b|)×eq\f(b,|b|)＝eq\f(5,2)×eq\f(1,2)(1，eq\r(3))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)，\f(5\r(3),4)))，故D错误．10．(2023·六盘水模拟)现有来自某校高三年级的3袋专项计划审查表，第1袋有4个男生和2名女生的高校专项审查表，第2袋有5名男生和3名女生的国家专项审查表，第3袋有3名男生和2名女生的地方专项审查表．现从3袋中随机选择1袋，再从中随机抽取1份审查表，设Ai＝“抽到第i袋(i＝1,2,3)”，B＝“随机抽取1份，抽到女生的审查表”，则()A．P(A1)＝P(A2)＝P(A3)B．P(B|A1)＝eq\f(2,3)C．P(A2B)＝eq\f(1,8)D．P(B)＝eq\f(133,360)答案ACD解析选项A，易知P(A1)＝P(A2)＝P(A3)＝eq\f(1,3)，故A正确；选项B，因为P(B|A1)＝eq\f(C\o\al(1,2),C\o\al(1,6))＝eq\f(1,3)，故B错误；选项C，因为P(B|A2)＝eq\f(C\o\al(1,3),C\o\al(1,8))＝eq\f(3,8)，所以P(A2B)＝P(A2)P(B|A2)＝eq\f(1,3)×eq\f(3,8)＝eq\f(1,8)，故C正确；选项D，因为P(B|A1)＝eq\f(C\o\al(1,2),C\o\al(1,6))＝eq\f(1,3)，P(B|A2)＝eq\f(C\o\al(1,3),C\o\al(1,8))＝eq\f(3,8)，P(B|A3)＝eq\f(C\o\al(1,2),C\o\al(1,5))＝eq\f(2,5)，所以P(B)＝P(B|A1)P(A1)＋P(B|A2)P(A2)＋P(B|A3)P(A3)＝eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)＋\f(3,8)＋\f(2,5)))＝eq\f(133,360)，故D正确．11．(2023·武汉模拟)如图，在四边形ABCD中，△ACD和△ABC是全等三角形，AB＝AD，∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，AB＝1.下面有两种折叠方法将四边形ABCD折成三棱锥．折法①：将△ACD沿着AC折起，得到三棱锥D1－ABC，如图1.折法②：将△ABD沿着BD折起，得到三棱锥A1－BCD，如图2.下列说法正确的是()A．按照折法①，三棱锥D1－ABC的外接球表面积恒为4πB．按照折法①，存在D1满足AB⊥CD1C．按照折法②，三棱锥A1－BCD体积的最大值为eq\f(\r(3),8)D．按照折法②，存在A1满足A1C⊥平面A1BD，且此时BC与平面A1BD所成角的正弦值为eq\f(\r(6),3)答案ACD解析由题意知AC＝2，BC＝eq\r(3)，如图1，取AC的中点O，连接OB，OD1，由于△ACD和△ABC是全等的直角三角形，故OA＝OC＝OD1＝OB，故在折法①的折叠过程中，三棱锥D1－ABC的外接球的球心为O，半径为1，故该球的表面积恒为4π，故A正确；按照折法①，在折起过程中，点D1在平面ABC内的投影D′1在线段BD(不包括端点)上，而线段BD(不包括端点)上不存在D′1使得CD′1⊥AB，故不存在D1满足AB⊥CD1，故B错误；按照折法②，如图2，取BD的中点H，连接A1H，A1H＝eq\f(1,2)，当平面A1BD⊥平面BCD时，三棱锥A1－BCD体积取得最大值，此时体积V＝eq\f(1,3)A1H·S△BCD＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×(eq\r(3))2×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),8)，故C正确；当A1C＝eq\r(2)时，A1C2＋A1B2＝BC2，A1C2＋A1D2＝CD2，故此时A1C⊥A1B，A1C⊥A1D，又因为A1B∩A1D＝A1，A1B，A1D⊂平面A1BD，故A1C⊥平面A1BD，故∠A1BC为BC与平面A1BD所成的角，则sin∠A1BC＝eq\f(A1C,BC)＝eq\f(\r(2),\r(3))＝eq\f(\r(6),3)，故D正确．12．(2023·长沙模拟)数列{an}满足，a1＝a,2an＋1－anan＋1＝1，则()A．数列{an}可能为常数列B．当a＝0时，数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an－1)))的前10项和为－55C．当a＝eq\f(13,11)时，数列{an}的最小值为eq\f(1,3)D．若数列{an}为递增数列，则a<1答案ABD解析由2an＋1－anan＋1＝1，得an＋1(2－an)＝1，当a1＝a＝1时，an＝1，为常数列，故A正确；eq\f(1,an＋1－1)－eq\f(1,an－1)＝eq\f(1,\f(1,2－an)－1)－eq\f(1,an－1)＝eq\f(2－an,an－1)－eq\f(1,an－1)＝－1，故eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an－1)))为等差数列，当a＝0时，eq\f(1,an－1)＝－1＋(n－1)×(－1)＝－n，∴eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an－1)))的前10项和为－1－2－3－…－10＝－55，故B正确；由B知，当a＝eq\f(13,11)时，eq\f(1,an－1)＝eq\f(1,\f(13,11)－1)＋(n－1)×(－1)＝eq\f(13,2)－n，故an＝1＋eq\f(1,\f(13,2)－n)，数列{an}的最小值为a7＝－1，故C错误；eq\f(1,an－1)＝eq\f(1,a－1)＋(n－1)×(－1)＝eq\f(a,a－1)－n，故an＝1＋eq\f(1,\f(a,a－1)－n)＝1－eq\f(1,n－\f(a,a－1))，当{an}为递增数列时，有eq\f(a,a－1)<1，∴a<1，故D正确．三、填空题13．(2023·广东省大湾区模拟)若数列{an}满足an＋1>an且Sn＋1<Sn，其中Sn为数列{an}的前n项和．请写出一个满足上述条件的数列的通项公式an＝________.答案(－1)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n－1(答案不唯一)解析根据题意，数列{an}满足Sn＋1<Sn，则有an＋1＝Sn＋1－Sn<0，又由数列{an}满足an＋1>an，故数列{an}是各项为负的递增数列，其通项公式可以为an＝(－1)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n－1.14．(2023·唐山模拟)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F且斜率为eq\r(3)的直线l与C交于A，B两点，O为坐标原点，则△AOB的面积为________．答案eq\f(4\r(3),3)解析由抛物线方程知焦点F(1,0)，则直线l：y＝eq\r(3)(x－1)，即eq\r(3)x－y－eq\r(3)＝0.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\r(3)x－1，,y2＝4x，))得3x2－10x＋3＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝eq\f(10,3)，∴|AB|＝x1＋x2＋2＝eq\f(16,3)，又坐标原点O到直线l的距离d＝eq\f(|－\r(3)|,\r(3＋1))＝eq\f(\r(3),2)，∴S△AOB＝eq\f(1,2)|AB|·d＝eq\f(1,2)×eq\f(16,3)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(4\r(3),3).15．(2023·盐城中学模拟)某校组织羽毛球比赛，每场比赛采用五局三胜制(每局比赛没有平局，先胜三局者获胜并结束比赛)，两人第一局获胜的概率均为eq\f(1,2)，从第二局开始，每局获胜的概率受上局比赛结果的影响，若上局获胜，则该局获胜的概率为eq\f(1＋p,2)，若上局未获胜，则该局获胜的概率为eq\f(1－p,2)，且一方第一局、第二局连胜的概率为eq\f(5,16)，则p＝________；打完4场结束比赛的概率为________．答案eq\f(1,4)eq\f(165,512)解析令事件Ai为一方在第i局获胜，i＝1,2,3，则连胜两局的概率P(A1A2)＝eq\f(1,2)×eq\f(1＋p,2)＝eq\f(5,16)，解得p＝eq\f(1,4)，若打完4场结束比赛，则需一方以3∶1获胜，因此第4场必须是胜，前3场胜2场即可，其中一方在第1,2,4场获胜的概率P1＝eq\f(1,2)×eq\f(5,8)×eq\f(3,8)×eq\f(3,8)＝eq\f(45,1024)，其中一方在第1,3,4场获胜的概率P2＝eq\f(1,2)×eq\f(3,8)×eq\f(3,8)×eq\f(5,8)＝eq\f(45,102