第3章微分中值定理与导数的应用(2)教学教案_第1页
第3章微分中值定理与导数的应用(2)教学教案_第2页
第3章微分中值定理与导数的应用(2)教学教案_第3页
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第3章微分中值定理与导数的应用(2)教学教案_第5页
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文档简介

例1关键:将其它类型未定式化为或型未定式。步骤:例2步骤:步骤:例3对数恒等式例5解：洛必达法则

第三节泰勒(Taylor)公式不足:

问题:1、精确度不高；2、误差不能估计。分析:2.若有相同的切线3.若弯曲方向相同1.若在

点相交n次泰勒多项式n阶泰勒公式拉格朗日型余项说明:

麦克劳林(Maclaurin)公式如下：此时泰勒公式称为麦克劳林公式.拉格朗日型余项佩亚诺型余项解：近似公式误差其误差解：

常用函数的麦克劳林公式解：解：解：求极限的一种方法－利用泰勒展开式求极限例6解：第四节函数的单调性与

曲线的凹凸性一、函数单调性观察与思考：函数单调增加函数单调减少函数的单调性与导数的符号有什么关系？函数单调增加时导数大于零，函数单调减少时导数小于零。函数的单调性与导数符号的关系观察结果：函数单调减少函数单调增加定理证：应用拉格朗日定理,得例1解：例2解：例3

解：导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点．方法:注意:

区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性.例如,

y

-2

O

2

-4

-2

2

4

x

y=x3驻点例4

解：例4

解：也可用列表的方式，例5证：利用函数的单调性证明不等式即原式成立。例6证：由零点定理知，利用函数的单调性讨论方程的根。例7证：小结

单调性的判别是拉格朗日中值定理的重要应用.定理中的区间换成其它有限或无限区间，结论仍然成立.应用：利用函数的单调性可以确定某些方程实根的个数和证明不等式.问题:如何研究曲线的弯曲方向?二、曲线的凹凸与拐点

NABM观察与思考：函数曲线除了有上升和下降外，还有什么特点？如果在某区间内，曲线弧位于其上任意一点的切线的上方，则称曲线在这个区间内是（向上）凹的；曲线凹向的定义如果在某区间内，曲线弧位于其上任意一点的切线的下方，则称曲线在这个区间内是（向上）凸的。凹的凸的图形上任意弧段位于所张弦的上方：凸的图形上任意弧段位于所张弦的下方：凹的定义观察与思考：

曲线的凹向与函数的导数的单调性有什么关系？拐点凹的凸的当曲线是凹的时，f

(x)单调增加。当曲线是凸的时，f

(x)单调减少。曲线凹向的判定曲线凹与凸的分界点称为曲线的拐点。定理例8

解：x

yO例9

解：凹凸凹拐点拐点例10解：拐点的求法：1.找出二阶导数为零的点或不可导点；2.若它两边的二阶导数值异号,则为拐点,若同号则不是拐点.例11解：利用函数图形的凹凸性,证明不等式

例5证：课后作业：P145习题3-33，5，7P152习题3-43(1)(4)(5)(7)，5(1)(4)

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