高等数学方明亮版数学课件101常数项级数的概念与性质教学讲义

高等数学多媒体课件牛顿（Newton）莱布尼兹（Leibniz）1/21/20251第十章无穷级数（InfiniteSeries）第一节常数项级数的概念与性质第二节常数项级数的审敛法第三节幂级数第四节函数展开成幂级数第五节函数的幂级数展开式的应用第六节傅立叶级数主要内容1/21/20252第一节常数项级数的概念和性质第十章（Conceptionandpropertyofconstanttermseries）一、常数项级数的基本概念二、收敛级数的基本性质三、小结与思考练习1/21/20253收敛

,并称S

为级数的和,记作当级数收敛时,称差值为级数的余项.则称无穷级数发散

.显然1/21/202551/21/20256例3讨论等比级数(又称几何级数)(q

称为公比)的敛散性.解:1)若从而因此级数收敛,从而则部分和因此级数发散.其和为1/21/202572)若因此级数发散;因此n为奇数n为偶数从而综合1)、2)可知,时,等比级数收敛;时,等比级数发散.则级数成为不存在,因此级数发散.1/21/20258二、收敛级数的基本性质性质1若级数收敛于S,则各项乘以常数c所得级数也收敛,证:

令则这说明收敛,其和为cS.

说明:

级数各项乘以非零常数后其敛散性不变.即其和为cS.1/21/20259性质2设有两个收敛级数则级数也收敛,其和为证:令则这说明级数也收敛,其和为1/21/2025101/21/202511性质3在级数前面加上或去掉有限项,不会影响级数的敛散性.证:

将级数的前k项去掉,的部分和为数敛散性相同.当级数收敛时,其和的关系为类似可证前面加上有限项的情况.极限状况相同,故新旧两级所得新级数1/21/202512性质4收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级数的和.证:设收敛级数若按某一规律加括弧,则新级数的部分和序列为原级数部分和序列的一个子序列,推论:若加括弧后的级数发散,则原级数必发散.注意:收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.但发散.因此必有例如，用反证法可证例如1/21/202513证:

可见:若级数的一般项不趋于0,则级数必发散.例如,其一般项为不趋于0,因此这个级数发散.1/21/202514注意:并非级数收敛的充分条件.例如,调和级数虽然但此级数发散.事实上,假设调和级数收敛于S,则但矛盾!所以假设不真.课本给出了另外两种证法！1/21/202515例6判断级数的敛散性:解:考虑加括号后的级数发散,从而原级数发散.1/21/202516内容小结常数项级数的基本概念:

常数项级数、收敛、发散、等比级数、调和级数3.级数收敛的判别方法2.收敛级数的5个性质课外练习习题10－13（偶数题）；41/21/202517思考与练习答:（1）若二级数都发散,不一定发散.例如,（2）若两级数中一个收敛一个发散,则必发散.(用反证法可证)1/21/202518解:(1)所以级数(1)发散;技巧:利用“拆项相消”求和2、判别下列级数的敛散性:1/21/202519(2)所以级数(2)收敛,其和为1.技巧:利用“拆项相消”求和1/21/2025203、判断下列级数的敛散性,若收敛求其和:解:(1)令则故从而这说明级数(1)发散.