第2章时域离散信号和系统的频域分析总结培训教材

第2章时域离散信号和系统的频域分析学习要点与重要公式

本章介绍了数字信号处理中两个重要的数学变换工具，即傅里叶变换（DTFT）、Z变换（ZT）,利用它们可以将信号和系统在时域空间和频域空间相互转换，这大大方便了对信号和系统的分析和处理。

理解DTFT的物理意义：表征一个离散信号和系统的频域特性用傅里叶变换。它将随时间变量n变化的x(n)影射为随频率变量ω变化的X(ejω)理解Z变换的物理意义及其重要性：

ZT是DTFT的一种推广，单位圆上的ZT就是DTFT。ZT将随时间变量n变化的x(n)影射为随复变量z变化的X（z），其变换空间为由x(n)决定的整个收敛域。如何理解在z域进行信号和系统分析的必要性：

1.通过ZT可将求解差分方程的运算简化为求解代数方程；2.利用x(n-m)z-mX（z),把时域的延时操作和Z域的乘z-m对应起来，乘z-m其物理意义也等价为将序列x(n)延时了mT秒。3.通过ZT可分析信号和系统的因果性和稳定性，且由系统函数的零极点和分析系统的频率响应。

ZT的学习要点

Z变换的正变换和逆变换定义，收敛域的概念。序列特性与收敛域；3.Z变换的定理和性质：移位、反转、z域微分、共轭序列的Z变换、时域卷积定理、初值定理、终值定理、帕斯维尔定理。4.系统频率响应和系统函数的求解。5.用极点分布判断系统的因果性和稳定性。6.零状态响应、零输入响应和稳态响应的求解。7.用零极点分布定性分析并画出系统的幅频特性。

重要公式（1）傅里叶变换的正变换和逆变换的公式

存在的条件是序列服从绝对可和的条件，即

用以表现周期序列的频谱特性。如果周期序列的周期是N。则其频谱由N条谱线组成。（2）周期序列的离散傅里叶级数变换公式周期序列的傅里叶变换公式：（3）序列的Z变换公式1.等比级数求和2.卷积运算

y(n)=x(n)*h(n)3.DTFT、ZT正反变换的计算重要的计算围线积分法求逆Z变换的两个关键：

1.知道收敛域以及收敛域和序列特性之间的关系

①收敛域包含∞点，序列是因果序列；

②收敛域在某圆以内，是左序列；

③收敛域在某圆以外，是右序列；

④收敛域在整个z面，是有限长序列；

⑤以上②、③、④均未考虑0与∞两点，这两点可以结合问题具体考虑。

2.会求极点留数。系统性质的判定线性时不变因果稳定信号和系统的频率特性分析

求信号与系统的频域特性要用傅里叶变换，但分析频率特性使用Z变换更方便。系统函数的极、零点分布完全决定了系统的频率特性，因此可以用分析极、零点分布的方法分析系统的频率特性，包括定性地画幅频特性，估计峰值频率或者谷值频率。当频率由0到2π变化时，在极点附近会形成峰，极点愈靠进单位圆，峰值愈高；零点附近形成谷，零点愈靠进单位圆，谷值愈低，零点在单位圆上则形成幅频特性的零点。当然，峰值频率就在最靠近单位圆的极点附近，谷值频率就在最靠近单位圆的零点附近。例题：［例1］已知IIR数字滤波器的系统函数试判断滤波器的类型（低通、高通、带通、带阻）。（某校硕士研究生入学考试题中的一个简单的填空题）

解：将系统函数写成下式:系统的零点为z=0，极点为z=0.9，零点在z平面的原点，不影响频率特性，而惟一的极点在实轴的0.9处，因此滤波器的通带中心在ω=0处。毫无疑问，这是一个低通滤波器。［例2.2］假设x(n)=xr(n)+jxi(n)，xr(n)和xj(n)为实序列，

X(z)=ZT［x(n)］在单位圆的下半部分为零。已知求X（ejω）=FT［x(n)］。解：Xe(ejω)=FT［xr(n)］因为X(ejω)=0π≤ω≤2π所以

X(e-jω)=X(ej(2π-ω))=00≤ω≤π当0≤ω≤π时，，故当π≤ω≤2π时，X(ejω)=0，故0≤ω≤ππ≤ω≤2π因此Re［X(ejω)］=X(ejω)Im［X(ejω)］=0［例2.3］已知0≤n≤N

N+1≤n≤2N

n<0,2N<n求x(n)的Z变换。

解：题中x(n)是一个三角序列，可以看做两个相同的矩形序列的卷积。设y(n)=RN(n)*RN(n),则n<00≤n≤N－1N≤n≤2N－12N≤n将y(n)和x(n)进行比较，得到y(n－1)=x(n)。因此

Y（z）z－1=X(z)

Y(z)=ZT［RN(n)］·ZT［RN(n)］故

［例2.4］时域离散线性非移变系统的系统函数H(z)为（1）要求系统稳定，确定a和b的取值域。

（2）要求系统因果稳定，重复（1）。

解（1）H(z)的极点为a

、b，系统稳定的条件是收敛域包含单位圆,即单位圆上不能有极点。因此，只要满足|

a

|≠1,|b|≠1即可使系统稳定，或者说a和b的取值域为除单位圆以外的整个z平面。

（2）系统因果稳定的条件是所有极点全在单位圆内，所以a和b的取值域为0≤|a|<1,0≤|b|<1.［例2.5］,f1=10Hz，f2=25Hz，用理想采样频率Fs=40Hz对其进行采样得到。（1）写出的表达式;（2）对进行频谱分析，写出其傅里叶变换表达式，并画出其幅度谱；（3）如要用理想低通滤波器将cos(2πf1t)滤出来，理想滤波器的截止频率应该取多少？解：

画出幅度谱如图2.4.1所示。（2）按照采样定理,的频谱是x(t)频谱的周期延拓，延拓周期为Fs=40Hz，x(t)的频谱为图2.4.1

（3）观察图2.4.1，要把cos(2πf1t)滤出来，理想低通滤波器的截止频率fc应选在10Hz和20Hz之间，可选fc＝15Hz。

如果直接对模拟信号x(t)=cos(2πf1t)+cos(2πf2t)进行滤波，模拟理想低通滤波器的截止频率选在10Hz和25Hz之间，可以把10Hz的信号滤出来，但采样信号由于把模拟频谱按照采样频率周期性地延拓，使频谱发生变化，因此对理想低通滤波器的截止频率要求不同。［例2.4.6］对x(t)=cos(2πt)+cos(5πt)进行理想采样，采样间隔T=0.25s，得到，再让通过理想低通滤波器G(jΩ)，G(jΩ)用下式表示:≤(1)写出的表达式;(2)求出理想低通滤波器的输出信号y(t)。解：(1)（2） 为了求理想低通滤波器的输出，要分析的频谱。中的两个余弦信号频谱分别为在±0.5π和±1.25π的位置，并且以2π为周期进行周期性延拓，画出采样信号的频