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文档简介

PAGE专练24平面对量的概念及其线性运算命题范围:平面对量的概念和几何表示、共线向量、向量的加减、数乘等线性运算[基础强化]一、选择题1.给出下列四个命题:①若|a|=|b|,则a=b;②若A,B,C,D是不共线的四点,则eq\o(AB,\s\up6(→))=eq\o(DC,\s\up6(→))是四边形ABCD为平行四边形的充要条件;③若a=b,b=c,则a=c;④a=b的充要条件是|a|=|b|,且a∥b.其中正确命题的序号是()A.②③B.①②C.③④D.②④2.设非零向量a、b满意|a+b|=|a-b|,则()A.|a|=|b|B.a∥bC.|a|>|b|D.a⊥b3.在△ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则eq\o(EB,\s\up6(→))=()A.eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→))-eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→))B.eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))-eq\f(3,4)eq\o(AC,\s\up6(→))C.eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→))+eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→))D.eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))+eq\f(3,4)eq\o(AC,\s\up6(→))4.[2024·衡水中学高三测试]在等腰梯形ABCD中,eq\o(AB,\s\up6(→))=-2eq\o(CD,\s\up6(→)),M为BC的中点,则eq\o(AM,\s\up6(→))=()A.eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))+eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))B.eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→))+eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))C.eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→))+eq\f(1,4)eq\o(AD,\s\up6(→))D.eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))+eq\f(3,4)eq\o(AD,\s\up6(→))5.在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,eq\o(CO,\s\up6(→))=λ(eq\o(AB,\s\up6(→))+eq\o(AD,\s\up6(→))),则实数λ=()A.-eq\f(1,2)B.eq\f(1,2)C.2D.-26.已知O,A,B是平面上的三个点,直线AB上有一点C,满意2eq\o(AC,\s\up6(→))+eq\o(CB,\s\up6(→))=0,则eq\o(OC,\s\up6(→))等于()A.2eq\o(OA,\s\up6(→))-eq\o(OB,\s\up6(→))B.-eq\o(OA,\s\up6(→))+2eq\o(OB,\s\up6(→))C.eq\f(2,3)eq\o(OA,\s\up6(→))+eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))D.-eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up6(→))+eq\f(2,3)eq\o(OB,\s\up6(→))7.[2024·武汉一中高三测试]在四边形ABCD中,eq\o(AB,\s\up6(→))=a+2b,eq\o(BC,\s\up6(→))=-4a-b,eq\o(CD,\s\up6(→))=-5a-3b,则四边形ABCD的形态是()A.矩形B.平行四边形C.梯形D.以上都不对8.[2024·江西师大附中高三测试]已知平面内一点P及△ABC,若eq\o(PA,\s\up6(→))+eq\o(PB,\s\up6(→))+eq\o(PC,\s\up6(→))=eq\o(AB,\s\up6(→)),则点P与△ABC的位置关系是()A.点P在线段AB上B.点P在线段BC上C.点P在线段AC上D.点P在△ABC内部9.[2024·银川一中高三测试]设D为△ABC所在平面内一点,eq\o(BC,\s\up6(→))=3eq\o(CD,\s\up6(→)),则()A.eq\o(AD,\s\up6(→))=-eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))+eq\f(4,3)eq\o(AC,\s\up6(→))B.eq\o(AD,\s\up6(→))=eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))-eq\f(4,3)eq\o(AC,\s\up6(→))C.eq\o(AD,\s\up6(→))=eq\f(4,3)eq\o(AB,\s\up6(→))+eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))D.eq\o(AD,\s\up6(→))=eq\f(4,3)eq\o(AB,\s\up6(→))-eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))二、填空题10.在△ABC中,D是AB边上一点,eq\o(AD,\s\up6(→))=3eq\o(DB,\s\up6(→)),且eq\o(CD,\s\up6(→))=λeq\o(AC,\s\up6(→))+eq\f(3,4)eq\o(CB,\s\up6(→)),则λ的值为________.11.在△OAB中,点C满意eq\o(AC,\s\up6(→))=-4eq\o(CB,\s\up6(→)),eq\o(OC,\s\up6(→))=xeq\o(OA,\s\up6(→))+yeq\o(OB,\s\up6(→)),则y-x=________.12.如图所示,已知eq\o(AB,\s\up6(→))=2eq\o(BC,\s\up6(→)),eq\o(OA,\s\up6(→))=a,eq\o(OB,\s\up6(→))=b,eq\o(OC,\s\up6(→))=c,则c=________(用a,b表示).[实力提升]13.[2024·邯郸一中高三测试]已知点P是△ABC所在平面内一点,且满意3eq\o(PA,\s\up6(→))+5eq\o(PB,\s\up6(→))+2eq\o(PC,\s\up6(→))=0,已知△ABC的面积为6,则△PAC的面积为()A.eq\f(9,2)B.4C.3D.eq\f(12,5)14.[2024·陕西西安一中高三测试]如图,始终线EF与平行四边形ABCD的两边AB,AD分别交于E,F两点,且交其对角线AC于K,其中,eq\o(AE,\s\up6(→))=eq\f(2,5)eq\o(AB,\s\up6(→)),eq\o(AF,\s\up6(→))=eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→)),eq\o(AK,\s\up6(→))=λeq\o(AC,\s\up6(→)),则λ的值为()A.eq\f(2,9)B.eq\f(2,7)C.eq\f(2,5)D.eq\f(2,3)15.已知D,E,F分别为△ABC的边BC,CA,AB的中点,且eq\o(BC,\s\up6(→))=a,eq\o(CA,\s\up6(→))=b,给出下列命题:①eq\o(AD,\s\up6(→))=eq\f(1,2)a-b;②eq\o(BE,\s\up6(→))=a+eq\f(1,2)b;③eq\o(CF,\s\up6(→))=-eq\f(1,2)a+eq\f(1,2)b;④eq\o(AD,\s\up6(→))+eq\o(BE,\s\up6(→))+eq\o(CF,\s\up6(→))=0.其中正确命题的个数为________.16.[2024·湖南师大附中高三测试]在△ABC中,eq\o(AN,\s\up6(→))=eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→)),P是BN上的一点,若eq\o(AP,\s\up6(→))=meq\o(AB,\s\up6(→))+eq\f(2,11)eq\o(AC,\s\up6(→)),则实数m的值为________.专练24平面对量的概念及其线性运算1.A当|a|=|b|时,a与b的方向不确定,故①不正确;对于②,∵A,B,C,D是不共线的点为大前提,eq\o(AB,\s\up6(→))=eq\o(DC,\s\up6(→))⇔ABCD为平行四边形,故②正确;③明显正确;对于④由于当|a|=|b|且a∥b时a与b的方向可能相反,此时a≠b,故|a|=|b|且a∥b是a=b的必要不充分条件,故④不正确.2.D由|a+b|=|a-b|的几何意义可知,以a、b为邻边的平行四边形为矩形,故a⊥b.3.A∵E为AD的中点,∴eq\o(EB,\s\up6(→))=eq\o(AB,\s\up6(→))-eq\o(AE,\s\up6(→))=eq\o(AB,\s\up6(→))-eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))=eq\o(AB,\s\up6(→))-eq\f(1,4)(eq\o(AB,\s\up6(→))+eq\o(AC,\s\up6(→)))=eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→))-eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→)).4.B∵M为BC的中点,∴eq\o(AM,\s\up6(→))=eq\f(1,2)(eq\o(AC,\s\up6(→))+eq\o(AB,\s\up6(→)))=eq\f(1,2)(eq\o(AD,\s\up6(→))+eq\o(DC,\s\up6(→)))+eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→)),又eq\o(AB,\s\up6(→))=-2eq\o(CD,\s\up6(→)),∴eq\o(DC,\s\up6(→))=eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→)),∴eq\o(AM,\s\up6(→))=eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AD,\s\up6(→))+\f(1,2)\o(AB,\s\up6(→))))+eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))=eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→))+eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→)).5.A由平行四边形法则可知,eq\o(AC,\s\up6(→))=eq\o(AB,\s\up6(→))+eq\o(AD,\s\up6(→)),又O为AC与BD的交点,∴eq\o(AC,\s\up6(→))=-2eq\o(CO,\s\up6(→)),∴eq\o(CO,\s\up6(→))=-eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))+eq\o(AD,\s\up6(→))),∴λ=-eq\f(1,2).6.A∵2eq\o(AC,\s\up6(→))+eq\o(CB,\s\up6(→))=0,∴2(eq\o(OC,\s\up6(→))-eq\o(OA,\s\up6(→)))+eq\o(OB,\s\up6(→))-eq\o(OC,\s\up6(→))=0,得eq\o(OC,\s\up6(→))=2eq\o(OA,\s\up6(→))-eq\o(OB,\s\up6(→)),故选A.7.C∵eq\o(AD,\s\up6(→))=eq\o(AB,\s\up6(→))+eq\o(BC,\s\up6(→))+eq\o(CD,\s\up6(→))=-8a-2b=2(-4a-b)=2eq\o(BC,\s\up6(→)),∴eq\o(AD,\s\up6(→))∥eq\o(BC,\s\up6(→))且|eq\o(AD,\s\up6(→))|=2|eq\o(BC,\s\up6(→))|,∴四边形ABCD为梯形.8.C∵eq\o(PA,\s\up6(→))+eq\o(PB,\s\up6(→))+eq\o(PC,\s\up6(→))=eq\o(AB,\s\up6(→))=eq\o(PB,\s\up6(→))-eq\o(PA,\s\up6(→)),∴eq\o(PC,\s\up6(→))=-2eq\o(PA,\s\up6(→)),∴点P在线段AC上.9.A∵eq\o(BC,\s\up6(→))=3eq\o(CD,\s\up6(→)),∴eq\o(AC,\s\up6(→))-eq\o(AB,\s\up6(→))=3(eq\o(AD,\s\up6(→))-eq\o(AC,\s\up6(→))),即4eq\o(AC,\s\up6(→))-eq\o(AB,\s\up6(→))=3eq\o(AD,\s\up6(→)),∴eq\o(AD,\s\up6(→))=eq\f(4,3)eq\o(AC,\s\up6(→))-eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→)),故A正确.10.-eq\f(1,4)解析:∵eq\o(AD,\s\up6(→))=3eq\o(DB,\s\up6(→)),∴eq\o(CD,\s\up6(→))-eq\o(CA,\s\up6(→))=3(eq\o(CB,\s\up6(→))-eq\o(CD,\s\up6(→))),∴4eq\o(CD,\s\up6(→))=eq\o(CA,\s\up6(→))+3eq\o(CB,\s\up6(→)),∴eq\o(CD,\s\up6(→))=-eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→))+eq\f(3,4)eq\o(CB,\s\up6(→)).又eq\o(CD,\s\up6(→))=λeq\o(AC,\s\up6(→))+eq\f(3,4)eq\o(CB,\s\up6(→)),∴λ=-eq\f(1,4).11.eq\f(5,3)解析:依据向量加法的三角形法则得到eq\o(OC,\s\up6(→))=eq\o(OB,\s\up6(→))+eq\o(BC,\s\up6(→))=eq\o(OB,\s\up6(→))+eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→))=eq\o(OB,\s\up6(→))+eq\f(1,4)(eq\o(OC,\s\up6(→))-eq\o(OA,\s\up6(→))),化简得到eq\o(OC,\s\up6(→))=-eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up6(→))+eq\f(4,3)eq\o(OB,\s\up6(→)),所以x=-eq\f(1,3),y=eq\f(4,3),则y-x=eq\f(4,3)+eq\f(1,3)=eq\f(5,3).12.eq\f(3,2)b-eq\f(1,2)a解析:∵eq\o(AB,\s\up6(→))=2eq\o(BC,\s\up6(→)),∴eq\o(OB,\s\up6(→))-eq\o(OA,\s\up6(→))=2(eq\o(OC,\s\up6(→))-eq\o(OB,\s\up6(→))).∴eq\o(OC,\s\up6(→))=eq\f(3,2)eq\o(OB,\s\up6(→))-eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up6(→)),即c=eq\f(3,2)b-eq\f(1,2)a.13.C∵3eq\o(PA,\s\up6(→))+5eq\o(PB,\s\up6(→))+2eq\o(PC,\s\up6(→))=0,∴3(eq\o(PA,\s\up6(→))+eq\o(PB,\s\up6(→)))+2(eq\o(PB,\s\up6(→))+eq\o(PC,\s\up6(→)))=0,取AB的中点D,BC的中点E,连接PD,PE,则eq\o(PA,\s\up6(→))+eq\o(PB,\s\up6(→))=2eq\o(PD,\s\up6(→)),eq\o(PB,\s\up6(→))+eq\o(PC,\s\up6(→))=2eq\o(PE,\s\up6(→)),∴3eq\o(PD,\s\up6(→))+2eq\o(PE,\s\up6(→))=0,∴D、P、E三点共线,∴P到AC的距离为B到AC的距离h的一半,∵S△ABC=eq\f(1,2)AC·h=6,∴S△PAC=eq\f(1,2)AC×eq\f(h,2)=eq\f(1,2)×6=3.14.A∵eq\o(AE,\s\up6(→))=eq\f(2,5)eq\o(AB,\s\up6(→)),eq\o(AF,\s\up6(→))=eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→)),则eq\o(AB,\s\up6(→))=eq\f(5,2)eq\o(AE,\s\up6(→)),eq\o(AD,\s\up6(→))=2eq\o(AF,\s\up6(→)),∴eq\o(AC,\s\up6(→))=eq\o(AB,\s\up6(→))+eq\o(AD,\s\up6(→)),∴eq\o(AK,\s\up6(→))=λeq\o(AC,\s\up6(→))=λ(eq\o(AB,\s\up6(→))+eq\o(AD,\s\up6(→)))=λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,

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