2023年高考数学一轮复习 课时作业 第六章 平面向量、复数

主题三

几何与代数第六章平面向量、复数（必修第二册）

第1节平面向量的概念及线性运算

;里口叶侔如灵活名、4方致提混

；选题明细表

知识点、方法基础巩固练综合运用练应用创新练

平面向量的概念1,613

平面向量的线性运算2,3,4,8

向量共线5,7,911

综合问题10,12,1415

A级基础巩固练

1.设a是非零向量，入是非零实数，则下列结论正确的是（B）

A.a与入a的方向相反

B.a与人2a的方向相同

C.|-入a121al

D.|一入社|》|入•a

解析:对于A,当人＞0时,a与入a的方向相同，当入＜0时,a与入a的方

向相反,A不正确,B正确;对于C,|-入a|=|-入|a|,由于|-人|的大小

不确定，故|-入a|与|a|的大小关系不确定,C不正确;对于D"人|a是

向量，而I-人a|表示长度,两者不能比较大小,D不正确.故选B.

—f―

2.矩形ABCD的对角线相交于点0,E为AO的中点,若阻入神+11AB

（入，u为实数），则入"2=（4）

5

A.8B.4

C.1D.16

解析DEeDA'DC毋。力口^”乞必+薪以/^口总接心

135

所以入=*u=1所以%4H=«.故选A.

ff—

3.在等腰梯形ABCD中，型/功用为BC的中点，则4M二（B）

A,次+*B,加+洌

c.i+海D.9+2

解析：因为他二-2。弓

所以AB二2施又M是BC的中点，

f1f-1-f-3-1：

所以3工（AB+AC）_2（AB+AD+DC^_-AB^-AD故选B

fffff

4.设D为aABC所在平面内一点，叫3码若皿入如则X-

u=（A）

5445

A.-3B.-3C.3D.3

——

解析：由BCyCD,可知B,C,D三点在同一直线上,如图所示.根据题意

及图形，可得'二4'+凉4。+三（4（：_%=_：向；”所以入二口

4145

U=3所以入-U=-5-3=-3.故选A.

5.（多选题）己知等边三角形ABC内接于。0,D为线段0A的中点,E为

线段BC的中点，则3"二（AC）

2141

人^BA}BCn}BA\BC

A.3+6B.3-6

I21

—f——1.—

解析：如图所示，已知BC中点为E,^BD=BA+AD=BA^AE=BA+

1—-

5（皿啊件+数/G也请C故选AC.

6.（多选题）在aABC中，下列命题正确的是（BC）

AABACBC

B.AB+BC+CJ4.Q

ffff

C.若(Afl+AC)・(Afl_4C)二o,则AABC为等腰二角形

ff

D.若AC.AB>o,则^ABC为锐角三角形

解析：由向量的运算法则知血AC/q睥叫也0,故A错,B对；

->->ff―f

)22

AC(ABAC)=AB_AC=Q

所以赢足即画二扃，

所以AABC为等腰三角形，故C对；

ff

因为AC.AB*,

所以角A为锐角，但三角形不一定是锐角三角形,故D错.故选BC.

7.已知向量ebe2是两个不共线的向量,若a=2e「e2与b=e1+入e2共线,

则X=.

解析:法一因为a与b共线，所以a二xb,

(x=2,

所以bx=T,

故人=-2

111

法二由已知三,所以人二二.

答案：-2

8.如图所示，已知NB=30°,NA0B=90°,点C在AB上,OC1AB,若用

°”和°，来表示向量尺则兄.

解析:由题意易知"Q+AC0+*他。Ai(OBQ)V。(OB.

31

答案：」40

fffff

9.己知a,b不共线,砒a,Ofl=b,℃二c,°"=d,°&e,设teR,如果

3a=c,2b=d,e=t(a+b),是否存在实数t使C,D,E三点在一条直线上?

若存在,求出实数t的值;若不存在,请说明理由.

f->

解：由题设知，Cfl=d-c=2b-3a,C£=e-c=(t-3)a+tb,C,D,E三点在一条

ff

直线上的充要条件是存在实数k,使得CE=k°D,即(t-3)a+

b=-3ka+2kb,

整理得(t-3+3k)a=(2k-t)b.

iT-3+3k=0,

因为a,b不共线，所以有It-2k=0,

6

解得t二M.

6

故存在实数使c,D,E三点在一条直线上.

B级综合运用练

10.(多选题)设点M是aABC所在平面内一点,则下列说法正确的是

(ACD)

A.若网5%遮则点M是边BC的中点

fff

AB

B.若网2-AC,则点卜［在边BC的延长线上

C.若鹏一BM-CN,则点乂是aABC的重心

fff11

4s

D.若仙二x+yAQ且x+y=2则aMBC的面积是AABC的面积的3

f11

解析:若4M一叫万人。则点M是边BC的中点,故A正确;

f—>—►f—►

AB

若AM二2AC即AM_AB=ABAC^BM=CB

则点M在边CB的延长线上，故B错误;

ffff—f

若CM即AMBM+C盟0

则点M是aABC的重心,故C正确;

fff

如图,AM=xAB^yAC,巨x+y二4

ff—

可得2AM^2xAB+2yAC,

ff

设和2和则M为AN的中点,

则AMBC的面积是4ABC的面积的4故D正确.故选ACD.

11.（多选题）设a,b是不共线的两个平面向量，己知PQ=a+sina-b,

其中Q仁（0,2兀），QN=2a-b.若P,Q,R三点共线，则角a的值可以为

（CD）

7T5n7n11元

A.kB.TC.不D.T

i

解析：由题意1x(T)-2sina=0,sina=-2又a£(0,2冗)，故a的

7v11^

值可为彳或故选CD.

12.在直角梯形ABCD中，A=90°,B=30°,AB=26,BC=2,点E在线段CD

fff

上,若延裕+u色则U的取值范围是.

师所以叫2位

解析：由己知可得AD=1,CD二

因为点E在线段CD上，所以。尾入℃（0W入W1）.

因为和皿知，

D£

又正G+口£二6+2口且=AT

至i

所以二T,即U-2

1

因为ow入wi,所以owu

1

答案:。由

13.如图，在aABC中,D为BC的四等分点,且靠近B点,E,F分别为

f->

AC,AD的三等分点,且分别靠近A,D两点，设45二a,AC=b.

A

B

D

——f

⑴试用a,b表示BQ初产;

(2)证明:B,E,F三点共线.

—►—►

⑴解:在AABC中，因刈现a,'J,

所以立位b-a,

ff—fl二131

ADJIB^BDJIB^3、a+彳(b-a)二品用

丸昌+£二为+，、a+；b.

-i

⑵证明：因为3&-a+5b,

BFJA.AF=_AB^AD

23111

-44

-a+^(a+b)--2a+«b

11

=2(-a+的)，

—ifff

所以小严产与或共线,且有公共点B,

所以B,E,F三点共线.

一

14.经过aOAB的重心G的直线与OA,0B分别交于点P,Q,设°?二

1n04,OQ=nOB小，口£R

⑴证明:m+n为定值;

(2)求m+n的最小值.

⑴证明：设°”刊明).

―21--*1

由题意知3(04°马=3(a+b),

fff

PQ4QOP二nbM

网二OG一瓶(定标+补，

由P,G,Q三点共线得，

->f

存在实数入，使得PQ—PG,

11

即nb-ma=入(3-m)a+石Ab,

=A(i-m),

n=J'，

从而I3

11

消去入得赢二二3.

ii

⑵解:由⑴知，嬴二二3,

ill

于是m+n=3("+»)(m+n)=

1三三14

3(2+"+»)>3(2+2)=3

当且仅当m二。二三时,m+n取得最小值,最小值为3

C级应用创新练

15.已知Ai,A?,A：,为平面上三个不共线的定点，平面上点M满足

TTT

A1M=A（A1A2+A1A3）（入是实数），且“冬+”色+”人是单位向量，则

这样的点乂有（C）

A.0个B1个C2个D无数个

解析：法一由题意得，=-A（4-）,=+

A/L?MA3=MA[+A1A3

——

所以MA+M42+M43=（I-3入）.（AIE+AIA%如图所示,设。为A2A3的

中点，

所以（1-3X）d遇2+AAs）是与AD共起点且共线的一个向量,显然直

线AJ）与以Ai为圆心的单位圆有两个交点，故人有两个值,即符合题意

的点M有两个.故选C.

法一以A1为原点建立平面直角坐标系（图略），

设A2（a,b）,A3（m,n）,

则41444出=(a+*b+n))

所以M(入(a+m),入(b+n)),

所以M41=(-X(a+m),-X(b+n)),

—>

“匈=g-X(a+m),b-入(b+n)),

—»

M4=(m-X(a+m),n-X(b+n)),

所以M41+M44M小二((卜3人)(a+m),(「3入)(b+n)).

因为M41+M4+M43是单位向量，

所以(1-3入)2[(a+m)2+(b+n)2]=l,

因为A„A2,A,是平面上三个不共线的定点，

所以(a+m)2+(b+n)2>0,所以关于人的方程有两解,故满足条件的M有

两个.故选C.

第2节平面向量基本定理及坐标表示

灵活寺友方致提他

课时作业

❽选题明细表

知识点、方法基础巩固练综合运用练应用创新练

平面向量的坐标运算1,7,8

平面向量基本定理及应用2,4,5,910

共线向量的坐标表示及其

3,613

应用

综合问题11,12,1415

A级基础巩固练

一

1.在如图所示的平面直角坐标系中，向量出的坐标是(D)

y

(•

012~~'~X

A.(2,2)B.(-2,-2)

C.(1,1)D.(-1,-1)

一

解析:因为A(2,2),B(1,1),所以"=(T,T),故选D.

2.在下列向量组中，可以把向量a=(3,2)表示出来的是(B)

A.e尸(0,0),02=(1»2)

B.ei=(-l,2),e2=(5,-2)

C.ei=(3,5),。2二(6,10)

D.⑵一3),^2=(—2,3,)

解析:对于A,C,D都有e^e2,所以只有B成立.故选B.

3.设向量a=(m,2),b=(1,m+1),且a与b的方向相反,则实数m的值为

(A)

A.-2B.1

C.-2或1D.m的值不存在

解析：向量a=(叫2),b=(1,m+1),因为a〃b,所以m(m+l)=2X1,解得

m=-2或m=l.当m=l时,a=(l,2),b=(l,2),a与b的方向相同,舍去；当

m=-2时,a=(-2,2),b二(1,T),a与b的方向相反,符合题意.故选A.

4.在平面直角坐标系xOy中，已知A(l,O),B(O,1),C为第一象限内一

・fff

点，NAOCW且002,若%入口+口%则入+口等于(A)

V2及

A.2B.

C.2D.4调

-J2y12

解析：因为0C=2,ZAOC=*C为第一象限内一点，所以CC),

又适初十初

所以*，"入(1,0)+口(0,1)二(入，U),

所以入=Uy=[2，所以入+U=2yVl2.故选A.

5.(多选题)设0是平行四边形ABCD的两条对角线AC,BD的交点,则可

作为这个平行四边形所在平面的一组基底的向量组是(AC)

AAO与ABB.D叫BC

C&与DODfjOB

解析：如图，平面内任意两个不共线的向量都可以作为基底，对于

—>—»—>—»

A,心与四不共线，可作为基底;对于B/M与"C为共线向量，不可作为

—»—»—»

基底;对于C,以与DC是两个不共线的向量，可作为基底;对于D,°”与

。月在同一直线上,是共线向量,不可作为基底.故选AC.

6(多选题)已知向量04=(l,・3),°'=(2,-l),"=(m+l,m-2),若点

A,B,C能构成三角形，则实数m可以是(ABD)

A.-2B.2

C.1D.-1

—»——

解析:若A,B,C三点不共线即可构成三角形.因为

(l,-3)=(l,2),AC=°C.O/=(m+l,m-2)-(l,-3)=(m,m+l).假设A,B,C

三点共线，则1X(m+l)-2m=0,即m=l.所以只要m#l,则A,B,C三点即

可构成三角形.故选ARD.

7.已知向量a=(l,3),b=(-2,k),且(a+2b)//(3a-b),则实数

k=.

解析:法一a+2b=(-3s3+2k),

3a-b=(5,9-k),

由题意可得-3(9-k)=5(3+2k),解得k=-6.

法二若a,b不共线，则a+2b与3a-b不共线，

这与(a+2b)//(3a-b)矛盾，故a,b共线，

所以k-3X(-2)=0,解得k=-6.

答案：-6

8.设向量a=(-3,4),向量b与向量a方向相反,M|b|=10,则向量b的

坐标为.

解析:法一不妨设向量b的坐标为(-3m,4m)(ir.<0),

则⑹=«而户耐"，

解得m=-2(m=2舍去)，

故b=(6「8).

工&闾?,

法二与a方向相反的单位向量是㈣=M=@占)，

34

故b=10(£-，=(6,・8).

答案：(6,-8)

一

9.如图，已知在△OCB中,A是CB的中点,D是将以分成2：1的一个内

TT

分点,DC和0A交于点E,设04=a,°町b.

⑴用a和b表示向量叫DC；

—>—»

⑵若°忆。,求实数人的值.

-»2T

解：(1)由题意知,A是BC的中点，且々由平行四边形法则,

得°3+℃=204

所以耙2人。足2a-b,

25

DC=OC_OD=(2a-b)-3b=2a-3b.

⑵由题意知,嬴〃充、故设无x尻

因为应二涯0E二(2a-b)-Xa=(2-X)a-b,立2a3.

5

所以(2-入)a-b=x(2a-3b).

因为a与b不共线，由平面向量基本定理，

(2Q=2x,,X=5,

,__5'=士f

得I一产解得I一$•故人J

B级综合运用练

10.已知在RtAABC中，NBAC=90°,AB=1,AC=2,D是4ABC内一点,且

NDAB=60°,设3dAs+"C(入…ER),则口等于(卜)

2gva

A.亏B.V

C.3D.2避

解析:如图，以A为坐标原点,AB所在直线为x轴,AC所在直线为y轴

建立平面直角坐标系,则B点的坐标为(1,0),C点的坐标为(0,2),

因为NDAB=60",所以设D点的坐标为（叫%）（111W0）.

皿（m,q）二人型入（］,o）+“（°,2）=（入，2u）,则人初，且u

V3

二2叫

所以叫亏.故选A.

11.如图，在RtAABC中，NABC=4AO2AB,ZBAC的平分线交aABC的

外接圆于点D,设融二：a,4C二b,则向量初等于（C）

A.a+bB.2a+b

12

C.a+2bD.a+^b

解析:设圆的半径为r,

■

在RtAABC中，ZABC=2AC=2AB,

,■

所以NBAC=[ZACB=6

又NBAC的平分线交AABC的外接圆于点D,

所以NACB二NBAD二NCAD二6,

则根据圆的性质得BD二CD二AB,

1

又因为在RtAABC中，AB=2AC=r=0D,

所以四边形ABDO为菱形，

所以幽型4%+水故选C.

—»T—»—»

12.己知0为坐标原点，向量°叫（1,2）,°足（.2,-1）,若2Ap二”则

-1=—.

T—>

解析:因为2机”

所以2（而1-两二血码

所以2踊赢嗯

所以而肩向+西=（垓2）

所以1。尸55

坦

答案：记

13.已知a=（l,0）,b=（2,D.

（1）当k为何值时,ka-b与a+2b共线;

(2)若独=2a+3b,"Ja+mb且A,B,C三点共线，求m的值.

解：(l)ka—b=k(l,0)-⑵l)=(k—2,-1),

a+2b=(l,0)+2(2,1)=(5,2).

因为ka-b与a+2b共线,

所以2(k-2)-(T)X5=0,

1

即2k-4+5=0,得k=-2.

—»—>

⑵法一因为A,B,C三点共线，所以A5,入BQ

即2a+3b=入(a+mb),

f2=A,3

所以匕=771A,解得m=2.

法二Afl=2a+3b=2(1,0)+3(2,1)=(8,3),

“Ja+mb=(1,0)+m(2,1)=(2m+1,m),

因为A,B,C三点共线，所以A®//®1

3

所以8m-3(2m+l)=0,即2m-3=0,所以m=2.

14.如图，已知平面内有三个向量OAOBOC,其中°”与的夹角为

西二1,|西二26.若

120°,0%与℃的夹角为30°,且|

℃二加4口。3（入，口£R）,求入+u的直

C

B

A

解:法一如图，作平行四边形OBCAi,

则OC=O"i十0气

—»—>—»—»

因为°力与°3的夹角为120。，°4与℃的夹角为30°,

所以NBQO90。.

在RtAOB.C中，NOCB尸30。，|西二2件

—»—»

所以|叫二2,严四=4,

—»—»

所以1041HHic=4,

所以℃二40*+203,

所以入=4,u=2,所以入：U=6.

法二以0为坐标原点,建立如图所示的平面直角坐标系,

则A(l,0),B(-3,5),C(3,6).

由OC二人OA+u。4

3=入-加

代=品］入=4，

得I2内解得卜=2.

所以入+U=6.

C级应用创新练

15.若a,8是平面内一组基底，向量Y=xa十y8(x,y£R),则称(x,y)

为向量Y在基底a,B下的坐标，现已知向量a在基底

p=(l,T),q=(2,1)下的坐标为(-2,2),则a在基底m=(-l,1),n=(l,2)

下的坐标为.

解析:因为a在基底p,q下的坐标为(-2,2),

所以a=-2p+2q=(2,4),

令a=xm+yn=(-x+y,x+2y),

户+y=2，

所以卜+21，即fx仁=02：

所以a在基底m,n下的坐标为(0,2).

答案：(0,2)

第3节平面向量的数量积及平面向量的应用

灵活才友方数提他

课时作业

厂选题明细表

知识点、方法基础巩固练综合运用练应用创新练

平卸1可量数量积的基本

1,6

运算

-平曲向量数量积的应用2,3,5

平面向量的综合运用4,7,8,9

综合问题10,11,12,13,1415,16

A级基础巩固练

1.(2021•湖北武汉武昌区高三调研)在等腰直角三角形ABC中，

.

ZACB=2,AC=BC=2,点P是斜边AB上一点，且BE=2EA,那么

CP.CA^.CB=(口)

A.-4B.-2C.2D.4

—>—>—>—>

解析:法一由已知得|以|二IC昨2,以.CB=0,和r，所以

CP.CA+CP.晶=(&+/)・&+(方+久3).CB=

CA^AP.CA^CA.CB^AP.CB_CA2^^CB_CA).(西N)二,

i-»i-»ii

2?=4.故选D.

|2+3|CB|2_3|Ci4|2=22+3X22-3X

法二由已知，建立如图所示的平面直角坐标系，则0(0,0),A(2,0),

—»—»

B(0,2),设P(x,y),因为BP=2PA,所以.设尸4所以(x,y-2)=

4

-

3

242

-升讥a

3--

所

以/33\⑵O\+

2(2-x,-y),-XI7!・7

42

(33).(0,2)=4.故选D.

y

2.已知平面向量@=(1,-3平6=(4,-2),若人。f与b垂直，则实数

入二(D)

A.-lB.1C.-2D.2

解析：由已知得入a-b=(入-4,-3入+2),因为人bb与b垂直，所以

(入a-b)・b-0,Bp(A,-4,-3入+2)・(4,-2)=0,所以4人-16+6入-4=0,

解得人=2.故选D.

3.已知向量a与b的夹角为&且|a|二l"2a-bl45,则曲|=(C)

A小B/

血

C.1D.2-

解析：12a-b12=(2a-b)2=41a12-41a||b|•cos<a,b>+1b12=4-2b|+|b|2

二3,解得|b|=l.故选C.

4.(多选题)在日常生活中,我们经常会看到两个人共提一个行李包的

情况.假设行李包所受重力为G,作用在行李包上的两个拉力分别为

件,F%且|%|二旧|,艮与F2的夹角为6.给出以下结论,其中正确的是

(AD)

A.H越大越费力，。越小越省力

B.0的取值范围为[0,n]

.

C.当。立时，|Fj=|G|

D.当（=1■时，|Fj=|G|

解析：对于A,因为|G|=E+F2|为定值，所以|G|2=|FF+E|2+2|F.|

|G|2

IF21cos0=2Fi|2•（1+cos0）,解得E|Jzd+ca闻.由题意知0e

[0,n）时,y=cos。单调递减，所以IFF单调递增，即o越大越费力，

。越小越省力,A正确;对于B,由题意知，0的取值范围是[0,兀），故8

■|G|2V2

错误;对于C当9=2时,IF仔〒，所以|FJ二Z|G|,故C错误;对于D,

2a

当时，|FJ2=|G|2,所以|F-:|G|,故D正确.故选AD.

.

5.若eb。2是夹角为§的两个单位向量,而a=2ei+e2,b=-3e+2e2,则向量

a和b的夹角为（C）

・■

A.%B,3

2B5a

C.5D.W

■i

解析：因为|c』二l,16|=1,<C1,&2>二4所以。1・C2工，因为a=2a+c2,b二

|5+4X^pj

-3ei+2e2,所以|a|二、=,

113+2X(-3)X2X^^

222

|b|=、=,a•b=-6|e1|+2|e2|+ei•C2,所以

IaIbIcos<a,b>=-61eI，21©21?+ei•。2,所以7Xcos<a,b>=-6+

171

2+2=-2所以cos<a,b>二巨因为<a,b>£[0,冗],所以向量a与b的夹

2a

角为？.故选C.

6.(多选题)(2021•湖南长沙高三模拟)设a,b,c是任意的非零平面

向量,且相互不共线，川下列选项中正确的是(BCD)

A.(a•b)c-(c•a)b=0

B.|a|-|b|<|a-b|

C.(b•c)a-(a•c)b与c垂直

D.(3a+2b)•(3a-2b)=9|a|-4|b|2

解析：由于b,c是不共线的向量，因此(a-b)c与(c-a)b相减的结果

应为向量，故A错误；由于a,b不共线，故a,b,a-b构成三角形，因此B

正确；由于[(b•c)a-(a•c)b]•c=(b•c)(a•c)-(c•a)(b•c)=0,

故C正确;根据向量数量积的运算可以得出D是正确的.故选BCD.

7.已知向量a=(2,-6),b=(3,m),若|a+b向|a-b|,则m=.

解析：法一因为a=⑵-6),b=(3,m),所以a+b=(5,m-6),a-b=

(-1,-m-6),由|a+b|=|a-b|得52+(m-6)2=(-1)2+(-m-6)2,解得m=l.

法二由|a+b|=|a-bI,两边平方得a・b=0,因为a=(2,-6),b=(3,m),

所以2义3+(-6)Xm=0,解得m=l.

答案：1

8,已知他与人。的夹角为90°,|加|二2,lACljAM^AB+uACc,

——A

u£R),且4*1-BC=0,则而值为.

解析:根据题意,建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0,0),B(0,2),

C(l,0),所以和(0,2),AC=(i,o)产=(「2).设M(x,y),则4M二

->T—>

(x,y),所以4M・"C=(x,y).(1,-2)=x-2y=0,所以x=2y.又匹人

—>—»

幽即(x,y)二入(0,2)+口(1,0)二(口，2人)，所以小口，尸2人，所

a、夏1

以叫:二功小.

答案；

9.在平面直角坐标系xOy中，点A(—l,-2),B(2,3),C(-2,-1).

⑴求以线段AB,AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；

—»—»—»

(2)设实数t满足(皿t℃).OC0)求t的值.

解：(1)由题设知趣=(3,5),AC=(-1,1),

则叫AC二⑵6),皿AJ(4,4),

所以|曲画=2理瓯画=4件

故所求的两条对角线的长分别为4理25

—>—>—>

⑵法一由题设知℃二(-2,-1),血t℃二(3+2t,5+t).

由(AB-tOC)・遑0,得

(3+2t,5+t)・(-2,-1)=0,

从而5t=-ll,

11

所以t=-5.

2

法二AB.OCtOC

ABOC

B级综合运用练

—»—»—

10.已知0是aABC内部一点，且满足°4°4也0,又帅.AC二2V3,

NBAO60。，则AOBC的面积为（C）

血

A.万B.3

C.1D.2

解析：由45・AC=2“3,NBAC=60°,可得A®・AC=|AB||AC

cosZBAO2IABIIAC1=2^,所以1ABiIAC1=46,所以

C1TT

△A吟HQsinNBAC=3,又反+吗%。,所以0为ZkABC的重

心,所以砒二].故选c.

11.在四边形ABCD中，己知M是AB边上的点，且MA=MB=MC=\fD=l,

ZCMD=120°,若点N在线段CD(端点C,D除外)上运动,则鹿4-稗的

取值范围是(B)

3

A.[-1,0)B.[-40)

1

C.[-1,1)D.[-21)

—»—>—>—»—»—

解析：连接MN（图略）.由题意得M*•超二（桃-四）・（MB-二

22

tmMA=MH|2-1,在ZiMCN中，MC=1,ZMCN=30°,所以MN2=

V3^5V33

P+NC-2・NC-1XT=NC-NC+1,所以MN2-1=NC2-^IC=(NC-T)2-4.

由MC=MD=1,ZCMD=120°,可得CD*又点N由线段CD(端点C,D除

外）上运动，所以0<%<立，

3->->3

所以-彳WMN2-K0,即Mi・幅的取值范围是［_40）.故选B.

12.如图，在四边形ABCD中，ZB=60°,AB=3,BC=6,且包=

TT-*3

入BC,AZJ.AB=_i则实数入的值为，若乂,N是线段BC上的

TTT

动点，且则DM・"N的最小值为.

解析：依题意得AD//BC,ZBAD=120°,由愈・^=\加||AB|

3-»3->1

cosZBAD=-21|=-2,得|的|=1,因此%=l®cl=i取MN的中点E,连接

DE（图略），则0叫。电2。底,OM.D2U=4［（DM2_2j=

->IT2T1

DE2NM

i二D*2二,注意到线段MN在线段BC上运动时'DE的最小值

3g-*21

等于点D到直线BC的距离，即AB-sinB二三,因此此二的最小值为

3^113->-»13

（三）2-1万,即D乩DN的最小值为万.

113

答案：片万

13.已知|a|二4,|b|=3,(2a-3b)•(2a+b)=61.

(1)求a与b的夹角9;

⑵求|a+b|;

（3）若独位,B《b,求AABC的面积.

解：(1)因为(2a-3b)•(2a+b)=61,

所以41a12-4a,b-3|b|2=61.

又aI=4,|b|=3,

所以64-4a•b-27=61,所以a•b=-6,

a*b-61

所以COSo=l«l|h|=4x3=-2

2s

又owow九所以oR

(2)|a+b|2=(a+b)2

=|a12+2a•b+1b|2

=42+2X(-6)+3J13,所以|a+b|二E.

—>—>2B

(3)因为他与此的夹角9a

2a«

所以NABC=

—»—»

又1ABi=|a|=4,严|=出|=3,

所以J^X4X3X

返返

14.在平面直角坐标系xOy中，已知向量m=(2,-2),n=(sinx,

.

COSX),XE(0,2).

(1)若田_Ln,求tanx的值;

(2)若m与n的夹角为3,求x的值.

解：(1)因为m=(2,-2),n=(sinx,cosx),

m±n,

返返

所以m•n=0,BP2sinx-2cosx=0,

所以sinx=cosx,所以tanx=1.

■1

(2)因为|m|二|n|二l,所以m•n=cos卫2,

BP2sinx-2cosx=2,

«1

所以sin(x-*)=2,

・■■・

因为o<x&,所以

■・5a

所以X*=6即X=五

C级应用创新练

TT

15.在AABC中，AB-5,ACTO,M-4c~25,点P是Z\ABC内（包括边界）

T3T2T—>

的一动点，且和M健工人AC（入£R）,则1Api的最大值是（B）

3Va

V37

A.WB.

炳)

L/•

解析：法一在AABC中，AB=5,AOIO,二25,所以5X10・

cosA=25,cosA=2,又A£(0,n),

■ISZ+I^-ZXSXIOX-月

所以A=3,BO、2=5V,因为AB2+BC2=AC2,所以

B=2.以A为坐标原点,AB所在的直线为x轴,建立如图所示的平面直

角坐标系，

则A(0,0),B(5,0),C(5,5吗，设点P的坐标为(x,y),0WxW5,OWy

->32-♦

因为APv用导人AC

??V3</3

所以(x,y)=S⑸0)-5入(5,5VJ)=(3-2X,-2VJX),

（x=3—2X,

所以ly=-2®所以丫二/（x—3）,直线BC的方程为x=5,

AP最大，为

，”2病2烟.故选B.

■・3

法二同解法一求得A-3,B旦在边AB上取点M,使AMMAB=3,过M作

MN〃AC交BC于点N,由平行四边形法则，得点P在线段MN上，故当点

P与N重合时，画最大,此时BN二2修故|向二办+(2两2二例

故选B.

16.已知平面单位向量Ci,色满足IZeflW2.设&=&+孰,b=3&+e2,向

量a,b的夹角为()，则cos20的最小值是.

解析：法一因为平面单位向量eL满足|2e「ez|W衣，所以

3

2

|2e-e2|=5-4ei•e2^2,B|Jei•e2^*.

因为a=e1+e2,b=3ei+e2,a,b的夹角为。,

(a•b)2[(er，)•产

所以COS20=|a|2|b|2=1©1+*2俨*|3e>+«2l2=

W—1•”)2letC2

(2+2»i•«2)•痴二XScj,气

34+4i

2

不妨设t=ei•e2,则t>,cos0

4+4i3

又y二豆不在[4+oo)上单调递增，

所以cos?。2思二再

28

所以COS?。的最小值为政

法二由题意，不妨设e1=(l,0),e2=(cosx,sinx).

因为2eie21<

所以J(2-cosx)2+sin2Xw近

得5-4cosxW2,

3

即cosxA.

易知a=(l+cosx,sinx),b=(3+cosx,sinx),

所以a•b=(l+cosx)(3+cosx)+sin2x=4+4cosx,

|a|2=(l+cosx)2+sin2x=2+2cosx,

b12=(3+cosx)2+sin2x=10+6cosx,

(a•b)2

所以cos2e二面可晒

(44-4cosx)24-M<xwx

(2+Zcosz)(10+6a»x)=5+3cosx.

3

不妨设m=cosx,则m2,cos?9=

3

又y=5+3m在［彳,+8）上单调递增,

所以COS20

28

所以COS20的最小值为西

2S

答案商

第4节余弦定理和正弦定理及其应用

灵活寺友方致提他

课时作业

二选题明细表

知识点、方法基础巩综合运用练应用创新练

固练

利用正弦、余弦定理解三角形1,3,4

与面积有关的解三角形问题2,7,8

解三角形的实际应用5,91016

综合611,12,13,1415

A级基础巩固练

1.(2021•安徽安庆模拟)若AABC的内角A,B,C所对的边分别为

a

a,b,c,已知bsin2A=asinB,且c=2b,则［等于(D)

34

A.2B.3

C/D小

解析：由bsin2A=asinB,

i

得2sinBsinAcosA=sinAsinB,得cosA=2

又c=2b,由余弦定理得

1

a2=b2+c2_2bccosA=b2+4b2-4b2-2=3b；

得k6故选D.

2.(2021•河北唐山模拟)在AABC中，内角A,B,C的对边分别为

a,b,c,a=2,b=3,c=4,设AB边上的高为h,则h等于(D)

VBVii3VT33VB

A.WB.»CD.k

子％2_『H16-4217

解析：由余弦定理,得COS1\=2bc=2x3x4=24=5,则sin

VB3竹

,Vl-cos2A

A=:=8,则h=ACsinA=bsinA=3X8=8.故选

D.

3.（多选题）在AABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若

a=l,b=6,A=30°,则B等于（BC）

A.30°B.45°C.135°D.150°

ab8c；V2/=

解析:根据正弦定理的14二由iB得,sinB=«=i=T,由于b->l=a,

所以B=45°或135°.故选BC.

4.（2019•全国I卷）AABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知

1b

asinA-bsinB=4csinC,cosA=一4,则■等于（A）

A.6B.5C.4D.3

解析：因为asinA-bsinB=4csinC,所以由正弦定理得a2-b2=4c2,即

b2——c2―—2-（4-40-3c21i

a'dc'bl由余弦定理得COSA=2bc=2bc=2bc二一4,所以=6.

故选A.

5.（多选题）某人向正东走了Xkm后向右转了150。，然后沿新方向走

3km,结果离出发点恰好6k叫那么x的值是（AB）

A.6B.2百

C.3D.6

解析：如图，AB=x,BC二3,AC二百，NABC二30°.

由余弦定理得3=x?+9-2X3•x•cos30c.

解得x=2后或xW故选AB.

6.（多选题）对于aABC,有如下判断，其中正确的是（ABD）

A.若cosA二cosB,则4ABC为等腰三角形

.

B.若4ABC为锐角三角形，有A+B>2则sinA>cosB

C.若a=8,c=10,B=60°,则符合条件的AABC有两个

D.若sin2A+sin2B<sin-C,则4ABC是钝角三角形

解析:对于A,若cosA二cosB,则A=B,所以△ABC为等腰三角形，故

正确；

■■■

对于B,若A+B>2,则5>A>5-BM）,所以sinA>cosB,故正确；

/s2+102—2x8x10x2砌

对于C,由余弦定理可得b=N2=V,只有-解,

故错误；

对于D,若sin2A+siYB<sin2C,则根据正弦定理得a2+b2<c2,cos

所以C为钝角，所以AABC是钝集三角形，故正确.故选

ABD.

7.在aABC中，060°,且嫉四=2,则△ABC的面积S的最大值

为.

解析：由060°及直二育二2,可得c=*.

由余弦定理得3=b?+a"ab2ab（当且仅当a二b时,取等号），

13遮3g

所以S=3a