2025年湘教版高一数学上册阶段测试试卷

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年湘教版高一数学上册阶段测试试卷967考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共9题，共18分)1、等差数列的相邻4项依次是a+1，a+3，7，a+b，则a，b的值分别是（）

A.0；5

B.1；6

C.2；7

D.无法确定。

2、若集合A={x|y=log2（2x-1）}，则A∩B=（）

A.

B.

C.

D.{y|0＜y＜1或y＞1}

3、规定记号“△”表示一种运算，即a△b=+a+b，记f（x）=（sin2x）△（cos2x）．若函数f（x）在x=x处取到最大值，则f（x）+f（2x）+f（3x）的值等于（）

A.6+

B.6-

C.6

D.3

4、方程的两根都大于2,则m的取值范围是()A.B.C.D.5、【题文】若集合则（）A.B.或C.D.6、【题文】集合则（）A.B.C.D.7、【题文】直线在轴上的截距为()

8、【题文】符号[x]表示不超过x的最大整数,如[-1.1]=-2；定义函数{x}=x-[x]，给出下列四个。

命题:①函数{x}的定义域是R，值域为[0,1];②方程有无数解；③函数{x}是周期函数;④函数{x}是增函数.其中正确的命题序号有（）A.②③B.①④C.③④D.②④9、已知各项不为0

的等差数列{an}

满足a4鈭�2a72+3a8=0

数列{bn}

是等比数列，且b7=a7

则b3b7b11

等于(

)

A.1

B.2

C.4

D.8

评卷人得分二、填空题(共6题，共12分)10、已知a+a-1=3，则a2+a-2=____．11、集合{y∈N|y=-x2+6，x∈N}的非空真子集的个数为____．12、函数的单调递增区间为____．13、数列｛｝中，且是正整数)，则数列的通项公式14、【题文】函数的单调递增区间为____。15、log93+(827)鈭�13=

______．评卷人得分三、证明题(共8题，共16分)16、如图；已知AB是⊙O的直径，P是AB延长线上一点，PC切⊙O于C，AD⊥PC于D，CE⊥AB于E，求证：

（1）AD=AE

（2）PC•CE=PA•BE．17、初中我们学过了正弦余弦的定义，例如sin30°=，同时也知道，sin（30°+30°）=sin60°≠sin30°+sin30°；根据如图，设计一种方案，解决问题：

已知在任意的三角形ABC中，AD⊥BC，∠BAD=α，∠CAD=β，设AB=c，AC=b；BC=a

（1）用b；c及α，β表示三角形ABC的面积S；

（2）sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ．18、求证：（1）周长为21的平行四边形能够被半径为的圆面所覆盖．

（2）桌面上放有一丝线做成的线圈，它的周长是2l，不管线圈形状如何，都可以被个半径为的圆纸片所覆盖．19、如图；过圆O外一点D作圆O的割线DBA，DE与圆O切于点E，交AO的延长线于F，AF交圆O于C，且AD⊥DE．

（1）求证：E为的中点；

（2）若CF=3，DE•EF=，求EF的长．20、如图，设△ABC是直角三角形，点D在斜边BC上，BD=4DC．已知圆过点C且与AC相交于F，与AB相切于AB的中点G．求证：AD⊥BF．21、如图；在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，E为AD的中点，DF⊥BE，垂足为F，CF交AD于点G．

求证：（1）∠CFD=∠CAD；

（2）EG＜EF．22、已知D是锐角△ABC外接圆劣弧的中点；弦AD与边BC相交于点E，而且AB：AC=2：1，AB：EC=3：1．求：

（1）EC：CB的值；

（2）cosC的值；

（3）tan的值．23、如图，已知：D、E分别为△ABC的AB、AC边上的点，DE∥BC，BE与CD交于点O，直线AO与BC边交于M，与DE交于N，求证：BM=MC．评卷人得分四、解答题(共1题，共9分)24、【题文】已知

求证并求使等号成立的条件．评卷人得分五、计算题(共4题，共12分)25、已知扇形的圆心角为150°，半径为2cm，扇形的面积是____cm2．26、如图，AB是⊙O的直径，过圆上一点D作⊙O的切线DE，与过点A的直线垂直于E，弦BD的延长线与直线AE交于C点．

（1）求证：点D为BC的中点；

（2）设直线EA与⊙O的另一交点为F，求证：CA2-AF2=4CE•EA；

（3）若弧AD=弧DB，⊙O的半径为r．求由线段DE，AE和弧AD所围成的阴影部分的面积．27、如图，直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=15，AE为过点A的直线，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，CE=9，则DE=____．28、已知B=（﹣∞，a），若A∩B=A，求实数a的取值范围．评卷人得分六、综合题(共3题，共21分)29、已知二次函数f（x）=ax2+bx+c和一次函数g（x）=-bx，其中实数a、b、c满足a＞b＞c，a+b+c=0．

（1）求证：两函数的图象相交于不同的两点A；B；

（2）求线段AB在x轴上的射影A1B1长的取值范围．30、已知直线l1：x-y+2=0；l2：x+y-4=0，两条直线的交点为A，点B在l1上，点C在l2上，且，当B，C变化时，求过A，B，C三点的动圆形成的区域的面积大小为____．31、（2011•青浦区二模）如图，已知边长为3的等边三角形ABC纸片，点E在AC边上，点F在AB边上，沿着EF折叠，使点A落在BC边上的点D的位置，且ED⊥BC，则CE的长是____．参考答案一、选择题(共9题，共18分)1、C【分析】

由题意，等差数列的相邻4项依次是a+1，a+3，7，a+b；

则解得

故选C．

【解析】【答案】由等差中项的性质列出方程组，求出a和b的值．

2、C【分析】

集合A={x|y=log2（2x-1）}={x|2x-1＞0}={x|x＞}=（+∞），

集合B={y|y=2，x∈R}={y|y＞0且y≠1}=（0，1）∪（1，+∞），

故集合A∩B=（+∞）∩[（0，1）∪（1，+∞）]={}，

故选C．

【解析】【答案】根据对数函数的定义域求出集合A；再根据指数函数的值域求出集合B，再利用两个集合的交集的定义求出A∩B．

3、A【分析】

∵a△b=+a+b

∴f（x）=（sin2x）△（cos2x）==2sin（2x+）+1

∵函数f（x）在x=x处取到最大值。

即x=k∈z

∴f（x）+f（2x）+f（3x）=2sin（2kπ）+2sin（4kπ+）++2sin（6kπ+）+3=2sin（）+2sin（）+2sin（）+3=6+

故选A

【解析】【答案】本题根据记号“△”表示一种运算的定义，得到f（x）=（sin2x）△（cos2x）==2sin（2x+）+1，在根据三角函数最值的知识得到x；最后代入函数计算即可．

4、C【分析】因为方程的两根都大于2,那么则解得m的取值范围【解析】【答案】C5、C【分析】【解析】

试题分析：因为

所以选

考点：集合的运算,简单不等式的解法.【解析】【答案】C6、C【分析】【解析】解：因为M={x|x>1},选C【解析】【答案】C7、B【分析】【解析】本题考查直线在坐标轴上截距的概念.

直线与x轴交点的横坐标叫做直线在x轴上的截距；直线与y轴交点的纵坐标叫做直线在y轴上的截距.

由直线令得则直线在轴上的截距为故选B【解析】【答案】B8、A【分析】【解析】略【解析】【答案】A9、D【分析】解：等差数列{an}

中；

隆脽a4+3a8=(a4+a8)+2a8=2a6+2a8=4a7

a4鈭�2a72+3a8=0

隆脿4a7鈭�2a72=0

且a7鈮�0

隆脿a7=2

又b7=a7=2

故等比数列{bn}

中，b3b7b11=b73=8

．

故选：D

．

利用等差数列通项公式求出a7=2

由此得到b7=a7=2

再利用等比数列通项公式的性质能求出结果．

本题考查等比数列中三项乘积的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列、等比数列的性质的合理运用．【解析】D

二、填空题(共6题，共12分)10、略

【分析】

由题意可得：a+a-1=3；

所以对其平方可得：a2+a-2+2=9；

所以a2+a-2=7．

故答案为7．

【解析】【答案】由题意可得：a+a-1=3，所以对其平方可得：a2+a-2+2=9；进而得到答案．

11、略

【分析】

由集合{y∈N|y=-x2+6；x∈N}

当x分别取0；1，2时，y的值分别为6，5，2；

所以给定的集合为{6；5，2}；

其非空真子集为{6}；{5}，{2}，{6，5}，{5，2}，{6，2}共6个．

故答案为6．

【解析】【答案】分别找出适合条件的变量x；求出相应的y值，则集合的元素可求，从而求出集合的非空真子集．

12、略

【分析】

函数的定义域为x∈[-1；1]

g（x）=1-x2的增区间[-1；0]

而f（x）=2g（x）在R上单调递增。

∴g（x）=1-x2在x∈[-1，1]的增区间就是的单调递增区间．

∴函数的单调递增区间为[-1；0]

故答案为：[-1；0]

【解析】【答案】先求函数的定义域，然后在定义域内求函数g（x）=1-x2的增区间，就是函数的单调递增区间．

13、略

【分析】试题分析：由题意，得，由此可推出数列的通项公式．考点：数列的通项公式．【解析】【答案】14、略

【分析】【解析】易求函数的定义域为函数是由复合而成，且函数在定义域上为增函数，故要求函数的增区间只需求函数在定义域上的增区间即可，而函数在定义域上的增区间为故函数的单调递增区间为【解析】【答案】15、略

【分析】解：原式=12+(32)鈭�3隆脕(鈭�13)

=12+32

=2

．

故答案为：2

．

利用指数与对数的运算法则即可得出．

本题考查了指数与对数的运算法则，属于基础题．【解析】2

三、证明题(共8题，共16分)16、略

【分析】【分析】（1）连AC；BC；OC，如图，根据切线的性质得到OC⊥PD，而AD⊥PC，则OC∥PD，得∠ACO=∠CAD，则∠DAC=∠CAO，根据三角形相似的判定易证得Rt△ACE≌Rt△ACD；

即可得到结论；

（2）根据三角形相似的判定易证Rt△PCE∽Rt△PAD，Rt△EBC∽Rt△DCA，得到PC：PA=CE：AD，BE：CE=CD：AD，而CD=CE，即可得到结论．【解析】【解答】证明：（1）连AC、BC，OC，如图，

∵PC是⊙O的切线；

∴OC⊥PD；

而AD⊥PC；

∴OC∥PD；

∴∠ACO=∠CAD；

而∠ACO=∠OAC；

∴∠DAC=∠CAO；

又∵CE⊥AB；

∴∠AEC=90°；

∴Rt△ACE≌Rt△ACD；

∴CD=CE；AD=AE；

（2）在Rt△PCE和Rt△PAD中；∠CPE=∠APD；

∴Rt△PCE∽Rt△PAD；

∴PC：PA=CE：AD；

又∵AB为⊙O的直径；

∴∠ACB=90°；

而∠DAC=∠CAO；

∴Rt△EBC∽Rt△DCA；

∴BE：CE=CD：AD；

而CD=CE；

∴BE：CE=CE：AD；

∴BE：CE=PC：PA；

∴PC•CE=PA•BE．17、略

【分析】【分析】（1）过点C作CE⊥AB于点E；根据正弦的定义可以表示出CE的长度，然后利用三角形的面积公式列式即可得解；

（2）根据S△ABC=S△ABD+S△ACD列式，然后根据正弦与余弦的定义分别把BD、AD、CD，AB，AC转化为三角形函数，代入整理即可得解．【解析】【解答】解：（1）过点C作CE⊥AB于点E；

则CE=AC•sin（α+β）=bsin（α+β）；

∴S=AB•CE=c•bsin（α+β）=bcsin（α+β）；

即S=bcsin（α+β）；

（2）根据题意，S△ABC=S△ABD+S△ACD；

∵AD⊥BC；

∴AB•ACsin（α+β）=BD•AD+CD•AD；

∴sin（α+β）=；

=+；

=sinαcosβ+cosαsinβ．18、略

【分析】【分析】（1）关键在于圆心位置；考虑到平行四边形是中心对称图形，可让覆盖圆圆心与平行四边形对角线交点叠合．

（2）“曲“化“直“．对比（1），应取均分线圈的二点连线段中点作为覆盖圆圆心．【解析】【解答】

证明：（1）如图1；设ABCD的周长为2l，BD≤AC，AC；BD交于O，P为周界上任意一点，不妨设在AB上；

则∠1≤∠2≤∠3，有OP≤OA．又AC＜AB+BC=l，故OA＜．

因此周长为2l的平行四边形ABCD可被以O为圆心；半径为的圆所覆盖；命题得证．

（2）如图2，在线圈上分别取点R，Q，使R、Q将线圈分成等长两段，每段各长l．又设RQ中点为G，M为线圈上任意一点，连MR、MQ，则GM≤（MR+MQ）≤（MmR+MnQ）=

因此，以G为圆心，长为半径的圆纸片可以覆盖住整个线圈．19、略

【分析】【分析】要证E为中点，可证∠EAD=∠OEA，利用辅助线OE可以证明，求EF的长需要借助相似，得出比例式，之间的关系可以求出．【解析】【解答】（1）证明：连接OE

OA=OE=＞∠OAE=∠OEA

DE切圆O于E=＞OE⊥DE

AD⊥DE=＞∠EAD+∠AED=90°

=＞∠EAD=∠OEA

⇒OE∥AD

=＞E为的中点．

（2）解：连CE；则∠AEC=90°，设圆O的半径为x

∠ACE=∠AED=＞Rt△ADE∽Rt△AEC=＞

DE切圆O于E=＞△FCE∽△FEA

∴，

∴

即DE•EF=AD•CF

DE•EF=；CF=3

∴AD=

OE∥AD=＞=＞=＞8x2+7x-15=0

∴x1=1，x2=-（舍去）

∴EF2=FC•FA=3x（3+2）=15

∴EF=20、略

【分析】【分析】作DE⊥AC于E，由切割线定理：AG2=AF•AC，可证明△BAF∽△AED，则∠ABF+∠DAB=90°，从而得出AD⊥BF．【解析】【解答】证明：作DE⊥AC于E；

则AC=AE；AB=5DE；

又∵G是AB的中点；

∴AG=ED．

∴ED2=AF•AE；

∴5ED2=AF•AE；

∴AB•ED=AF•AE；

∴=；

∴△BAF∽△AED；

∴∠ABF=∠EAD；

而∠EAD+∠DAB=90°；

∴∠ABF+∠DAB=90°；

即AD⊥BF．21、略

【分析】【分析】（1）连接AF，并延长交BC于N，根据相似三角形的判定定理证△BDF∽△DEF，推出，=；再证△CDF∽△AEF，推出∠CFD=∠AFE，证出A；F、D、C四点共圆即可；

（2）根据已知推出∠EFG=∠ABD，证F、N、D、G四点共圆，推出∠EGF=∠AND，根据三角形的外角性质推出∠EGF＞∠EFG即可．【解析】【解答】（1）证明：连接AF，并延长交BC于N，

∵AD⊥BC；DF⊥BE；

∴∠DFE=∠ADB；

∴∠BDF=∠DEF；

∵BD=DC；DE=AE；

∵∠BDF=∠DEF；∠EFD=∠BFD=90°；

∴△BDF∽△DEF；

∴=；

则=；

∵∠AEF=∠CDF；

∴△CDF∽△AEF；

∴∠CFD=∠AFE；

∴∠CFD+∠AEF=90°；

∴∠AFE+∠CFE=90°；

∴∠ADC=∠AFC=90°；

∴A；F、D、C四点共圆；

∴∠CFD=∠CAD．

（2）证明：∵∠BAD+∠ABD=90°；∠CFD+∠EFG=∠EFD=90°，∠CFD=∠CAD=∠BAD；

∴∠EFG=∠ABD；

∵CF⊥AD；AD⊥BC；

∴F；N、D、G四点共圆；

∴∠EGF=∠AND；

∵∠AND＞∠ABD；∠EFG=∠ABD；

∴∠EGF＞∠EFG；

∴DG＜EF．22、略

【分析】【分析】（1）求出∠BAD=∠CAD，根据角平分线性质推出=；代入求出即可；

（2）作BF⊥AC于F；求出AB=BC，根据等腰三角形性质求出AF=CF，根据三角函数的定义求出即可；

（3）BF过圆心O，作OM⊥BC于M，求出BF，根据锐角三角函数的定义求出即可．【解析】【解答】解：（1）∵弧BD=弧DC；

∴∠BAD=∠CAD；

∴；

∴．

答：EC：CB的值是．

（2）作BF⊥AC于F；

∵=，=；

∴BA=BC；

∴F为AC中点；

∴cosC==．

答：cosC的值是．

（3）BF过圆心O；作OM⊥BC于M；

由勾股定理得：BF==CF；

∴tan．

答：tan的值是．23、略

【分析】【分析】延长AM，过点B作CD的平行线与AM的延长线交于点F，再连接CF．根据平行线分线段成比例的性质和逆定理可得CF∥BE，根据平行四边形的判定和性质即可得证．【解析】【解答】证明：延长AM；过点B作CD的平行线与AM的延长线交于点F，再连接CF．

又∵DE∥BC；

∴；

∴CF∥BE；

从而四边形OBFC为平行四边形；

所以BM=MC．四、解答题(共1题，共9分)24、略

【分析】【解析】设四边形是正方形，．

设为正方形内一点，坐标为如图，则．

即．

当且仅当且时，等号成立，此时点既在上，又在上，因此，点是与的交点，即点是正方形的中点，则有时；所证明的不等式取等号．

。【解析】【答案】证明吉安答案五、计算题(共4题，共12分)25、略

【分析】【分析】根据扇形的面积=，直接进行计算即可解答．【解析】【解答】解：根据扇形的面积公式；得

S扇==π（cm2）．

故答案为．26、略

【分析】【分析】（1）连接OD；ED为⊙O切线；由切线的性质知：OD⊥DE；根据垂直于同一直线的两条直线平行知：OD∥AC；由于O为AB中点，则点D为BC中点．

（2）连接BF；AB为⊙O直径，根据直径对的圆周角是直角知，∠CFB=∠CED=90°，根据垂直于同一直线的两条直线平行知

ED∥BF由平行线的性质知，由于点D为BC中点，则点E为CF中点，所以CA2-AF2=（CA-AF）（CA+AF）=（CE+AE-EF+AE）•CF=2AE•CF；将CF=2CE代入即可得出所求的结论．

（3）由于则弧AD是半圆ADB的三分之一，有∠AOD=180°÷3=60°；连接DA，可知等腰三角形△OAD为等边三角形，则有OD=AD=r；在Rt△DEA中，由弦切角定理知：∠EDA=∠B=30°，可求得EA=r，ED=r，则有S阴影=S梯形AODE-S扇形AOD，从而可求得阴影部分的面积．【解析】【解答】（1）证明：连接OD；

∵ED为⊙O切线；∴OD⊥DE；

∵DE⊥AC；∴OD∥AC；

∵O为AB中点；

∴D为BC中点；

（2）证明：连接BF；

∵AB为⊙O直径；

∴∠CFB=∠CED=90°；

∴ED∥BF；

∵D为BC中点；

∴E为CF中点；

∴CA2-AF2=（CA-AF）（CA+AF）

=（CE+AE-EF+AE）•CF=2AE•CF；

∴CA2-AF2=4CE•AE；

（3）解：∵，

∴∠AOD=60°；

连接DA；可知△OAD为等边三角形；

∴OD=AD=r；

在Rt△DEA中；∠EDA=30°；

∴EA=r，ED=r；

∴S阴影=S梯形AODE-S扇形AOD=

=．27、略

【分析】【分析】要求DE，求AE，AD即可：求证△ABD≌△ACE，即可得AD=CE，直角△AEC中根据AE=得AE，根据DE=AE-AD即可解题．【解析】【解答】解：在直角△AEC中；∠AEC=90°；

AC=15，CE=9，则AE==12；

∵∠BAD+∠CAD=