高考数学一轮复习：08 不等式中的最值与参数特色训练

八、不等式中的最值与参数

一、选择题

1.【河南省天一大联考高三上10月测试】已知m,〃w(0,+oo),若m=：+2,则〃的最小

值是()

A.4B.6C.8D.10

【答案】C

[解析】因为m=—+2,化简可存mn=m+2n>2y]2mn,故>Smn,即加〃之8,

当且仅当机=2〃=4是等号成立，即用九的最小值是8,故选C.

2.【浙江省“七彩阳光”联盟高二上期初联考】若加I2n=20(m,n>0),贝Hgw(lgmIlg2)

的最大值是()

A.1B.V2C.D.2

【答案】A

【解析】+32)=电掰电2"《(胞=3(72麓),又由

加+2〃=20A2^嬴，所以胆篦工50,从而lg»(lg麓+】g2)Wl,当且仅当掰=10,〃=5时取最大值.所

以选A.

3.【辽宁省庄河市高级中学、沈阳市第二十中学高三上第一次联考】己.知a>b>0,则a+白+

a+b

々的最小值为()

a-b

A.乎B.4C.2V3D.3V2

【答案】D

【解析】因a=：[(a+b)+(a-b)],故a+捻+±=：(a+b)+提+：(a-b)+3,又因

为：(a+b)+N2vx[(a-b)+N26=遮，所以a+N3e,当且仅当

即卜一"+7)取等号，应选答案D.

(a-b=V2lb=1(2-V2)

x>0

4.【浙江卷】若x,y满足约束条件｛x+y・320，贝Uz=x+2y的取值范围是

x-2y<0

A.[0,6]B.[0,4]C.[6,+oo）D.[4,+oo）

【答案】D

\>0

,x+y-3>0

【解析】解：x、y满足约束条件|x-2y<0,表示的可行域如图：

目标函数V/2y经过C点时，函数取得最小值）

\+y-3=0

由[x-2y=°解得。（2,1）,

目标函数的最小值为：4

目标函数的范围是[£400）.

故选：D.

5.【河南省林州市第一中学高三8月调研】已知正项等比数列｛为｝的前〃项和为S〃，且

S8-2S4=5,则佝+4o+41+42的最小值为（）

A.10B.15C.20D.25

【答案】C

【解析】由题意可得：出+4o+4l+%2=S]2-工，由Sg—2S4=5可得Sg-S4=S4+5,

由等比数列的性质可得：成等比数歹

S4,S8-54,SI2-58|J,

则：S《（S口一品）=（昂一§4口综上可得:

%+/+%+%=吊2-项二S+—+10>2^x—4-10=20,

=(4S&VS4

当且仅当S4=5时等号成立.

综上可得,则%+.+%1+q2的最小值为20.

本题选择C选项.

6.【湖南省邵阳市洞口一中、隆回一中、武冈二中高三上第二次月考】已知实数x,y满.足条件

x+2y>2

2x+y<2,则（的最小值为

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【解析】

由卷=八（工）；由产：？；2nB（0,2）；由「黄；？"（0,2）；由约束条件

I4入Ty-4nn'X—U'X—U

做出（x,y）的可行域如图所示，?的值为可行域中的点与原点0的连线的斜率，观察图形可知

OA的斜率最小，所以修）=1.故选A.

x>0

7.【20L8届安徽省屯溪第一中学高三第二次月考】设点P（x,y）.在不等式组2x-y<0表示

x+y-3<0

的平面区域上，则z=x2+y2-2x+1的最小值为（）

A.1.B.-C.4D.-

55

【答案】D

11=：-设卜=法示可行域中的点与点（0,0）连线的斜率,

由图知kE&2］,

.,•利用函数U=k—：单调递熠可得口的取值范围为［-泉；］.

本题选择D选项.

10.【云南省师范大学附属中学高三月考一】若直线OT+如一2=0（〃>0,力>0）始终平分

圆Y+y?—2x—2y=2的周长，则二一+丁的最.小值为（）

2ab

3-2>/23-25/23+2夜3+2加

-------------B.---C.---D.——-——

【答案】D

【解析】直线平分圆周，则直线过圆心（U）,所以有

3+2立

4

（当且仅当b=缶时取“二”），故选D.

x+2y-5>0,

11.【黑龙江省海林市朝鲜中学高三综合卷一】已知实数x，y满足｛x—3y+520,若目

kx-y-5k<^

标函数4=3x+y的最小值的7倍与Z2=x+7y的最大值相等，则实数上的值为（）

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】D

【解析】因为a=3尤+7过点（L2）时取得最小值为5,联立方程组:

x+7y=35x=7

解得｛，代入上=0,计算出上=2,选D.

x-3y+5=0y=4

x-2y>-2

12.【浙江省“七彩阳光”联盟高三上期初联考】已知变量满足约束条件｛x-y<0

x>-4

若不等式2X-〉+m220恒成立，则实数机的取值范围为（)

A.[-B.

C.^—00,—>/6>/6,-FoojD.00,—\/7-Fooj

【答案】0

x-2y>-2

【解析】作出约束条件｛x-y<0所对应的可行域（如图中阴影部分），令z=-2x+y,

x>-4

当直线经过点A（-4,-l）时，z取得最大值，即4皿=一2义（-4）-1=7,所以

（-O0,-V7]u[V7,+oo）,故选D.

二、填空题

13.已知a+b>0,c>0,则(a+b+c)岛+?的最小值是—

【答案】4

【解析】由题意可得:

S+b+。岛+2)

=[(a+b)+c]岛+3

ca+b

=2H-----4-----

a+bc

Ica4-b

>2+2—rX——

Ja4-bc

=4

当且仅当±=世时等号成立.

a+bc

据此可得(a+b+c)+J的最小值是4.

14.【天津卷】若a,bwR,">0,则/+4/+1的最小值为

【答案】4

【解析】04+4：4+1..5+1二痴6+々心二:4,（前一个等号成立条件是出=M2,后

ababab\ab

一个等号成立的条件是,=两个等号可以同时取得，则当且仅当。2=4，"=’时取等号）.

224

15.【浙江省嘉兴市第一中学高三9月测试】当1WXW3时，|3a+2b|-|a-2b|<|a|-

（x+3+1）对任意实数a,b都成立，则实数的取值范围是________.

【答案】m2：

【解析】当a=0时，不等式显然成立；

当aHO时，|3+弓|一|1一同分+1+1

而出+当一卜一学工|（3+g）+（1-个）|=4,.,.X+?+1N4,即mN3x—x2

当1SXW3时，3x—X243x三一2=2,m>-

2444

故答案为：m>

4

16.已知数列｛%｝满足q=g,4+［二六］（〃€'”）,若不等式加“+：+120恒成立，

则实数t的取值范围是

【答案】[-9,+8)

【解析】由勺+1=—与得—=0=1+_1,则_1=2,|2是以2为首项，1为公差的等差数列,

。“+1。小144%UJ

114t4

—=2+(n-l)sl=n+l,代入%+:+1得-!-+二+120即

6k+1nw+1n

4

t^-n—5,由不等式得ft-9.

n

三、解答题

17.【辽宁省庄河市高级中学、沈阳市第二十中学高三上第一次联考】已知函数f(x)=|2x-1|+

|x-2|.

(1)求不等式f(x)N3的解集；

(2)若f(x)NA+；(m,n>0)对任意xCR恒成立，求m十n的最小值.

【答案】(1){x|xW0或XN2}(2)1

(-3x4-3(x<}

【解析】试题分析：(1)写出分段函数f(x)={x+lC〈xW2)，再分段讨论解不等式。(2)

(3x-3(x>2)

即求f(x)的最小值，由(1)中分段函数可知最小值为会即5+(3|，由于m,n>0,所以

m+nw|mn,再由重要不等式m+nE|mn工|(巴产)?，可解。

(-3x+3(x*)]

X

试题解析：⑴f(x)=jx+i(l<x<2)»­f(x)>3-2或行Vx$2或

k3x-3(x>2)X+'X+-

:&解得|x<0或x>2

f(x)>3的解集为{x|x<0或x>2}.

⑵由图知侬.=)4+三门鬻q

即m+nqmnq(掌当且仅当m=咄寸等号成立,

・・・mm>0,解得m+n之，当且仅当10=咄寸等号成立

故m+n的最小值为也

18.在AA3c中，角A、8、。的对边分别为。、b、c,且满足

Q

4cosC+cos2C=4cosCcos2一.

2

(1)求角C的大小；

(2)若CA—，C8=2,求AABC面积的最大值.

2

【答案】(1)C=—(2)25/3

3

【解析】试题分析：(1)利用二倍角公式对原等式化简可求得cosC的值，进而求得C.

(2)对原等式平方，利用向量的数量积的运算公式求得关于〃和b的关系式，进而利用基

本不等式求得的范围，进而求得三角形面枳的最大值.

试题解析：

Q

(1)由4cosC+cos2C=4cosCcos2—得

2

4cosC+2COS2C-1=2cosC(1+cosC)

解得cosC=1,

2

jr

由0vC<7T,所以C=—

3

(2)取BC中点D,贝R诬一;而=2=|DA

在AADC中,AD2=AC2+CD2-2ACCDcosC

(注：也可将CA—gcB=2=|DA]两边平方)

所以"K8,当且仅当。=4,人=2时取等号

此时SAABC=；〃bsinC=弓次？，其最大值为2道

19.【贵州省贵阳市普通高中高三8月摸底】已知函数f(x)=x+|x+2].

(D解不等式/(x)之6的解集M：

(2)记(1)中集合M中元素最小值为〃2,若a,bsR+,且〃+力=w，求+的最

小值.

【答案】(1)M={A|X>2}；(2)4.

【解析】试题分析：

⑴零点分段可得解不等式/(x)>6的解集M={小N2}；

(2)由题意结合均值不等式的结论即可证得题中的不等式，注意等号成立的条件.

试题解析：

(1)/(x)>6,即为x+|x+2|N6,

x<-2x>—2

或｛,即xN2

x-x-2>6x+x+2>6

M=｛木>2｝.

(2)由(1)知m=2,即。+8=2,且a,bwR+,

±453ba、53~"4.

—+—>-+-x2.

\2a2)\2b224ab24ab

当且仅当。=匕=1时,取得最小值4.

20.【安徽省亳州市二中高三下检测】已知〃>0/>0,函数/(%)=卜+4+|2工一百的最小

值为1.

(I)求证：2。+匕=2；

(II)若。+»之3人恒成立，求实数，的最大值.

9

【答案】(I)详见解析，(II)实数，的最大值为不.

2

【解析】试题分析：(D根据绝对值定义将函数/(%)化为分段函数形式，并求出最小值，再根据最小值为

1,得结论，⑵先利用变量分离，将不等式恒成立问题转化为对应函数最值问题：fW史学的最小值，

再利用1的代换及基本不等式求最值，即得实数f的最大值.

试题解析：(I)法一：f(x)=\x+a\+\2x-h\=\x+a\+x--\+\x--,

=a+。且b

V|x++>0,

A刎KM-22

A/(x)>a+^,当x=g时取等号，即f(x)的最小值为〃+g,

+-=1,2a+b=2.

2

一b

法—.：•—a<—>

2

-3x-a+byx<-a

/(x)=|x+a|+|2x-^|={-%+«+Z?,-a<x<^,

3x+a-b,x>—

2

显然“力在卜上单调递减，“X）在上单调递增,

d+—=1,2a+b=2.

2

（II）;。+»之〃乃恒成立,

a+2b

NE恒成立,

ab

+»=.+4会+为

-a-+-2-b=一1十—2=

abba,221ba)

,.2.。+2b-…9

当4=/>=;时，------取得最小值—,

3ab2

99

即实数r的最大值为大.

22

21.【浙江省台州市高三4月调研】已知数列｛aC满足：a>0a+-<2（neN*）.

n/n+1an

（1）求证：an+2<an+1<2（neN"）；

（2）求证：an>l（neN*）.

【答案】（1）见解析；（2）见解析.

【解析】试题分析：（1）根据册+,=2-2<2,证明右边，再根据基本不等式2>玉+2+士、2居，

证明不等式的左边；（2）利用反证法，设存在“N<1,利用条件和（1）逐步推得矛盾.

试题解析：（1）由an>O,an+1+工V2,

an

所以an+iV2—--<2,因为2>an+2——N2但工，

anan+lan+l

所以an+2Van+lV2.

（2）假设存.在aN<1（N>1,NGN*）,

由（1）可得当n>N时，an<aN+l<1,

根据an+i—1V1——=-n<0>而an<1>

anan

所以」■r>a?=l+」7.

an+i"lan-la^-l

于是」

aN+2-1^N+l-l

aN+n_13N+n-l-l

累加可得>一>n-l+(*)

aN+nT3N+1-1

由⑴可得铀+口-1<0,

而当n>一产7+1时，显然有n_l+1y>0,

aM+l-1dN+l-1

因此有屋—<n_l+/

这显然与(*)矛盾,所以%>l(nEN)

22.【浙江省台州市高三4月调研】已知函数f(x)=gx3+Tax2+bx(