高考数学一轮复习 第五章 平面向量与复数5

高考数学一轮复习第五章平面向量与复数

5.1平面向量的概念及线性运算

【考试要求】1.理解平面向量的意义、几何表示及向量相等的含义.2.掌握向量的加法、减法运

算，并理解其几何意义及向量共线的含义3了解向量线性运算的性质及其几何意义.

■落实主干知识

【知识梳理】

1.向量的有关概念

(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量,向量的大小叫做向量的长度(或模).

⑵零向量：长度为9的向量，记作0.

(3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量.

⑷平行向量：方向相同或相反的非零向量,也叫做共线向量，规定：零向量与任意向量平行.

(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量.

⑹相反向量：长度相等且方向指反的向量.

2.向量的线性运算

向量

法则(或几何意义)运算律

运算

力

a交换律：a+b=b+a；

加法三角形法则

结合律：(a+b)+c=a+e+c)

a

平行四边形法则

减法。一b=a+(-b)

几♦意义

R0|=胴,当A>0时，〃的方向与a的方向

如a)=(2"ia；

相同:

数乘(4+〃)。=〃+"。；

当kO时，〃的方向与。的方向相反;

2(。+方)=筋+劝

当4=0时，〃=。

3.向量共线定理

向量°3,0）与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数人使得归&.

【常用结论】

1.一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向

量，即再无+瓦不+匹K+…+4〃4=4元,特别地，一个封闭图形：首尾连接而成的向量

和为零向量.

2.若尸为线段43的中点，0为立面内任意一点，则舁=1（次+彷）.

3.若A,B,。是平面内不共线的三点，则可+命+无=0寸为△ABC的重心，#=/成

+At）.

4.若温=2彷+"独九〃为常数），则A,B,。三点共线的充要条件是2+4=1.

5.对于任意两个向量。，b,都有||。|一步归。助凶3+|例.

【思考辨析】

判断下列结论是否正确（请在括号中打T”或“x”）

（1）⑷与步|是否相等，与a,方的方向无关.（7）

（2）若向量a与b同向,且闷>|句,5*1a>b.（x）

（3）若向量牯与向量反）是共线向量，则A,B,C,O四点在一条直线上.（x）

（4）起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量.（V）

【教材改编题】

1.给出下列命题:

①若a与b都是单位向量，则a=b.

②直角坐标平面上的Y轴、），轴都是向量：

③若用有向线段表示的向量就与而不相等，则点M与N不重合；

④海拔、温度、角度都不是向量.

则所有正确命题的序号是（）

A.①②B.①③

C.②③D.③④

答案D

解析①错误，由于单位向量长度相等，但是方向不确定；②错误，由于只有方向，没有大

小，故k轴、），轴不是向量；③正确，由于向量起点相同，但长度不相等，所以终点不同；

④正确，海拔、温度、角度只有大小，没有方向，故不是向量.

2.下列各式化简结果正确的是（）

A.油+祀=就

B.磁+麻+劭+威=磁

C.AS+就一祀=0

DAk-Ab-Dt=Bt

答案B

3.已知。与力是两个不共线的向量，且向量。+如与一（6—3〃）共线，则2=.

答案V

解析由题意知存在k£R,

使得。+劝=可一仍一3〃）］,

k=y

2=一鼠

所以解得＜

1=3上.I

z=­T.

下列命题为假命题的是()

A.若〃与人为非零向量，且〃〃则〃+/＞必与a或〃平行

B.若e为单位向量，且a〃e,则。=|a|e

C.两个非零向量ab,若一臼=|Q|+|A|,则。与b共线且反向

D.“两个向量平行”是“这两个向量相等”的必要不充分条件

答案B

思维升华平行向量有关概念的四个关注点

(1)非零向量的平行具有传递性.

(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关.

(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量.

(4后是与a同方向的单位向量.

跟踪训练1(1)下列命题不正确的是()

A.零向量是唯一没有方向的向量

B.零向量的长度等于0

C.若a,b都为非零向量，则使俞+尚=0成立的条件是。与b反向共线

D.若a=b,b=c,则a=c

答案A

解析A项，零向量是有方向的，其方向是任意的，故A错误；

B项，由零向量的定义知，零向量的长度为0,故B正确；

C项，因为俞与尚都是单位向量，所以只有当裾与日是相反向量，即a与力是反向共线时才

成立，故C正确；

D项，由向量相等的定义知D正确.

(2)对于非零向量a,b,“a+b=0"是力勿”的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

答案A

解析若4+6=0,

则。=一瓦则。〃即充分性成立；若。〃b,则。=一）不一定成立，即必要性不成立，

即1+b=0”是"〃配的充分不必要条件.

题型二平面向量的线性运算

命题点1向量加、减法的几何意义

例2（2022・济南模拟）己知单位向量…，02023,则|61+&+…+020231的最大值是»

最小值是.

答案20230

解析当单位向量C”02,…，02注3方向相同时，

|ei+e2+…+©20231取得最大值，

⑶+忿+…+⑥023|=忸1|+k2|+…+忸2023|

=2023;

当单位向量6],62，…，62023首尾相连时，

61+02+…+e2023=0,

所以|ei+e+…+。2。23|的最小值为0.

命题点2向量的线性运算

例3如图，在四边形A8CO中，AB//CD,ABLAD,AB=2AD=2CD,E是BC边上一点,

且选=3过，尸是4七的中点，则下列关系式不正确的是（）

DC

AB

AJ£=一短+动

C.BP=-；初+各

i_2

D.CP=­67AB—T3At）

答案C

解析因为质=质+⑰+求=一牯+劝+%s=_%i+R,

所以选项A正确；

因为#=%^=3（兄力+法）

=*磺+白麻），

而求=—另S+初，

代入可得#=!屈+）方，

所以选项B正确；

因为济=#一防，

而#'=%bI$7）,

代入得#=一|霜+$力，

所以选项c不正确；

因为浮=劭+扇+#

=—^Ab—Ab+Ap',

而#=；AS+；AZ）,

In

代入得才=一区6—于中，

o5

所以选项D正确.

命题点3根据向量线性运算求参数

例4（2022•青岛模拟）已知平面四边形ABC。满足⑰=（沈，平面内点E满足曲=3球，CD

与AE交于点M,若配f=M>+y力，则x+y等于（）

55

A--

2-2

B.

4D.4

C--

3-3

答案C

解析如图所示，

易知BC=4ADt

CE=2AD,

荡=而一⑰

=1A£—AS

=/辐+硝一露

U出+6协-露

2

=—^A&+2AZ）,

4

；・x+y=§.

【教师备选】

1.（2022.资阳模拟）在△ABC中,4。为5c边上的中线，若点O满足劭=2Ob,则求等于（）

2_

A.—］在+‘祀

C.；屈-，祀

答案A

解析如图所示，

为BC的中点，

*：Ab=2Obt

,11

・，・初=1防=K/访+'祀，

=—3诵+,祀.

2.（2022•长春调研）在△A8C中，延长BC至点M使得8C=2CM,连接AM,点N为AM上

一点且忒=g嬴/,若瓶=AA^+〃At,则2+〃等于（）

A.1B,^

C.-2D--3

答案A

解析由题意，知俞=/而=；（痛+胡0

=3勘+:(祀一⑰)

=/，

02

又戏=/加+/求"，

所以2=一:，"=今则4+〃=/

思维升华平面向量线性运算的常见类型及解题策略

(1)向量求和用平行四边形法则或三角形法则；求差用向量减法的几何意义.

(2)求参数问题可以通过向量的运算将向量表示出来，进行比较，求参数的值.

跟踪训练2(1)点G为ZkABC的重心，设砧=mGt=b,则曲等于()

31

A.b—2aB.g。一

31

C.呼+/D.2a+b

答案A

解析如图所示，由题意可知

£戏+砧=/比，

故AS=Gt-2砧=6-24

(2)(2022・大连模拟)在A48C中，足)=2励，戏=2武,P为线段OE上的动点，若

"祀，九"WR,则4+4等于()

23

A.1B.gC，2D.2

答案B

解析如图所示，由题意知,

22

然=§祀，劝=,雁

设访=后&,

所以#=初+加=力+工怎

=力+1(拢一初)

=XA£+(1~x)Ab

22

=/正+手i—X)AS,

22

所以"=§乂2=5(1—x),

222

所以4十"=§、十§(1-乃=§.

题型三共线定理及其应用

例5设两向量。与b不共线.

(1)若癌=。+'就=2i+8A,Cb=3(a~b).求证：4,B,。三点共线；

⑵试确定实数上使%。+力和。+切共线.

(1)证明,.,#=。+力，炭'=2u+8b,

Cb=3(a-b).

・•・沉)=反:+仍=2。+油+3(。一份=2/1+86+3。-33=53+6)=5屈.・・・牯，协共线,

又它们有公共点B,

・・・A,B,。三点共线.

(2)解・・・ki+b与。+姑共线，工存在实数九

使版+b=1(a+姑)，即ka+b=Xa+).kb,

{k—X）a=（A.k—\）b.

，：a,方是不共线的两个向量，

：.k—l=2Jc-]=0,一1=0.，〃=±L

【教师备选】

I.已知P是△A8C所在平面内一点，且满足可+防+附=2A>,若SMBC=6,则△%8的

面积为()

A.2B.3

C.4D.8

答案A

解析,・•次+油+反'=9=2(而一可)，

:.3p\=pb-pt=cb,

:.亦“秘,且两向量方向相同，

・S^ABC_BC_\Cb\

•£以8一川一的7'

又SAA8c=6,•,•SA/M8=§=2.

2.设两个非零向量。与b不共线，若级与b的起点相同，且。，力，1(a+b)的终点在同一条

直线上，则实数，的值为.

答案!

解析.；a,tb,g(a+b)的终点在同一条直线上，且。与b的起点相同，

:・a—tb与a—；(a+b)共线，

21

即a-tb与go—§6共线，

，存在实数人使4一场F,一切，

又。，。为两个不共线的非零向量,

思维升华利用共线向量定理解散的策略

（Da//ba=双屏0）是判断两个向量共线的主要依据.

⑵若agb不共线且/.a=fib,则人="=0.

（3）次=2彷+〃爱（2,"为实数），若A,B,C三点共线，则；,+"=1.

跟踪训练3（1）若。，方是两个不共线的向量，已知曲=。一24前=2a+kb,眩=3af

若M,N,。三点共线，则女等于］）

A.-1B.1D.2

答案B

解析由题意知，

他=殖一闻=a—（k+l）b,

因为M,N,。三点共线，故存在实数九

使得两=）.而，

即2b=“。一（女+1）可，解得;1=1,k=\.

（2）如图，已知A,B,。是圆。上不同的三点，线段CO与线段48交于点。（点。与点。不

重合），若求=J次+〃仍（九/£R）,则幺+"的取值范围是（）

A.(0,1)B.(1,+8)

C.(1,的D.(-1,0)

答案B

解析因为线段CO与线段A8交于点D,

所以O,C,D三点共线.

所以能与用共线，

设历=，〃帅，则心1,

因为求=2次+〃彷，

所以切历=2况+*仍，

可得况）='次+良加，

mm

因为4,B,。三点共线，

所以《+专=1，可得/+"=心1,

所以4+4的取值范围是（1,+8）.

课时精练

C基础保分练

1.如图所示，在正六边形A8CQE"中，成+汉）+群等于（）

A.0B.展

C.At）D.CP

答案D

解析根据正六边形的性质，

易得，成+乃+曲=成+#+讲

=Bp+ch=Cp.

2.若mb为非零向量，则端端”是“b共线"的（）

A.充要条件

B.充分不必要条件

C.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件

答案B

解析W卷分别表示与mb同方向的单位向量，启=点则有。，力共线，而。，》共线，

则亦由是相等向量或相反向量，所以‘瑞喻'是"。，力共线”的充分不必要条件.

3.设。=（初+乃）+（觉+方A）,b是一个非零向量，则下列结论不正确的是（）

A.a//bB.a-\~b=a

C.a+b=bD.|a+"=|a|+|A|

答案B

解析由题意得，a=（诵+乃）+血古+&）=祀+/=0,且b是一个非零向量，所以0〃5

成立，所以A正确；由a+b=b,所以B不正确，C正确；由|a+b|=|臼，\a\+\b\=\b\,

所以M+例=|0|十仍|,所以D正确.

4.（2022•汕头模拟）下列命题中正确的是（）

A.若。〃儿则存在唯一的实数2使得。=劝

B.若a〃b,b〃c,则。旌

C.若。协=0,贝i」a=0或6=0

D.⑷一步国a+b国0|+步|

答案D

解析若。〃从且b=0,则可有无数个实数4使得a=M,故A错误；

若。〃瓦b〃c（b桃）,则。〃%若方=0,

则a,c不一定平行，故B错误;

若。力=0,也可以为。上尻故C错误;

根据向量加法的三角形法则和向量减法的几何意义知,同一仍旧。+方区同+囿成立.故D正确.

5.在平行四边形A8CO中，祀与劝交于点O,E是线段0。的中点.若祀=如Bb=b,

则助等于（）

A.：a+*B多+；力

1112

C呼+aD.铲+守

答案C

解析如图所示，

三ZX_______C

AB

•・•祀=a,Bb=b,

:,Ab=Xb^-ob

'.Ak=Ab—Eb=\a-\-^b—\b

4N一

1.L

=呼+才

6.下列说法正确的是（）

A.向量油与向量葩的长度相等

B.两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同

C.向量a与b平行，则。与。的方向相同或相反

D.向量的模是一个正实数

答案A

解析A项，油与成的长度相等，方向相反，正确;

B项，两个有共同起点且长度相等的向量，若方向也相同，则它们的终点相同，故错误;

C项.向量〃与人平行时,若〃成分为零向量.不满足条件,故错误：

D项，向量的模是一个非负实数，故错误.

7.如图，在平行四边形A8C。中，E为8c的中点，尸为OE的中点，若#=晶+汕，则

x等于（）

32

A-4B3

心D.：

答案C

解析连接AE（图略），因为尸为。七的中点,

所以#=；（初+硒，

而施=油+旗=AS+；或=AS+；在，

所以#=；（初+北）

=^Ab+A&+；劝）

13

--

24

又,

所以x=1.

8.庄严美丽的国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征.正五角星是一个非常优美的几何

图形，且与黄金分割有着密切的联系，在如图所示的正五角星中，以A,B,C,D,E为顶

点的多边形为正五边形，且耳=咛1.下列关系中正确的是（）

Z114

A

T

B-E

C、

A.防一荏=驾[屈

B.曲+#=#：为

C离一汴=^21殴

D.AT+的=，?1添

答案A

解析由题意得，加-效=庵-谆豆=霍『弯，1所以A正确：曲+舛=同+

2

件=游=呼1号,所以B错误；国一#=&-0&=地=必六砂，所以C错误；后+殴

=豆＞+斑，小2'出=恋=母—梵,若行+题=夸」■及，则口=0,不符合题意，所以

D错误.

9.（2022.太原模拟）已知不共线向量a,b,Ah=ta-b（t（=R）,祀=2a+3瓦若A,B,C三点

共线，则实数，=.

答案"I

解析因为A,B,。三点共线，所以存在实数K使得露=比，

所以故一b=A（2o+3b）=2〃+3劭，

即（，一22）。=（32+1）5.

lt-2k=0,

因为。，。不共线，所以.，「

[3k+l=0n,

解得，

l/="3-

10.已知△ABC的重心为G,经过点G的直线交4B于。，交AC于E,若前）=服碇=/t，

答案3

解析如图，设尸为8C的中点,

则A5=11#=/初+祀）,

又辐=不力，祀=一曲,

，亿=方劝+刀助,

又G,D,E三点共线,

11.若正六边形A8CDE尸的边长为2,中心为O,贝”前十帅十一.

答案2小

解析正六边形48CDE/中，丽+沆）+*=劭+成+帅+不=前+房=或，

在△A律中，ZATO=120°,AF=EF=2t

：,|或|=留+22—2x2x2xcos120。=2#,

即|动+而+就|=2小.

12.在平行四边形4BCO中，点M为5C边的中点，加=力而+/筋，则2+4=.

5

答案-

3

解析企=2口+地）+"（⑰-鼐）

="一"）勘+g,

又因为祀=况&+⑰,

4

工一"=1,=

所喉口,A~y

解得

"=+

所以％+〃=/

E技能提升练

13.点P是△A3C所在平面内一点，且满足|闻一兄1一|成+及"—2成|=0,则△•（?是

________三角形.

答案直角

解析因为点尸是△ABC所在平面内一点，

且|油一反1一|防+过一2成|=0,

所以|N|一|（协一中）+（反1一成）|=0,

即|曲=|曲+祀

所以|A力一祀|=就+⑰|,

等式两边平方并化简得祀•诵=0,

所以祀_L屈，NBAC=90。，则AABC为直角三角形.

14.在^A8C中，NA=60。，乙4的平分线交BC于点。，若A8=4,且元＞=；祀+Z?友R）,

贝|J2=,40的长为.

3

答案-

4

线，

点共

C三

,。，

•:B

解析

3

1

=不

得入

1,解

+4=

二彳

N,

点M,

C于

B,A

线交A

平行

B的

C,A

别作A

。分

，过

如图

，

=,初

翔

俞

则

,

C于O

线交B

平分

N4的

0°,

A=6

中，Z

ABC

;在△

形，

是菱

MZW

边形A

J四

3

AM=

：.AN=

=4

*：AB

t

t

.

3y13

：.AD=

刺练

展冲

B拓

反1

|=|

|防

@|=

=0,

+》

+协

，屈

一点

面内

在平

3C所

为△A

知P

拟）己

州模

022•滁

15.（2

）

为（

的面积

ABC

,则Zk

=2

4^3

D.

.3小

小C

B.2

AS

B

答案

，

所示