人教版高中数学-二项式定理

PAGE2-【课题】《二项式定理》（第一课时）一、教学内容解析《二项式定理》是沪教版高三年级第一学期第十六章第5节的内容，它是初中学习的多项式乘法的继续．在计数原理之后学习二项式定理，一方面是因为它的推导要用到计数原理，可以把它作为计数原理的一个应用，另一方面也是解决整除、近似计算、不等式证明的有力工具，二项式定理起着承上启下的作用．另外，由于二项式系数是一些特殊的组合数，利用二项式定理可进一步深化对组合数的认识．总之，二项式定理是综合性较强的、具有联系不同内容作用的知识．二、教学目标设置教学目标应体现学生学会知识与技能的过程也同时成为学生学会学习，形成正确价值观的过程．用计数原理分析，，的展开式，归纳类比得到二项式定理，并能用计数原理进行推理．掌握二项展开式的通项公式，解决简单问题；学会讨论二项式系数性质的方法．根据课标的理念及本节课的教学要求，制定了如下教学目标：1.学生在二项式定理的发现推导过程中，掌握二项式定理及推导方法、二项展开式、通项公式的特点，会利用二项展开式及通项公式解决有关问题．2.学生经历二项式定理的探究过程，体验“从特殊到一般发现规律，从一般到特殊指导实践”的思想方法，获得观察、归纳、类比、猜想及证明的理性思维探究能力．3.通过二项展开式的探究，培养学生积极主动、勇于探索、不断创新的精神，感受合作探究的乐趣，感受数学内在的和谐、对称美及数学符号应用的简洁美．结合数学史，激发学生爱国热情和民族自豪感．三、学情分析１．有利因素授课对象是高三的学生，具有一般的归纳推理能力，思维较活跃，初步具备了用联系的观点分析问题的能力．学生刚刚学习了计数原理和排列组合的知识，对本节展开式中各项系数的研究会有很大帮助．２．不利因素本节内容思维量较大，对思维的严谨性和分类讨论、归纳推理等能力有较高要求，学生学习起来有一定难度．在数学学习过程中，大部分学生习惯于重视定理、公式的结论，而不重视其形成过程．四、教法策略分析遵循“以学生为主体、教师是数学课堂活动的组织者、引导者和参与者”的现代教育原则，采用“启发式教学法”，学生主要采用“探究式学习法”，并利用多媒体辅助教学．本课以问题的提出、问题的解决为主线，始终在学生知识的“最近发展区”设置问题，倡导学生主动参与，通过不断探究、发现，在师生互动、生生互动中，完成二项式定理的探究，让学习过程成为学生心灵愉悦的主动认知过程．五．教学过程（一）创设情境，引入课题（1）2016年下半年，神舟十一号载人飞船将在天宫二号发射后择机发射，并与天宫二号对接，目的是更好地掌握空间交会对接技术，开展地球观测和空间地球系统科学、空间应用新技术等领域的应用和试验。（PPT同步显示算式和数据）为了掌握神舟飞船的运动轨迹，我们需要计算出它做匀速圆周运动的轨道半径.已知常量，地球的质量飞船运动的周期代入计算得根据上面的公式，在没有计算器的情况下，我们如何近似的计算的值呢？（二）探究归纳，构建新知（1）通过经历和展开的过程，带着问题去研究的展开式有怎样的规律？问题1：问题1：展开之后共有几项？各项次数是怎样的？【设计意图】由特殊到一般的归纳总结，离不开大量特殊实例的观察．只有将大量具体实例进行整体和局部多方面的分析，才能得到接近一般性规律的结论．也只有对得出各种结论进行整合，才能让学生顺畅的抓住展开过程的两个要点，即项的结构和项的系数，才能让学生有目的的进一步进行探讨和分析．问题2：问题2：展开式中各项是如何得到的？【设计意图】多项式乘法法则是展开式的运算基础，同时也为用组合数表示系数创设情境．而学生对于多项式乘法法则的理论叙述不够顺畅．通过教师强调多项式乘法法则，让学生思维建立旧知识与新知识联系，为下面系数的确定做好铺垫．问题3：问题3：展开式各项的系数是如何确定的？【设计意图】通过ppt中的动画，将4个比作4个烧杯，用红球表示字母，用篮球表示字母，引导学生根据多项式乘法法则，用之前学过的组合数作为工具，对已有的的展开式进行重新的改写和认识.本节课的重点就是利用多项式的乘法法则和计数原理对展开式中各项进行分析．该问题是从最近发展区出发，符合学生的思维发展的螺旋式规律，能准确地检验学生对问题分析能力和解决方法的掌握，突出体现本节课的思维方法．通过具体的例子，引导学生得出通过具体的例子，引导学生得出的展开式．——二项式定理二项式定理的公式特征：①展开式共项；②展开式中每一项的次数都是；③各项的系数叫二项式系数．④是展开式的第项；叫二项展开式的通项，用表示．⑤按照字母降幂排列，次数由递减到0，字母升幂排列，次数由0递增到.（三）巩固新知提升能力例求的二项展开式.【解】[变式1]求的二项展开式.【解】[变式2]求的二项展开式.（引导学生从几个方面来理解，可以正面展开，可以先化简再展开，可以从通项角度出发）方法1：方法2：方法3：先化简，再展开[变式3]根据以上我们学习过的知识点对于的二项展开式我们还能研究哪些问题请小组讨论并自编一个小题，并尝试小组成员共同解答.预设问题：中间项，倒数第2项，二项展开式中项的系数，展开共有11项，求.【设计意图】通过例题让学生熟悉二项展开式及其通项，区分二项式系数和系数．设计题目考察学生的学习情况,各个题目设计的比较有梯度，逐渐加大难度，符合学生的认知水平．通过小组协作出题，既强化了对新知识的理解，又培养了学生团结协作的能力.（四）回顾反思归纳总结（1）特殊到一般，一般到特殊；（2）二项式定理和通项；（3）项，二项式系数，项的系数【设计意图】小结可以锻炼学生的概括能力、语言表达能力，可以使学生加深对本节课的认识，掌握基本数学思维方法．（4）PPT展示二项式定理史略：二项式定理最初用于开高次方。在中国，成书于1世纪的《九章算术》提出了世界上最早的多位正整数开平方、开立方的一般程序。我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》里就对二项式展开的系数做过研究，这个表称为杨辉三角，在我国杨辉三角的发现要比欧洲早五百年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的。（五）扩展延伸启发思维，引导学生与所学习过的无穷等比数列求和的角度来建立联系（六）作业一、练习册P47习题16.5A组第1~5题，B组第2题二、1、分别求出、的二项展开式的第3项.2、写出的二项式展开式的第项.3、求的二项展开式的第4项的二项式系数及第4项的系数.点评：本节课是二项式定理的第一节课，它是代数中乘法公式的推广，二项式定理的推导蕴含着丰富的数学思想方法，是培养学生能力的好素材。本节课注重知识的掌握、体现方法的应用、强调能力的培养。首先通过计算正数的三次方根的近似值这一情境引入课题，这样的导入教学能引起学习兴趣，也为后续的教学做了很好的铺垫。其次，通过、公式入手，对的展开式进行深入的研究，从而得到研究的方法，并完成二项式定理的推导，进而总结二项展开式的特征。再通过典型例题及变式巩固所学的内容，让学生熟练掌握二项展开式。利用小结这一环节，介绍杨辉三角，体现德育渗透。利用拓展，提出，，开拓学生的视野，引导学生提出新的问题，寻找解决问题的新办法，从而激发学生的求知欲。课堂教学能根据学生的现有水平，利用原用的知识结构调动学生的学习